2021-2022学年吉林省白山市临江市九年级（上）期末数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年吉林省白山市临江市九年级（上）期末数学试卷

1.     下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.     抛物线的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

3.     下列方程式属于一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.     如图，PA，PB切于点A，B，点C是上一点，且，则(    )
    

A.  B.  C.  D.

5.     下列属于必然事件的是(    )

A. 水滴石穿 B. 水中捞月 C. 大海捞针 D. 守株待兔

6.     如图，直径AB为3的半圆，绕A点逆时针旋转，此时点B到了点处，则图中阴影部分的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

7.     已知是关于x的方程的一个根，则______.
8.     中心角为的正多边形边数为______.
9.     白云航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有______个飞机场．
10. 将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图象的函数表达式为______.
11. 如图，的直径AB垂直于弦CD，垂足为如果，，那么CD的长为______.

12. 如图，圆锥的底面圆的周长是，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数______ .

13. 如图所示，二次函数的图象开口向上，图象经过点和，且与y轴交于负半轴，给出六个结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确结论序号是______.

14. 已知关于x的二次函数在的取值范围内最大值为7，则该二次函数的最小值是______.
15. 用公式法解方程：
16. 已知二次函数证明：无论m取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点．
17. 共享经济已经进入人们的生活，小明收集了共享出行、共享服务、共享物品、共享知识4个共享经济领域的图标，制成编号为A、B、C、D的四张卡片除字母和内容外其余完全相同现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
    
    小明从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是______；
    若随机抽取一张卡片不放回，再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率卡片用编号表示
18. 如图，已知的三个顶点坐标分别为，，，将绕坐标原点O逆时针旋转90度，请在图中画出旋转后的图形
    写出点的坐标为______；
    点关于坐标原点对称的点的坐标为______.

19. 已知关于x的方程的一个根与关于x的方程的一个根互为相反数，求m的值．
20. 若一个函数的解析式等于另两个函数解析式的和，则这个函数称为另两个函数的“生成函数”．现有关于x的两个二次函数，，且，，的“生成函数”为：；当时，；二次函数的图象的顶点坐标为
    求m的值；
    求二次函数，的解析式．
21. 如图是一张长20cm、宽13cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖纸盒．
    这个无盖纸盒的长为______cm，宽为______cm；用含x的式子表示
    若要制成一个底面积是的无盖长方体纸盒，求x的值．

22. 如图所示，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度在上逆时针运动．
    求图①中的度数；
    图②中的度数是______，图③中的度数是______；
    若推广到一般的正n边形情况，请写出的度数是______.
     
23. 某数学兴趣小组通过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如表所示．

已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元．
请写出销售该运动服每件的利润是______元用含x的式子表示；
请写出月销量y与售价x之间的函数关系式；
设月利润为w元，请求出售价x为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？

24. 如图，已知抛物线与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．
    若抛物线过点，求实数a的值；
    在的条件下，解答下列问题；
    ①求出的面积；
    ②在抛物线的对称轴上找一点H，使的值最小，直接写出点H的坐标．

25. 如图，是的外接圆，BC为的直径，点E为的内心，连接AE并延长交于D点，连接BD并延长至F，使得，连接CF、
    
    
     

求证：；              

求证：直线CF为的切线；

若，求图中阴影部分的面积．

26. 如图，抛物线是常数，且与x轴交于A，B两点，与y轴交于点并且A，B两点的坐标分别是，，抛物线顶点为
    ①求出抛物线的解析式；
    ②顶点D的坐标为______；
    ③直线BD的解析式为______；
    若E为线段BD上的一个动点，其横坐标为m，过点E作轴于点F，求当m为何值时，四边形EFOC的面积最大？
    若点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转后，点A的对应点恰好也落在此抛物线上，请直接写出点P的坐标．

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】解：既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
 

2.【答案】A 

【解析】解：，
抛物线顶点坐标为，
故选：
由抛物线解析式即可求得答案．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，顶点坐标为，对称轴为
 

3.【答案】D 

【解析】解：A、属于一元三次方程，不符合题意；
B、属于分式方程，不符合题意；
C、属于二元二次方程，不符合题意；
D、属于一元二次方程，符合题意，
故选：
利用一元二次方程的定义判断即可．
此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
 

4.【答案】B 

【解析】解：如图所示，连接OA、

、PB都为圆O的切线，

，


故选：
由PA与PB都为圆的切线，利用切线的性质得到两个角为直角，根据的度数，利用四边形的内角和定理求出的度数，再利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，求出的度数即可．
此题考查了切线的性质，圆周角定理，以及四边形的内角和，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
 

