数学第13章 立体几何初步13.1 基本立体图形课文内容ppt课件

13.1.2　圆柱、圆锥、圆台和球

知识点1　圆柱、圆锥和圆台的概念

(1)圆柱、圆锥和圆台的定义

将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的空间图形分别叫作圆柱、圆锥、圆台．

(2)与圆柱、圆锥、圆台有关的概念

绕着旋转的这条直线叫作轴．垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作底面．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫作母线．

1．圆锥的母线有(　　)

A．1条  B．2条  C．3条  D．无数条

D　[圆锥的顶点和底面圆周上任意一点的连线都是圆锥的母线，所以圆锥的母线有无数条．]

2．如图所示的图形中有(　　)

(1)　　　　(2)　　　　(3)

A．圆柱、圆锥和圆台   B．圆柱和圆锥

C．圆柱和圆台   D．棱柱、棱锥和圆锥

B　[根据题中图形可知，(1)是圆柱，(2)是圆锥，(3)不是圆台，故选B．]

知识点2　球的定义及其有关的概念

半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫作球面，球面围成的空间图形叫作球体，简称球，如图所示．

球和球面的区别？

[提示]　球与球面是完全不同的两个概念，球是指球面及其围成的空间构成的空间图形，而球面只指球的表面部分．

3．下列说法中正确的是(　　)

A．半圆弧以其直径为轴旋转所成的曲面叫球

B．空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球面

C．球面和球是同一个概念

D．经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆

B　[半圆弧以其直径为轴旋转所成的曲面叫球面，球面围成的空间图形，叫球，A不正确；B正确；球面和球是两个不同的概念，C错误；若球面上不同的两点恰好为最大的圆的直径的端点，则过此两点的大圆有无数个，故D错误．]

知识点3　旋转体

圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体．

4．将选项中所示的三角形绕直线l旋转一周，可以得到如图所示的空间图形的是(　　)

　　              　 A　　　　B　　　　C　　　　D

[答案]　B

类型1　旋转体的结构特征

【例1】　下列说法：

①以直角梯形的一腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆台；

②分别以矩形两条相邻边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周，所得到的两个圆柱可能是不同的圆柱；

③用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．

其中正确说法的序号是________．

②　[①错误．若以直角梯形的不垂直于底边的腰为轴旋转一周形成的旋转体不是圆台，是圆锥和圆台的组合体．

②正确．若矩形的两邻边长不相等，则其旋转形成的曲面或圆面的半径也不一样，故所得圆柱也不同．

③错误．当此平面与圆锥的底面平行时，才能截得一个圆锥和一个圆台，否则不能得到．]

准确掌握圆柱、圆锥、圆台、球的生成过程及其结构特征是解决此类概念问题的关键.要注意定义中的关键字眼，对于似是而非的问题，可以通过动手操作来解决.

[跟进训练]

1．(多选题)给出以下四个命题，其中正确的是(　　)

A．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线

B．圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线

C．在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线

D．圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的

BD　[A不正确，因为这两点的连线不一定与圆柱的旋转轴平行；B正确，符合圆锥母线的定义；C不正确，结合圆台母线的定义可知，母线与旋转轴的延长线应交于一点，而从圆台上、下底面圆周上各取一点，其连线未必满足这一条；D正确，符合圆柱母线的性质．]

类型2　简单组合体的结构特征

【例2】　(1)下列说法：

①球面上四个不同的点一定不在同一平面内；

②球的半径是球面上任意一点和球心的连线段；

③球面上任意三点可能在一条直线上；

④用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．

其中正确的序号是________．

(2)已知AB是直角梯形ABCD与底边垂直的一腰(如图)．分别以AB，BC，CD，DA为轴旋转，试说明所得空间图形是由哪些简单空间图形构成的？

(1)②④　[作球的一个大圆，在大圆上任取四点，则这四点就在球面上，且共面，故①错误；根据球的半径的定义可知②正确；球面上任意三点一定不共线，故③错误；用一个平面去截球，一定截得一个圆面，故④正确．]

(2)[解]　①以AB边为轴旋转所得旋转体是圆台．如图(1)所示．

②以BC边为轴旋转所得旋转体是一组合体：下部为圆柱，上部为圆锥．如图(2)所示．

③以CD边为轴旋转所得旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥．如图(3)所示．

④以AD边为轴旋转得到一个组合体，它是一个圆柱上部挖去一个圆锥．如图(4)所示．

(1)　　　　　(2)　　 　(3)　 　　　(4)

