湖北省部分省级示范高中2022-2023学年高三上学期期中质量检测数学试题（含答案）

2022-2023学年湖北省部分省级示范高中高三年级期中质量检测数学试题

一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    已知集合，集合， 则下列关系式准确的是(    )

A.  B.
C.  D. 或

2.    函数的定义域是(    )

A.  B.  C.  D.

3.    已知函数为偶函数，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.    已知正方形的对角线，点在边上，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.    若数列满足，，，则称为斐波那契数列，它是由中世纪意大利数学家斐波那契最先发现它有很多美妙的特征，如当时，前项之和等于第项减去第项随着的增大，相邻两项之比越来越接近等等若第项是，请估计这个数列的前项之和最接近备注：，(    )

A. 万 B. 万 C. 万 D. 万

6.    已知，，，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

7.    在中，内角，，所对的边分别为，，，且，下列结论正确的是(    )

A.
B. 当，时，的面积为
C. 若是的角平分线，且，则
D. 当时，为直角三角形

8.    已知函数，若函数的单调递减区间理解为闭区间中包含且仅包含两个正整数，则实数的取值范围为(    )

A.  B.
C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）

9.    已知复数：满足，则(    )

A.  B. 虚部为
C. 的共轭复数为 D. 是方程的一个根

10. 下列选项中，正确的有(    )

A. 设，都是非零向量，则“”是“”成立的充分不必要条件
B. 若角的终边过点且，则
C. 在中，
D. 若，则

11. 大衍数列来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程已知大衍数列满足，

，则(    )

A.
B.
C.
D. 数列的前项和为

12. 若，，且，则(    )

A.  B.
C.  D.

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知是等差数列，是等比数列，是数列的前项和，，，则          ．
14. 已知向量，，若，则在上的投影向量为          ．
15. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作孙子算经

卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何现有这样一个相关的问题：被除余且被除余的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为          ．

16. 已知是定义在上的函数，且函数的图象关于直线对称，当时，，则          ，曲线在处的切线方程是          ．

四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分

已知函数．

若，求的单调区间

若函数在处取得极值，求的最大值和最小值．

18. 本小题分

已知数列的首项为，且满足，若．

求数列的通项公式

数列中，，对任意，，都有，求数列的前项和．

19. 本小题分

如图，在平面凹四边形中，，，，角满足：．

求角的大小
求凹四边形面积的最小值．

20. 本小题分

已知函数，，且在上单调递增．

若恒成立，求的值

在的条件下，若当时，总有使得，求实数的取值范围．

21. 本小题分

已知函数的周期为，图像的一个对称中心为，将函数图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍纵坐标不变，再将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像．

求函数与的解析式

是否存在，使得、、按照某种顺序成等差数列若存在，请求出该数列公差绝对值的取值范围若不存在，请说明理由．

当时，判断在内的零点个数，并说明理由．

22. 本小题分

已知函数．

求的极值

若时，恒成立，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了集合的基本运算，属于基础题．

【解答】

解：集合，集合，
，，
或，
或或．
故B正确，，，D错误．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的定义域，属于基础题．

【解答】

解：由，解得得
故所求函数的定义域为

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查分段函数的求值与函数的奇偶性，属于中档题．

【解答】

解：因为为偶函数，
所以，，
所以，，
解得，，，此时
为偶函数，满足题意，
则．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．

【解答】

解：因为正方形的对角线为，故正方形的边长为，
点在边上，则，其中，
则，
当点与点重合时，等号成立，故的最大值为．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查数列的递推关系、数列求和，属于中档题．

【解答】

解：根据题意得，，假设的前项和为，则
当时，，
则，
因为随着的增大，相邻两项之比接近，
则，
由万，
所以从选项判断，估计这个数列的前项之和最接近万．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查的知识要点：三角函数的值的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

【解答】

解：由于，根据三角函数的值，
则，
由，可知
故．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了正余弦定理的应用，以及三角形面积公式的应用，考查了运算能力，属于中档题．

【解答】

解：因为，
由正弦定理可得，
又因为，
所以，
化简可得，，
可得，，故，选项A错误；
选项B：当，时，，
可得，无解，故此时三角形不存在，选项B错误；
选项C：因为若是的角平分线，且，
故，而，
所以，
得，所以，选项C错误；
选项D：因为，由正弦定理可得，
又，，得，
所以，化简可得，，
解得或，由条件可知，故舍去，
故，所以，所以为直角三角形，选项D正确．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要利用导数研究函数的单调性，考查数形结合思想与运算求解能力，属于综合题．

【解答】

解：因为函数的单调递减区间理解为闭区间中包含且仅包含两个正整数，
所以的解集中恰有两个正整数，
由可得，
令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
作出函数与的大致图象如图所示：

当恰有两个正整数解时，即为和，
所以，解得，
故实数的取值范围为

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查复数的运算，复数的模、共轭复数，方程的根等，属于基础题．
由复数的四则运算，得到的值，再根据相关概念逐个进行判断即可得到答案．

【解答】

解：因为，
所以，
所以，故A正确；
由知，的虚部为，故B错误；
的共轭复数为，故C错误；
因为，
所以是方程的一个根，故D正确．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的线性运算、三角函数的定义、诱导公式、正弦定理以及三角函数性质的应用，属于中档题．

