2022-2023学年重庆市璧山区来凤中学九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年重庆市璧山区来凤中学九年级（上）期中数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了0分，有下列结论，0分），【答案】B，【答案】C等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年重庆市璧山区来凤中学九年级（上）期中数学试卷注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。  第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）下列方程是一元二次方程的是(    )A.  B.  C.  D. 下列图形中，是中心对称图形的是(    )A.  B.
C.  D. 将抛物线向下平移个单位后的新抛物线解析式为(    )A.  B.  C.  D. 二次函数的对称轴是(    )A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线点关于原点对称的点的坐标是(    )A.  B.  C.  D. 某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由元降为元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，则下面所列的方程中正确的是(    )A.  B.
C.  D. 如图，四边形为的内接四边形，已知，则的度数为(    )A.
B.
C.
D. 若是关于的一元二次方程的解，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 如图，将绕点按逆时针方向旋转至，使点落在的延长线上已知，，则的大小是(    )
A.  B.  C.  D. 对于二次函数，下列说法不正确的是(    )A. 开口向下
B. 当时，随的增大而减小
C. 当时，有最大值
D. 函数图象与轴交于点和点经过某种图形变化后得到点，这种图形变化可以是(    )A. 关于轴对称 B. 关于轴对称
C. 绕原点逆时针旋转 D. 绕原点顺时针旋转如图，二次函数的图象的对称轴是直线，且经过点有下列结论：；：；；若，，是抛物线上的点，则，其中正确结论的个数是(    )A.
B.
C.
D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）方程的解为______．二次函数的图象与轴的交点坐标是______．已知的半径为，圆心，坐标原点与的位置关系是______．关于的方程是一元二次方程，则______．如图，正方形的边长为，以为圆心，的长为半径画弧，连接，以为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积是______．
如图，是等边三角形，是的中点，是直线上一动点，线段绕点逆时针旋转，得到线段，当点运动时，若，则的最小值为______．
   三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
解方程：
；
．本小题分
如图，为的弦．
用尺规作图：过点作的垂线，垂足为，交于，两点保留作图痕迹，不要求写作法和证明；
已知，求的长．
本小题分
如图，在边长为的正方形网格中，的顶点均在格点上．
画出关于原点成中心对称的，并直接写出各顶点的坐标；
画出绕点顺时针旋转度得到的，直接写出的坐标为______；
在的旋转过程中，求扫过图形的面积．
本小题分
如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且平分，过点作于点，延长和的延长线交于点．
证明：是的切线；
若，，求的半径．
本小题分
已知二次函数过点，，．
求二次函数的解析式；
在抛物线的对称轴上求点，使最小，求点的坐标；
在抛物线上存在一点使的面积为，求点的坐标．
本小题分
某超市销售一种商品，成本每千克元，规定每千克售价不低于成本，且不高于元，经市场调查，每天的销售量千克与每千克售价元满足一次函数关系，部分数据如表：售价元千克销售量千克直接写出与之间的函数表达式；
设商品每天的总利润为元，求与之间的函数表达式，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？本小题分
已知抛物线经过点，且经过直线与轴的交点及与轴的交点．

求抛物线的解析式；
点在直线下方的抛物线上运动，当的面积最大时，求点的坐标及的面积最大值；
在平面内是否存在点，使、、、四点组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．若不存在，请说明理由．本小题分
如图，矩形中，，将矩形绕点旋转得到矩形，使点的对应点落在上，交于点，在上取点，使．
 求证：．求的度数．已知，求的长．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B.是分式方程，故本选项不符合题意；
C.不是方程，故本选项不符合题意；
D.是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键．
 2.【答案】 【解析】解：选项B、、中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项A中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 3.【答案】 【解析】解：将抛物线向下平移个单位后的新抛物线解析式为：．
故选：．
