吉林省吉林市2022-2023学年高二上学期期中数学试题（含答案）

这是一份吉林省吉林市2022-2023学年高二上学期期中数学试题（含答案），共17页。试卷主要包含了已知点，，为椭圆，过点且与圆相切的直线的方程为等内容，欢迎下载使用。
吉林市普通中学2022—2023学年度高二年级上学期期中调研测试数学本试卷共22小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.1.已知，，若，则实数的值为A.   B.   C.   D.2.经过点且与直线垂直的直线方程为A.   B.C.   D.3.直线的倾斜角的取值范围是A.   B.   C.   D.4.过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为A.   B.C.   D.5.直线与圆的位置关系为A.相交   B.相切   C.相离   D.与的值有关6.如图，在四面体中，，，，点在上，点在上，且，，则A.   B.C.   D.7.已知圆与轴交于，两点，圆，若圆上存在点使得，则的取值范围是A.   B.   C.   D.8.已知点，，为椭圆：上不重合的三点，且点，关于原点对称，若，则椭圆的离心率为A.   B.   C.   D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知两条不重合的直线，，下列结论正确的是A.若，则    B.若，则C.若，则    D.若，则10.过点且与圆相切的直线的方程为A.     B.C.   D.11.如图，在平行六面体中，，，，则下列说法正确的是A.不能构成空间的一个基底B.C.平面D.直线与直线所成角为12.椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上.请根据椭圆的这一光学性质解决以下问题：已知椭圆，其左、右焦点分别是，，直线与椭圆相切于点，且，关于直线的对称点为，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点，则下列结论正确的是A.    B.，，三点共线C.   D.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.其中第16题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分.13.直线在轴上的截距为___________.14.椭圆且的离心率为，则___________.15.在等边三角形中，为中点，将沿折起至，使得，则直线与平面所成角的正弦值为___________.16.平面内两个定点，，动点满足，当且时，点的轨迹是圆，这个圆称作阿波罗尼斯圆（简称阿氏圆），且半径为.若，且，则该圆的半径为___________；已知正方体的棱长为，动点满足，则的最小值为___________.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知点，点到直线的距离相等.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，直线过点且与直线的夹角为，求直线的方程.18.（本小题满分12分）已知圆过原点和点，并且圆心在直线上.（Ⅰ）求圆的标准方程；（Ⅱ）判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆截得的弦长.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，点在上，且.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求平面与平面的夹角的余弦值.20.（本小题满分12分）已知动圆与圆外切，同时与圆内切.（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹的方程，并说明它是什么曲线；（Ⅱ）若直线，求曲线上的点到直线的最大距离.21.（本小题满分12分）如图，直三棱柱中，，，为棱的中点，为棱上一动点.（Ⅰ）试确定点位置，使得平面；（Ⅱ）求点到平面距离的最大值.22.（本小题满分12分）已知，椭圆的离心率为，长轴长为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）直线过点，且被椭圆截得的弦长为，求直线的方程；（Ⅲ）设为坐标原点，若，，为椭圆上的点，且圆与直线，相切，当直线，的斜率存在且，求圆的半径.吉林市普通中学2022—2023学年度高二上学期期中调研测试数学试题参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.12345678BCDBAACA二、多项选择题：本大题共4小小题，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，共20分.9101112ABDACBCDBCD三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.其中第16题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分.13.  