【备战2023高考】数学专题讲与练-考向33《一类与圆有关的最值与范围问题》（七大经典题型）全能练（新高考地区专用）

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考向33 一类与圆有关的最值与范围问题

经典题型一：斜率型
经典题型二：直线截距型
经典题型三：两点距离型
经典题型四：周长、面积型
经典题型五：数量积型
经典题型六：坐标与角度型
经典题型七：弦长型

（多选题）（2021·全国·高考真题）已知点在圆上，点、，则（    ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
【答案】ACD
【解析】圆的圆心为，半径为，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：

当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD选项正确.
故选：ACD.
（2022·全国·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．
【答案】
【解析】关于对称的点的坐标为，在直线上，
所以所在直线即为直线，所以直线为，即；
圆，圆心，半径，
依题意圆心到直线的距离，
即，解得，即；
故答案为：

涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：
（1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
（2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
（3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题


解决圆中的范围与最值问题常用的策略：
（1）数形结合
（2）多与圆心联系
（3）参数方程
（4）代数角度转化成函数值域问题

经典题型一：斜率型
1．（2022·全国·高三专题练习）曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
2．（2022·浙江·模拟预测）已知圆，过点与圆上一点的直线的斜率范围是_______；若点A恰好为过其所在的直线中对圆O张角最大的点（张角是指这个点到圆所作两条切线的夹角），则此直线的表达式为_______________．
3．（2022·上海市光明中学模拟预测）设有直线的倾斜角为．若在直线上存在点满足，且，则的取值范围是____________．
4．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知点P是圆上任意一点，则的取值范围为________．
经典题型二：直线截距型
5．（2022·全国·高三专题练习）已知点是圆上的动点，则的最大值为（       ）
A． B． C．6 D．5
6．（2022·全国·高三开学考试（文））已知点是圆：上的一动点，若圆经过点，则的最大值与最小值之和为（       ）
A．4 B． C． D．
7．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）三角形的外心、重心、垂心所在的直线称为欧拉线．已知圆的圆心在的欧拉线上，为坐标原点，点与点在圆上，且满足，则下列说法正确的是（    ）
A．圆的方程为
B．的方程为
C．圆上的点到的最大距离为
D．若点在圆上，则的取值范围是
8．（多选题）（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）已知，是圆O：上两点，则下列结论正确的是（    ）
A．若，则
B．若点O到直线AB的距离为，则
C．若，则的最大值为
D．若，则的最大值为4
经典题型三：两点距离型
9．（2022·广东茂名·模拟预测）已知向量 满足 ， ， ，若向量满足 ，则 的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
10．（2022·全国·高三专题练习）正方形与点在同一平面内，已知该正方形的边长为1，且，求的取值范围．




