苏教版 (2019)必修 第二册12.2 复数的运算教案配套课件ppt

第2课时　复数的乘方与除法

知识点1　复数的乘方与in(n∈N*)的周期性

(1)复数范围内正整数指数幂的运算性质

设对任何z，z1，z2∈C及m，n∈N*，则zmzn＝zm＋n，(zm)n＝znm，(z1z2)n＝zz.

(2)虚数单位in(n∈N*)的周期性

i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i.

1.i2 021＝________.

i　[i2 021＝i4×505＋1＝i.]

知识点2　复数的除法

把满足(c＋di)(x＋yi)＝a＋bi(c＋di≠0)的复数x＋yi(x，y∈R)叫作复数a＋bi除以c＋di所得的商，且x＋yi＝＝＋i(c＋di≠0)．

2.(2－i)÷i＝________.

－1－2i　[(2－i)÷i＝＝＝－1－2i.]

类型1　i的运算特征

【例1】　计算下列各式的值．

(1)1＋i＋i2＋…＋i2 018＋i2 019；

(2)＋(1－i)2 022；

(3)i2 022＋(＋i)8－.

[解]　(1)1＋i＋i2＋…＋i2 018＋i2 019＝1＋(i＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016)＋i2 017＋i2 018＋i2 019＝1＋i－1－i＝0.

(2)∵1－＝1＋＝1＋i，且(1±i)2＝±2i.

∴＋(1－i)2 022

＝[(1＋i)2]1 011＋[(1－i)2]1 011

＝(2i)1 011＋(－2i)1 011＝0.

(3)i2 022＋(＋i)8－

＝i4×505＋2＋[2(1＋i)2]4－

＝i2＋(4i)4－i25

＝－1＋256－i＝255－i.

1．虚数单位i的性质

(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．

(2)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．

2．复数的乘方运算，要充分运用(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－i及乘方运算律简化运算．

[跟进训练]

1．计算：(1)···…·.

(2)1＋2i＋3i2＋…＋2 021i2 020.

[解]　(1)∵＝i，

∴原式＝i·i2·i3·…·i10＝i1＋2＋3＋…＋10＝i55＝i3＝－i.

(2)设S＝1＋2i＋3i2＋…＋2 021i2 020，

∴iS＝i＋2i2＋3i3＋…＋2 021i2 021，

∴(1－i)S＝1＋i＋i2＋…＋i2020－2 021i2 021

＝1－2 021i，

∴S＝＝

＝1 011－1 010i.

类型2　复数的除法

【例2】　(1)＝________；

(2)已知复数z满足(3－4i)z＝25，则z＝________；

(3)i为虚数单位，＝________.

(1)－1＋2i　(2)3＋4i　(3)－1　[(1)＝＝＝－1＋2i.

(2)由(3－4i)z＝25，得z＝＝＝＝3＋4i.

(3)∵＝＝＝－i，

∴＝(－i)2＝－1.]

两个复数代数形式的除法运算步骤

(1)把除式写为分式．

(2)分子、分母同时乘以分母的共轭复数．

(3)对分子、分母分别进行乘法运算．

(4)把运算结果化为复数的代数形式．

[跟进训练]

2．(1)i为虚数单位，复数＝________；

(2)设z＝1＋i(i是虚数单位)，则＋z2＝________.

(1)1＋i　(2)1＋i　[(1)＝＝1＋i.

(2)＋z2＝＋(1＋i)2＝＋2i＝1＋i.]

类型3　复数四则运算的综合应用

【例3】　计算：(1)＋(5＋i)2－；

(2).

以复数四则运算的法则为切入点，类比数的运算，对相应算式逐一求解.

[解]　(1)＋(5＋i)2－

＝＋(25＋10i－1)－

＝i＋24＋10i－i＝24＋10i.

(2)原式＝

＝

＝

＝·(2i)2·i＝－4i.

1．进行复数四则混合运算时，要先算乘方，再算乘除，最后计算加减．

2．复数乘法、除法运算中注意一些结论的应用

(1)＝＝＝i.利用此法可将一些特殊类型的计算过程简化．

(2)记住一些简单结论，如＝－i，＝i，＝－i，(1±i)2＝±2i等．

[跟进训练]

3．(1)设i是虚数单位，复数i3＋＝________.

(2)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝________.

(1)1　(2)2＋3i　[(1)i3＋＝－i＋＝－i＋i－i2＝1.

(2)∵(z－2i)(2－i)＝5，∴z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝2＋i＋2i＝2＋3i.]

1．已知i是虚数单位，则i＋i2＋i3＝(　　)

A．－1  B．1  C．2  D．－2

A　[原式＝i－1－i＝－1，故选A.]

2．若z(1＋i)＝2i，则z＝(　　)

A．－1－i  B．－1＋i  C．1－i  D．1＋i

D　[由题意可知z＝＝＝1＋i，故选D.]

3．设i是虚数单位，复数的虚部为________．

1　[＝＝3＋i.]

4．如果z1＝－2－3i，z2＝，则＝________.

4－3i　[∵z1＝－2－3i，z2＝，

∴＝

＝

＝－i(2＋i)2＝－(3＋4i)i＝4－3i.]

5．计算－＝________.

1＋2i　[－

＝[(1＋2i)·1＋(－i)5]2－i10

＝(1＋i)2－i10

＝1＋2i.]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．复数的四则运算顺序与实数的四则运算顺序相同吗？顺序是什么？

[提示]　相同，先乘除，后加减．

2．如何理解复数的除法运算法则？

[提示]　复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．