5.【答案】A 

【解析】解：只要时间足够长，水滴石穿一定会发生，是必然事件，
符合题意．
水中捞月不可能成功，是不可能事件，
不符合题意．
大海捞针可能成功，也可能不成功，是随机事件，
不符合题意．
守株待兔可能成功，也可能不成功，是随机事件，
不符合题意．
故选：
根据事件发生的可能性判断是随机事件还是必然事件．
本题考查事件的分类，理解事件性质，判断出事件发生的可能性是求解本题的关键．
 

6.【答案】B 

【解析】解：阴影部分的面积=以为直径的半圆的面积+扇形的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形的面积．
则阴影部分的面积是：
故选：
根据阴影部分的面积=以为直径的半圆的面积+扇形的面积-以AB为直径的半圆的面积．即求阴影部分的面积就等于求扇形ABC的面积．
本题考查了扇形的面积的计算，正确理解阴影部分的面积=以为直径的半圆的面积+扇形的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形的面积是解题的关键．
 

7.【答案】2025 

【解析】解：将代入方程，得：，即，
则原式


，
故答案为：
将代入方程得出，再整体代入计算可得．
本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程的解的概念及整体代入思想的运算．
 

8.【答案】12 

【解析】解：因为
所以这个正多边形的边数为
故答案为：
根据正n边形的中心角的度数为进行计算即可得到答案．
本题考查的是正多边形内角、外角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键．
 

9.【答案】5 

【解析】解：设共有x个飞机场．
，
解得，不合题意，舍去，
故答案为：
每个飞机场都要与其余的飞机场开辟一条航行，但两个飞机场之间只开通一条航线．等量关系为：飞机场数飞机场数，把相关数值代入求正数解即可．
考查一元二次方程的应用；得到飞行总航线与飞机场数的等量关系是解决本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：将函数的图象先向右平移2个单位长度得到，
再向上平移3个单位长度后，得到，
故答案为：
根据平移的规律：左加右减，上加下减，求出函数解析式．
本题考查的是二次函图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式是解题的关键．
 

11.【答案】6 

【解析】解：连接AD，
的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，
，
，，

故答案为：
由AB是的直径，根据由垂径定理得出，进而利用等边三角形的判定和性质求得答案．
此题考查了垂径定理以及等边三角形的性质．注意由垂径定理得出是关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：圆锥的底面圆的周长是，
圆锥的侧面扇形的弧长为，
，
解得：
故答案为
利用圆锥的底面周长和母线长求得圆锥的侧面积，然后再利用圆锥的侧面展开扇形的弧长的计算方法求得侧面展开扇形的圆心角的度数即可．
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是根据圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长来求出圆心角．
 

13.【答案】①④⑤⑥ 

【解析】解：抛物线开口向上，
，所以①正确；
二次函数的图象经过点和，
抛物线的对称轴在y轴的右侧，
，
，所以②错误；
抛物线与y轴的交点在x轴下方，
，所以③错误；
抛物线经过，
，所以④正确；
抛物线与x轴有两个交点，
，所以⑤正确；
，，
，所以⑥正确，
综上所述，正确的①④⑤⑥．
故答案为：①④⑤⑥．
根据抛物线开口方向对①进行判断；由于二次函数的图象经过点和，且与y轴交于负半轴，则抛物线的对称轴在y轴的右侧，得到，可对②进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方可对③进行判断；根据二次函数的图象经过可对④进行判断，根据与x轴交点的个数对⑤进行判断，由①②的结果可判断⑥．
本题考查了二次函数的图象与系数的关系，关键是掌握二次函数的图象为抛物线，当，抛物线开口向上；对称轴为直线；抛物线与y轴的交点坐标为
 

14.【答案】 

【解析】解：，
对称轴为直线，抛物线开口向上，
二次函数在的取值范围内最大值7，
当时，，
，
解得：，
当时，该二次函数有最小值，最小值为
故答案为
先将二次函数写成顶点式，得出对称轴及开口方向，根据抛物线开口向上时离对称轴越远函数值越大，可知当时，，从而可解得m的值；再根据抛物线的顶点式可得其最小值．
本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

15.【答案】解：，
这里，，，
，
，
则， 

【解析】找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，计算出根的判别式，由根的判别式大于0，得到方程有解，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．
此题考查了解一元二次方程-公式法，利用此方法解方程时首先将方程化为一般形式，找出二次项系数a，一次项系数b及常数项c，当时，代入求根公式来求解．
 

16.【答案】证明：，
无论m取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点． 

【解析】写出该二次函数的判别式，说明判别式大于等于0恒成立即可．
本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记判别式与x轴交点个数之间的关系．
 

17.【答案】 

【解析】解：小明从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是，
故答案为：；
画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果有2种，
抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率为
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果有2种，再由概率公式求解即可．
此题考查了树状图法求概率．解题的关键是根据题意画出树状图，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比求解．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求，
故答案为：；
点关于坐标原点对称的点的坐标为
故答案为：