11．（2022·全国·高三专题练习）已知，点，，点是圆上的动点，求的最大值、最小值及对应的点坐标．




12．（2022·云南省下关第一中学高三开学考试）若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
13．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知单位向量与向量垂直，若向量满足，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
14．（2022·全国·高三专题练习）已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
经典题型四：周长、面积型
15．（2022·辽宁朝阳·高三阶段练习）过圆O：外一点引直线l与圆O相交于A，B两点，当的面积取得最大值时，直线l的斜率为，则______．
16．（2022·湖北·高三开学考试）已知圆，过点作不过圆心的直线交圆于两点，则面积的取值范围是___________.
17．（多选题）（2022·全国·模拟预测）已知圆上的三个点分别为，，，直线的方程为，则下列说法正确的是（    ）
A．圆的方程为
B．过作直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围为
C．若直线被圆截得的弦长为2，则的方程为或
D．当点到直线的距离最大时，过上的点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最小值为
18．（2022·北京·高三开学考试）已知直线l：与圆O：相交于A，B两点，则下面结论中正确的是（    ）
A．线段AB长度的最小值为1 B．线段AB长度的最大值为2
C．的面积最小值为4 D．的面积最大值为
19．（2022·河北秦皇岛·高三开学考试）若直线与圆交于A，B两点，则面积的最大值为（    ）
A．4 B．8 C． D．
经典题型五：数量积型
20．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）已知圆，点P在直线上，若过点P存在直线与圆C交于A、B两点，且满足，则点P横坐标的取值范围是___________．
21．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知圆，若曲线上存在四个点，过动点Pi作圆O的两条切线，A，B为切点，满足，则的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
22．（2022·全国·高三专题练习）已知直线与圆：相交于不同两点，，点为线段的中点，若平面上一动点满足，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
23．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知圆M：，直线l：，直线l与圆M交于A，C两点，则下列说法正确的是（    ）
A．直线l恒过定点
B．的最小值为4
C．的取值范围为
D．当最小时，其余弦值为
24．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知为坐标原点，点在直线上，是圆的两条切线，为切点，则（    ）
A．直线恒过定点
B．当为正三角形时，
C．当时，的取值范围为
D．当时，的最大值为
25．（多选题）（2022·湖北·襄阳五中二模）已知点，若过点的直线交圆：于A，两点，是圆上一动点，则（       ）
A．的最小值为 B．到的距离的最大值为
C．的最小值为 D．的最大值为
26．（2022·全国·高三专题练习）已知，，点P在曲线上，则的最小值为___________.
经典题型六：坐标与角度型
27．（2022·山东泰安·二模）已知以C为圆心的圆．若直线（a，b为正实数）平分圆C，则的最小值是______；设点，若在圆C上存在点N，使得∠CMN＝45°，则的取值范围是______．
故答案为：；.
28．（2022·全国·高三专题练习）已知实数，满足，则的取值范围是___________.
29．（2022·全国·高三专题练习）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M，N是锐角的一边QA上的两点，试在QB边上找一点P，使得最大．”如图，其结论是：点P为过M，N两点且和射线QB相切的圆与射线QB的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy中，给定两点M（-1，2），N（1，4），点P在x轴上移动，当取最大值时，点P的横坐标是（    ）

A．1 B．-7 C．1或-1 D．2或-7
30．（2022·全国·高三专题练习）已知点为圆上一点，点，，，若对任意的点，总存在点，，使得，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
31．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知圆，圆，若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
32．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））设，O为坐标原点，点P满足，若直线上存在点Q使得，则实数k的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
33．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知直线l：与圆O：相交于不同的两点A，B，若∠AOB为锐角，则m的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
经典题型七：弦长型
34．（2022·全国·高三专题练习）已知直线 l 过点，则直线 l 被圆O：截得的弦长的最小值为（    ）
A．3 B．6 C． D．
35．（2022·广东·高三阶段练习）若圆关于直线对称，则过点作圆C的切线，切线长的最小值是________．
36．（2022·浙江·绍兴一中模拟预测）直线与直线相交于点A，则点A坐标为_______，过A的直线与曲线交于M，N，则的取值范围是________．
37．（2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试）如图，经过坐标原点O且互相垂直的两条直线AC和BD与圆相交于A，C，B，D四点，M为弦AB的中点，有下列结论：
①弦AC长度的最小值为；
②线段BO长度的最大值为；
③点M的轨迹是一个圆；
④四边形ABCD面积的取值范围为．

其中所有正确结论的序号为______．

1．（2021·北京·高考真题）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则    
A． B． C． D．
2．（2020·北京·高考真题）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（    ）．
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2020·全国·高考真题（文））已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（    ）
A．1 B．2
C．3 D．4
4．（2020·全国·高考真题（理））已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（    ）
A． B． C． D．
5．（多选题）（2021·全国·高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（    ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
6．（多选题）（2021·全国·高考真题）已知点在圆上，点、，则（    ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
7．（2022·全国·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．


经典题型一：斜率型
1．【答案】B
【解析】方程可化为且，所以曲线的轨迹为以为圆心，1为半径的圆上纵坐标大于等于1的点的集合，直线表示过点且斜率存在的直线，作图可得