关于平面图形绕固定轴旋转后得到的空间图形的组成问题，可采用如下方法解决：

[跟进训练]

2．如图所示，画出下列图形绕直线旋转一周后所形成的空间图形，并说出这些空间图形是由哪些旋转体组合而成的．

(1)　　　　　　　　　(2)

[解]　旋转后的图形草图分别如图(a)(b)所示，(a)是由圆锥、圆柱组合而成的．(b)是由圆柱中间挖去一个圆锥组合而成的．

(a)　　　　　　　　(b)

类型3　有关旋转体的计算问题

【例3】　圆台的上、下底面半径分别为6和12，平行于底面的截面自上而下分母线为2∶1的两部分，求截面的面积．

画出圆台，将圆台还原成圆锥，利用比例关系求截面的半径即可.

[解]　如图所示，将圆台还原成圆锥，其中P为圆锥顶点，CD、AB、EF分别为圆台的上、下底面以及截面圆的半径．

显然CD∥EF∥AB，

所以＝＝＝，

所以PD＝DB＝PB．

又＝2，所以DF＝DB＝PB．

所以PF＝PD＋DF＝PB．所以＝＝，所以EF＝AB＝10，所以截面的面积为π·EF2＝π·102＝100π．

圆柱、圆锥、圆台问题要抓住它们的轴截面及其中线段与底面半径、高、母线之间的关系，构造矩形、直角三角形求解.

[跟进训练]

3．圆锥母线长为8，底面半径为2，A为底面圆周上一点，从A出发将绳子绕圆锥侧面一周后，再回到A，则绳长最短为________．

8　[如图所示，将圆锥沿过A点的母线展开，设A点展开后另一点为A′点，则绳子最短长度为线段AA′的长度．因为底面半径为2，所以弧长＝2π×2＝4π．因为展开图对应的扇形半径R＝8，所以圆心角α＝＝，即△A′OA为等腰直角三角形．

所以AA′＝＝8．]

1．下列命题中正确的是(　　)

A．圆柱上底面圆上任一点与下底面上任一点的连线都是圆柱的母线

B．一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的空间图形是圆台

C．圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形

D．在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球

C　[A错，由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴；B错，直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的空间图形是由一个圆柱与一个圆锥组成的空间图形；C正确；D错，点的集合应为球面．]

2．(多选题)下面空间图形的截面可能是圆面的是(　　)

A．圆台  B．球  C．圆柱  D．棱柱

ABC　[截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面可能是圆面的空间图形是ABC．]

3．一个直角三角形绕斜边所在直线旋转360°形成的空间几何体为(　　)

A．一个圆锥   B．一个圆锥和一个圆柱

C．两个圆锥   D．一个圆锥和一个圆台

C　[此直角三角形被斜边上的高线分成两个小的直角三角形，绕斜边所在直线旋转360°，相当于绕小直角三角形的直角边所在直线旋转360°，得到的空间几何体是两个同底的圆锥．故选C．]

4．一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2．则此圆台还原成圆锥的母线长为________cm．

20　[圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．由已知可得上底面半径O1A＝2(cm)，下底面半径OB＝5(cm)，又因为腰长为12 cm，

如图所示，延长BA，OO1，CD交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO可得＝，解得l＝20 (cm)，即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm．

]

5．下列各命题：

①圆锥的轴截面是等腰三角形，且只有一个；

②球的任意截面都是圆面；

③圆台所有母线的延长线交于一点．

其中正确命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号)

②③　[圆锥的轴截面是等腰三角形，但其轴截面有无数个，故①错误；由球的特征性质可知②正确；由圆台的特征性质可知③正确．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．圆柱、圆锥、圆台平行于底面的截面是什么样的图形？圆柱、圆锥、圆台过轴的截面(简称轴截面)分别是什么样的图形？

[提示]　它们平行于底面的截面都是圆面．它们的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形．

2．同一平面图形绕不同的旋转轴旋转所得的旋转体相同吗？

[提示]　旋转体的形状关键是看旋转体是由平面图形绕哪条直线旋转得到的，同一个平面图形绕不同的旋转轴旋转所得的旋转体不同．例如，直角三角形绕不同的直角边所在的直线旋转一周形成的圆锥不一定相同，如图(1)，图(2)．若绕斜边所在的直线旋转一周，则形成两个同底的圆锥的组合体，如图(3)．

图(1)　　　　　图(2)　　　　图(3)

3．圆柱、圆锥、圆台之间有什么关系？

[提示]