利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可；
利用中心对称的性质解决问题即可．
本题考查作图-旋转变换，中心对称等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：设这两个方程的根分别为a和
把代入方程，得①；
再把代入方程，得②，
①-②消去a得：，解得或 

【解析】设这两个方程的根分别为a和，把代入方程，得①；再把代入方程，得②，①-②消去a得：，解方程即可求出m的值．
本题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
 

20.【答案】解：，，的“生成函数”为：；
，
当时，，
，
解得：，不合题意舍去；

由得：，
二次函数的图象的顶点坐标为
，
解得：，
， 

【解析】根据已知新定义和当时，得出，求出即可；
把m的值代入函数，根据顶点的横坐标即可求出a，再把a的值代入求出即可．
本题考查了二次函数的性质，求函数的解析式的应用，能读懂题意是解此题的关键，题目比较典型，有一定的难度．
 

21.【答案】 

【解析】解：纸板是长为20cm，宽为13cm的矩形，且纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，
无盖纸盒的长为，宽为
故答案为：；
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，不合题意，舍去
答：x的值为
根据矩形纸板的长、宽，结合剪去正方形的边长可得出无盖纸盒的长、宽；
根据矩形的面积公式结合无盖长方体纸盒的底面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：是正三角形，
，
点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在上逆时针运动，
，

；
；；
由可知，所在多边形的外角度数，故在图n中，
根据对顶角相等和三角形内角和外角的关系解答即可．
此题是一道规律探索题，体现了探索发现的一般规律：通过计算得出特殊多边形中的角的度数，然后得出n边形的的度数．
 

23.【答案】 

【解析】解：进价为每件60元，售价为x元，
每件的利润是元，
故答案为：
由表格数据可设，则
，解得：，
，
答：月销量y与售价x之间的函数关系式为
由题意知：，
当时，，
答：售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元．
由“单件利润=售价-进价”得到结果；
先由表格数据得到y与x的函数关系式为一次函数，然后用待定系数法求得函数关系式；
利用“利润=单件利润数量”求得w与x的关系式，然后利用二次函数的性质求得结果．
本题考查了一次函数和二次函数的性质，解题的关键是熟知二次函数的性质求得最大值．
 

24.【答案】解：将代入抛物线解析式得：，
解得：；

①由抛物线解析式，
当时，得：，
解得：，，
点B在点C的左侧，
，，
当时，得：，即，
；
②由抛物线解析式，得对称轴为直线，
根据C与B关于抛物线对称轴直线对称，连接BE，与对称轴交于点H，即为所求，
设直线BE解析式为，
将与代入得：，
解得：，
直线BE解析式为，
将代入得：，
则 

【解析】将M坐标代入抛物线解析式求出a的值即可；
①求出的a代入确定出抛物线解析式，令求出x的值，确定出B与C坐标，令求出y的值，确定出E坐标，进而得出BC与OE的长，即可求出三角形BCE的面积；②根据抛物线解析式求出对称轴方程为直线，根据C与B关于对称轴对称，连接BE，与对称轴交于点H，即为所求，设直线BE解析式为，将B与E坐标代入求出k与b的值，确定出直线BE解析式，将代入直线BE解析式求出y的值，即可确定出H的坐标．
此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，对称的性质，坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
 

25.【答案】证明：是的内心，
，
，，，
，

连接

平分，


，


，
是的切线；
连接
、D是BC、BF的中点，，
，
，
，
图中阴影部分的面积=扇形BOD的面积的面积 

【解析】欲证明，只要证明；
欲证明直线CF为的切线，只要证明即可；
连接OD，利用三角形中位线和扇形面积公式解答即可．
本题考查三角形的内切圆与内心、切线的判定、扇形面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
 

26.【答案】 

【解析】解：①把，代入，
得，
解得，
；  
②，
的坐标为，
故答案为：；
③设直线BD的解析式为，
将点B、D的坐标代入得：
，
解得，
直线BD的表达式为，
故答案为：；
点E的横坐标为m，则点E的纵坐标为，
当时，，
，
由题意可知：，，，
，
当时，；
抛物线的对称轴为，
当P点在x轴上方时，如图1，
过点作交于点M，
，
，，
，
，
≌，
，
，
；
当P点在x轴下方时，如图2，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
；
综上所述：P点坐标为或
①把，代入，即可求解；
②由，可求顶点坐标；
③设直线BD的解析式为，将点B、D的坐标代入即可求解；
求出点，，则，当时，；
抛物线的对称轴为，当P点在x轴上方时，过点作交于点M，证明≌，则，求得；当P点在x轴下方时，为等腰直角三角形，求得，则
本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，待定系数法求函数解析式的方法，图形旋转的性质是解题的关键．