因为曲线与直线有两个交点
观察图象可得，
又，，所以，
所以实数的取值范围为，
故选：B.
2．【答案】         
【解析】

如图建立平面直角坐标系，为坐标原点，显然当过点A的直线与圆相切时，斜率取得最大值或最小值，
设过点A的直线：，直线与圆相切：解得：，则斜率范围是．
如图，当，则越小张角越大，当垂直直线时，最小即张角最大，
此时直线斜率，故直线方程为：，即.
故答案为：；.
3．【答案】
【解析】设，因为，
所以，
因为在直线上存在点满足，
所以圆心到直线的距离不大于半径，
即，
解得或，
又因为，
所以的取值范围是.
故答案为：
4．【答案】
【解析】令，则，代入，
可得，
∴，
解得，
即的取值范围为.
故答案为；.
经典题型二：直线截距型
5．【答案】A
【解析】由，令，则，
所以当时，的最大值为．
故选：A
6．【答案】C
【解析】因为圆：经过点，
．又，所以，
可看成是直线在轴上的截距．如图所示，
当直线与圆相切时，纵截距取得最大值或最小值，此时，解得，
所以的最大值为，最小值为，故的最大值与最小值之和为．
故选：C．

7．【答案】BCD
【解析】对于B选项，由题意可知，故的欧拉线即为线段的中垂线，
线段的中点为，直线的斜率为，
所以，线段的垂直平分线方程为，即，B对；
对于A选项，因为圆的圆心在的欧拉线上，
因为，，，所以，
设圆心为，则圆的方程为，
将代入圆的方程可得，解得或，
所以，圆的方程为或，A错；
对于C选项，因为过圆心，所以圆上的点到的最大距离为圆的半径，C对；
对于D选项，因为点在圆上，设，圆心在上，半径为，
则，D对．
故选：BCD.
8．【答案】AD
【解析】对于A，若，则可知点到的距离为，从而可知，故A正确；
对于B，若点O到直线AB的距离为，则可知，从而得，故B错误；
对于C，D，的值可转化为单位圆上的两点到直线的距离之和，又，所以三角形是等腰直角三角形，设是的中点，则，且，则在以点为圆心，半径为的圆上，两点到直线的距离之和为的中点到直线的距离的两倍.
点到直线的距离为，
所以点到直线的距离的最大值为，
所以的最大值为.因此的最大值为4.从而可知C错误，D正确..
故选：AD.

经典题型三：两点距离型
9．【答案】C
【解析】，，，
以为y轴， 为x轴，建立直角坐标系
设，，，
所以，
由，
可得 ，
化简可得 ，
所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，
原点到的距离为 ，
所以的取值范围是，即
故选：C．
10．【解析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，

则，，，，
设点，则由，
得，
整理得，
即点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，
圆心到点的距离为，
所以，，
所以的取值范围是.
11．【解析】设点的坐标为，

.
当时，即时，取最大值74，
解得，，点坐标为.
当时，即，取最小值34，
解得，，点坐标为．
12．【答案】A
【解析】到点的距离为2的点在圆上，
所以问题等价于圆上总存在两个点也在圆上，
即两圆相交，故，
解得或，
所以实数a的取值范围为，
故选：A．
13．【答案】C
【解析】由题意不妨设，设，则．
∵，∴，即表示圆心为，半径为1的圆，设圆心为P，∴．
∵表示圆P上的点到坐标原点的距离，，∴的取值范围为，
故选：C．
14．【答案】B
【解析】直线整理可得，，即直线恒过，
同理可得，直线恒过，
又，
直线和互相垂直，
两条直线的交点在以，为直径的圆上，即的轨迹方程为，设该圆心为，
圆心距，
两圆相离，
，
的取值范围是．
故选：B．
经典题型四：周长、面积型
15．【答案】【解析】设，则，当时，的最大值为，此时根据对称性，不妨取直线l的方程为，
因为，，
所以点O到直线l的距离为，所以，解得．
故答案为：
16．【答案】
【解析】因为，过点的直线不过圆心，
所以该直线的斜率存在，设其方程为，即，
所以圆心到该直线的距离为，
因为，
所以，
故答案为：
17．【答案】CD
【解析】设圆的方程为，则，
解得，所以圆的方程为，故A错误；
连接，，直线的斜率，直线的斜率，可得过点的直线与线段相交时，的斜率的取值范围为，故B错误；
由圆的标准方程为，
因为直线被圆截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离，
则，解得或，
故直线的方程为或，故C正确；
由直线过定点，连接，，当时，点到直线的距离最大，，
当最小时，四边形的面积最小，
又由，所以四边形面积的最小值为，故D正确.
故选：CD.
18．【答案】D
【解析】圆心到直线距离，
因为，所以，,
则弦长，
所以A和B均错误；
，
令，则，
因为取不到，所以没有最小值，C错误；
当时，面积最大，为，D正确．
故选：D
19．【答案】C
【解析】由圆C方程可知，圆心，所以，直线l恒过点，点D在圆内，，当时，最小，也最小，此时，故（时不能构成三角形），时，．
故选：C．
经典题型五：数量积型
20．【答案】
【解析】由题，即，故为的中点，即过点P存在直线与圆C交于A、B两点，且满足为的中点.考虑当确定，在圆上运动时，的轨迹为与圆相切且半径为1的圆上.故当为的中点时，的轨迹为以为圆心，内外半径分别为1，3的圆环内.