【解答】

解：选项A：由，可知，所以，故充分性成立；
若，则，因为为大于的实数，不一定为，所以必要性不成立，故“”是“”成立的充分不必要条件，选项正确；
选项B：若角的终边过点且，则，解得，
选项错误；
选项C：因为在中，，由正弦定理可知，所以，
因为在上单调递减，而，为的内角，，，故A；
故可得，选项C正确；
选项D：若，则，D错误．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查数列的通项公式，递推关系，等差数列求和与分组转化求和法，属于综合题．

【解答】

解：因为大衍数列满足，，
所以，，，故选项A错误
因为当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以，故选项B正确
因为由选项B知：，由选项A知：，，
所以当为奇数时，
，
当为偶数时，
，
因此，故选项C正确
设数列的前项和为，
则，
因此由选项C知：
，故选项D正确．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了基本不等式性质的应用，属于中档题．

【解答】

解：对于，由，且满足，得
，当且仅当时取等号，故A正确，
对于，由选项A可得，故B错误；
对于，，
当且仅当时取等号，故C正确；
对于，，
当且仅当时取等号，故D正确，

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了等差数列与等比数列的性质，等差数列的前项和公式，以及对数的运算，属于基础题．

【解答】

解：因为是等差数列，且，则，则，
又因为是等比数列，且，则，
所以．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查向量的坐标运算，向量垂直的充要条件，向量的投影，属于基础题．

【解答】

解：，，
，解得，
，，
，
在上投影向量的坐标为：
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查数列的项数的求法，考查等差数列的通项公式与求和公式，考查运算求解能力，是中档题．

【解答】

解：被除余且被除余的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为，公差为的等差数列，则，
从而
当且仅当，即时，等号成立，
的最小值为．

16.【答案】   

【解析】

【分析】

本题考查了利用导数求切线方程以及利用对称性求函数的解析式，考查了运算能力，属于中档题．

【解答】

解：因为函数的图象关于直线对称，
所以，即，
用代替，得到，故关于对称，
当时，，则，
所以时，，则，
故，，
故曲线在处的切线斜率，切点坐标为，
故切线方程为，即．
故答案为，．

17.【答案】解：若，有，则，

令得

令得或

所以，的减区间是，增区间是，

由得

当或时，当时，

在，上递增，在上递减

的极大值为，的极小值为

又当时，，当时，

，．

【解析】本题考查利用导数求函数的单调区间，求函数的最值，根据极值求参，属于中档题．
 

18.【答案】解：，，

又，且

是首项为，公比为的等比数列，

对任意，都成立，令得

作差化简得

【解析】本题主要考查等比数列与错位相减法法求和，属于中档题．
 

19.【答案】解：

又，

，又，；

连接，设，

在中，由余弦定理得，

在中由余弦定理得

当时取等号，

凹四边形面积，

四边形面积的最小值是

【解析】本题主要考查余弦定理解三角形、三角形面积公式以及基本不等式求最值的实际应用，属于中档题．
 

20.【答案】解：由题意得

，解得，

且在上单调递增，故，得

由得

时，，

根据对称轴讨论取值范围

时，在时单调递增，，此时不合题意

时在上单调递减，在时单调递增，

由题意得解得

时，在时单调递减，，

由题意得，解得舍去

综上，的取值范围为

【解析】本题考查正弦函数的图象与性质，二次函数的最值，属于综合题．
 

21.【答案】解：周期，

又是的一个对称中心，，解得：，

，，，

假设存在，使得、、按照某种顺序成等差数列

当时，，，，

又，，

，即，

令，，

则

在上单调递增，

又，且在上连续，

唯一的，使得，即成立

即存在，使得，，或，，成等差数列

，

，，

即该等差数列公差的绝对值的取值范围为

由题意得：，

当，即时，，不是的零点

则的零点个数等价于的根的个数，即与的交点个数

，是以为周期的周期函数

当时，

当时，当时，

在，上单调递增，在，上单调递减，

则在上的大致图像如下图所示，

由图像可知：当时，与在内无交点，在内有两个交点
当时，在内有两个交点，在内有两个交点
当时，与在内有且仅有一个交点，在内有两个交点
综上所述，在内，
当时，与有个交点，即有个零点
当时，与有个交点，即有个零点
当．

【解析】本题考查同角三角函数基本关系，三角恒等变换，三角函数的图象与性质，考查函数、函数的导数、函数的零点等基础知识，属于难题．
 

22.【答案】解：函数的定义域为，，

当时，在恒成立，在单调递减，故无极值；

当时，令，则，

时，，在上单调递减

时，，在上单调递增

故在取极小值，且，无极大值

综上，当时，无极值

当时，在取极小值，且，无极大值；

，
，即且，

且，即，为的两个零点

由知，当时，在取极小值，且，
故，则，

又，，且时，

，

又恒成立，对任意恒成立，

且

对任意恒成立，

令，则，对任意恒成立，则．

对任意恒成立，

令，则，因为时，

所以时，恒成立，故在为单调递增函数，

又，对恒成立，

当，即时，为单调增函数，

又，，使，

当时，，故在单调递减，

当时，

综上，实数的取值范围为

【解析】本题考查了导数研究函数中的恒成立问题以及解决函数的极值问题，考查了分类讨论思想以及构造函数的方法，综合性较强，属于难题．