14.2或  15.16.（2分），（3分）提示：题点P的轨迹如图四、解答题17.【解析】（Ⅰ）由题意，直线或直线经过的中点.当直线时，的斜率，直线的斜率，故.当直线经过的中点时，的中点坐标为，满足直线的方程，即，故.综上，或.（法二）到直线的距离.到直线的距离.∵，∴.∴或.（评分说明：少一种情况扣2分.））（Ⅱ）若，则.直线的倾斜角为，直线与直线的夹角为，所以直线的倾斜角为0或.当直线的倾斜角为0时，直线的方程为；当直线的倾斜角为时，直线的方程为.综上，直线的方程为：或.扣（评分说明：少一种情况扣2分.）（法二）经分析可知满足条件的直线必有两条.i.由已知当直线斜率存在时，设其为，从而设直线的一个方向向量为.又由已知（1）及，可知，所以直线的一个方向向量为，由已知直线的夹角为45°可得：，即，解得∴直线的方程为：.ii.另一条满足条件的直线斜率不存在，其方程为：综上，直线的方程为：或18.【解析】（Ⅰ）设圆半径为，由圆过原点和点可知，圆心在线段的垂直平分线上.又因为圆心在直线：上，满足，解得即.又因为点在圆上，点满足，.圆的标准方程为.（法二）圆心在直线：上，设圆心，因为点和点在圆上，所以，即.解得：，，所以圆心.圆的标准方程为.（Ⅱ）圆的圆心，半径为，圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交.弦长为.（评分说明：将直线与圆方程联立，判断位置关系给3分，求弦长给3分）19.【解析】（Ⅰ）证明：由题平面ABCD，底面ABCD为矩形，以D为原点，直线，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图：则，，，，，，，，，∵∴，∵，∴，∵∴平面.（法二）证明：由题平面，底面为矩形，以D为原点，直线，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图：则，，，，，，设是平面PAM的一个法向量.，.取，有∴，，则，.∴平面.（法三）证明：连接DM∵平面ABCD，平面ABCD.∴.在中，，.∵，∴，且，∴平面，又∵平面，∴.∵，又∵，∴，∴.且，∴平面.（Ⅱ）（接向量法）由（1）可知平面的法向量为（也可为）.平面的一个法向量为..∴平面PAM与平面PDC的夹角的余弦值为.（法二）延长AM，DC，交于点N，连接PN.∵，∴平面，∵，∴平面PCD.∴平面平面.过D做于T，连接AT.∵平面，∴.又，，∴平面，又平面，∴.又∵，，∴平面，∴，∴为二面角的平面角.在中，，∴.∴平面PAM与平面PDC的夹角的余弦值为.20.【解析】（Ⅰ）设动圆的半径为.由动圆与圆外切可知：，（1）由动圆与圆C内切可知：，（2）则（1）+（2）可得：.所以动圆的轨迹是以，为焦点，长轴长为10，焦距为8的椭圆.动圆圆心的轨迹方程为.（评分说明：圆心的轨迹方程中是否抠除左顶点均不扣分）（Ⅱ）设与直线平行的直线：.由，得..当时，即时，直线与椭圆相切.由图形可知，当时，切点到直线的距离最大.设最大距离为，则.所以，曲线上的点到直线的最大距离为.（法二）设椭圆上点.则点P到直线的距离（其中）当时，取得最大值，即.所以，曲线上的点到直线的最大距离为.（法三）设曲线上任一点，则到直线的距离由柯西不等式得.∴，当且仅当时，取“=”.∴，∴.所以，曲线上的点到直线的最大距离为.21.【解析】（Ⅰ）当在中点处时，面.证明如下：在直棱柱中，，以为坐标原点，以，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图：则，，，，，，.设平面的一个法向量为，，，，令，得，即.设，则，令，解得，故在中点处时，平面.（评分说明扣：注意强调建系说明，并在图中标注，若没有，只扣1分）（法二）当在中点处时，面.证明如下：取中点，连接，.（评分说明：证出线线平行，给33分；没有强调，扣1分.）（法三）取中点，连接，.（评分说明：证出线面平行，给2分；没有强调，扣1分；利用线线平行证明面面平行，扣1分.）（法四）.所以，，共面，且平面，所以平面.（法五）取中点为，连接交与，连接则，即，，，四点共面.∵平面，平面，平面平面∴又∵，∴四边形BPMO是平行四边形，即∵又∵，∴，即P是的中点.（Ⅱ）设，为平面的一个法向量.，，，令得即.到平面的距离为，当时，到平面的距离的最大值为.（法二）设点到平面距离为.在中，，，在中，.又平面，，∴点到平面的的距离为..即，∴.取中点E，连接PE.当点P为中点时，PE为异面直线与的公垂线段.∴.∴.所以，点到平面的距离的最大值为.（法三）提示：当平面平面时，点到平面的距离最大.∵平面平面，作，垂足为，则平面，∴为点到平面最大距离.，∴.所以，点到平面的距离的最大值为.22.【解析】（Ⅰ）由已知可得：，，所以，.又，所以椭圆的方程为.（Ⅱ）易知，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为且与椭圆相交于，由，消去可得，.所以，由韦达定理可得：，.所以即或（舍），所以符合题意.所以直线的方程为或.（Ⅲ）过原点作圆的切线，设，圆的半径为，由圆心到直线的距离等于半径，可得.即，即.（*）由已知，即为方程（*）的两个根，所以由韦达定理可得：，所以.因为在椭圆上，所以，即.所以，即.所以圆的半径为.（评分说明：根据特殊位置，如给在椭圆顶点时，求出半径，给2分）