故只需分析此圆环与直线相交的部分即可. 易得外圆方程,联立有,解得或,故点P横坐标的取值范围是
故答案为:
21．【答案】A
【解析】设，则，解得（舍去）或=4，
所以点P的轨迹方程为，曲线过点（1，2）且关于直线x=1对称，
由题可知k<0.当直线与相切时，解得k=或.
所以k的取值范围为
故选：A
22．【答案】C
【解析】因为，所以，，三点共线，
且点在线段外，因为点为线段的中点，
所以，即是直角三角形，
所以，由数量积的定义可得：
，
因为，所以，即，
故选:C.

23．【答案】ABC
【解析】A.直线，即，直线恒过点，故A正确；
B.当定点是弦的中点时，此时最短，圆心和定点的距离时，此时，故B正确；
C.当最小时，最小，此时，此时，当是直径时，此时最大，，此时，所以的取值范围为，故C正确；
D.根据C可知当最小时，其余弦值为，故D错误.
故选：ABC
24．【答案】BD
【解析】对于A，直线恒过定点，故A错误；
对于B，因为为正三角形，则，所以，故B正确；
对于C，因为，所以四边形为正方形，则，
所以点的轨迹方程为，问题转化为直线与点的轨迹有公共点，
所以，即，所以的取值范围为，故C错误；
对于D，因为，则，即，
由，所以，当且仅当时取等号，故D正确；
故选：BD.
25．【答案】ABC
【解析】如图，当直线与轴垂直时，有最小值，且最小值为，所以A正确；
当直线与垂直时，到的距离有最大值，且最大值为，所以B正确.
设，则，
所以，所以的最小值为，所以C正确；
当，，三点共线时，最大，且最大值为，所以D错误；
故选：ABC.

26．【答案】
【解析】设，由题意，点在，
即点在以为圆心，半径为的下半圆上，

，
其中表示为点到点的距离的平方，
当点到点的距离最小时，取最小值，
点到点的最小距离为，
所以的最小值为.
故答案为：
经典题型六：坐标与角度型
27．【答案】    
【解析】由题意知：直线经过圆心，又化为标准方程为，
故，即，故，
当且仅当，即时取等，故的最小值是；

易知圆与直线相切，在直线上，当时，设直线与圆切于点，如图所示，要使圆C上存在点N，使得∠CMN＝45°，
则，，则，即，解得，故且；
当时，即为切点，此时圆上存在使∠CMN＝45°，符合题意；综上：.
故答案为：；.
28．【答案】
【解析】设为圆上一点，直线为，过点作，连接，作出如下示意图：

则到直线的距离，由图可知圆在直线的上方，
所以，即，所以，，
所以，所以只需求出取值范围即可，
设直线与圆相切，所以，解得，
所以两条切线方程为：和，设两切点分别为，，分别过作，
垂足为，过作，垂足为，所以，
因为直线的斜率为：，所以，
所以，，又因为，
所以，所以，，
所以
所以，所以.
故答案为：.
29．【答案】A
【解析】由题M（-1，2），N（1，4），则线段MN的中点坐标为（0，3），
易知，则经过M，N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线上．
设圆心为，则圆S的方程为．
当取最大值时，圆必与轴相切于点（由题中结论得），
则此时P的坐标为，代入圆S的方程，得，
解得或，即对应的切点分别为P（1，0）和．
因为对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，
又过点M，N，的圆的半径大于过点M，N，P的圆的半径，
所以，故点P（1，0）为所求，即点P的横坐标为1.
故选:A．
30．【答案】A
【解析】由题可得点，在直线上，
圆的方程为，则圆心到直线的距离，
所以圆上的点到直线的距离的范围为.
因为对任意的点，总存在点，，使得，
所以以为直径的圆包含圆，故，
所以，得，
故选：A.
31．【答案】D
【解析】由题可知圆O 的半径为，圆M上存在点P，过点P作圆 O 的两条切线，
切点分别为A，B，使得，则，
在中，，
所以点 在圆上，
由于点 P 也在圆 M 上，故两圆有公共点.
又圆 M 的半径等于1，圆心坐标，
，
∴，
∴.
故选：D.
32．【答案】B
【解析】设，
，
，即．
点P的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆面．
若直线上存在点Q使得，
则PQ为圆的切线时最大，如图，

，即．
圆心到直线的距离，
或．
故选：B．
33．【答案】A
【解析】因为直线l：经过定点，圆O：的半径为，
当∠AOB为直角时，此时圆心O到直线l的距离，解得，
则当∠AOB为锐角时，．
又直线与圆相交于A，B两点，则，即，
所以或，
故选：A．
经典题型七：弦长型
34．【答案】B
【解析】依题意可知在圆内，且，圆O的半径为．
当OA与直线 l 垂直时，所截得的弦长最短，
即弦长的最小值为.
故选：B．
35．【答案】12
【解析】将圆C的方程化成标准方程为，圆心为，半径为9，
因为圆C关于直线对称，所以圆心位于该直线上，
将圆心坐标代入直线方程中，有,
即点在直线上，
设，过点D作圆C的切线，切点为E，则，

要使得切线长最短，则只需最短,
的最小值为点C到直线的距离，
此时，所以根据勾股定理，得,
即切线长的最小值是12，
故答案为：12
36．【答案】         
【解析】，即，过A的直线设为，
而曲线化为标准方程为，圆心为，
当为直经时长度最大，即，
当与垂直时长度最小，，
所以，即．
故答案为：；.
37．【答案】①③④
【解析】由题设，则圆心，半径，
由圆的性质知：当圆心与直线距离最大为时AC长度的最小，
此时，①正确；
BO长度最大，则圆心与共线且在它们中间，此时，②错误；
若分别是的中点，则且，且，
又，易知：为矩形，而，
若圆心到直线的距离且，
所以，则，故，
所以在以为直径，交点为圆心的圆上，③正确；

由上分析：，，而，
所以，
令，则，
当，即时，；
当或5，即或时，；
所以，④正确；
故答案为：①③④

1．【答案】C
【解析】由题可得圆心为，半径为2，
则圆心到直线的距离，
则弦长为，
则当时，弦长取得最小值为，解得.
故选：C.
2．【答案】A
【解析】设圆心，则，
化简得，
所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，

所以，所以，
当且仅当在线段上时取得等号，
故选：A.
3．【答案】B
【解析】圆化为，所以圆心坐标为，半径为，
设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时
根据弦长公式得最小值为.
故选：B.
4．【答案】D
【解析】圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离．
依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ，
当直线时，， ，此时最小．
∴即 ，由解得， ．
所以以为直径的圆的方程为，即 ，
两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．
故选：D.
5．【答案】ABD
【解析】圆心到直线l的距离，
若点在圆C上，则，所以，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点在圆C内，则，所以，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点在圆C外，则，所以，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点在直线l上，则即，
所以，直线l与圆C相切，故D正确.
故选：ABD.
6．【答案】ACD
【解析】圆的圆心为，半径为，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：

当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD选项正确.
故选：ACD.
7．【答案】
【解析】关于对称的点的坐标为，在直线上，
所以所在直线即为直线，所以直线为，即；
圆，圆心，半径，
依题意圆心到直线的距离，
即，解得，即；
故答案为：