根据“上加下减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的规律是解答此题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：由二次函数可知，其图象的对称轴是直线．
故选：．
直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．
本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故选：．
根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，进而得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
 6.【答案】 【解析】解：设每次降价的百分率为，由题意得：
，
故选：．
设每次降价的百分率为，根据降价后的价格降价前的价格降价的百分率，则第一次降价后的价格是元，第二次后的价格是元，据此即可列方程求解．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．
 7.【答案】 【解析】解：由圆周角定理得，，
四边形为的内接四边形，
，
故选：．
根据圆周角定理求出，根据圆内接四边形的性质计算即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：将代入原方程可得：，
，
原式
，
故选：．
将代入原方程即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的概念，本题属于基础题型．
 9.【答案】 【解析】解：，，
，
绕点按逆时针方向旋转至，
≌，
，
，
，
．
故选：．
先根据三角形外角的性质求出，再由绕点按逆时针方向旋转至，得到≌，证明，利用平角为即可解答．
本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质，解决本题的关键是由旋转得到≌．
 10.【答案】 【解析】解：，
，
该函数的图象开口向下，
故选项A正确；
对称轴是直线，
当时，随的增大而减小，
故选项B正确；
顶点坐标为，
当时，有最大值，
故选项C不正确；
当时，，
解得：，，
函数图象与轴的交点为和，
故D正确．
故选：．
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 11.【答案】 【解析】【分析】
根据旋转的定义得到即可．
本题考查了旋转的性质：旋转前后两个图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．
【解答】
解：因为点经过某种图形变化后得到点，
所以点绕原点逆时针旋转得到点，
故选：．  12.【答案】 【解析】解：对称轴是直线，且经过点，
左同右异，，
，所以正确；
抛物线与轴有个交点，
，所以正确；
抛物线对称轴是直线，
与的函数值一样，与的函数值都是，
抛物线开口向下，对称轴为，
当时，随的增大而增大，
，所以正确；
对称轴为，
，即，
时，，
，所以错误；
抛物线开口向下，对称轴为，
当时，随的增大而增大，
点关于直线的对称点为，且，
，所以不正确；
故选：．
由抛物线开口方向、对称轴以及与轴的交点即可判断；根据抛物线与轴的交点即可判断；根据函数的对称性和增减性即可判断；根据抛物线的对称轴为直线，得出，由时，，即可得出，即可判断；根据二次函数的性质即可判断．
本题考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及抛物线与轴的交点与系数、、的关系是正确判断的前提．
 13.【答案】， 【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的解法直接开平方法，比较简单．利用直接开平方法，求解即可．
【解答】
解：开方得，，
即，．
故答案为，．  14.【答案】 【解析】解：二次函数的图象与轴相交，则，
故，则图象与轴的交点坐标是：．
故答案为：．
直接利用时，求出的值进而得出答案．
此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特点，正确得出是解题关键．
 15.【答案】在上 【解析】解：点的坐标为，
，
半径为，
，
点在上．
故答案为：在上．
先根据两点间的距离公式计算出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点与的位置关系．
本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有种．设的半径为，点到圆心的距离，当点在圆外；当点在圆上；当点在圆内．
 16.【答案】 【解析】解：关于的方程是一元二次方程，
且，
解得：，
故答案为：．
根据一元二次方程的定义得出且，再求出即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程．
 17.【答案】 【解析】解：四边形是正方形，
，，，
，
图中阴影部分的面积，
故答案为：．
根据正方形的性质和扇形的面积公式即可得到结论．
本题考查了正方形的性质，扇形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
 18.【答案】 【解析】解：过点作于，过点作交的延长线于，过点作于，于，过点作于，如图：

，，，
四边形是矩形，
，
线段绕点逆时针旋转，得到线段，
，，
，
，
≌，
，
在中，，
，，
，
点的运动轨迹是直线，，
当时，的值最小，最小值为的长，
，，是的中点，
是的中位线，
，
，
，
故答案为：．
过点作于，过点作交的延长线于，过点作于，于，过点作于，可得四边形是矩形，又线段绕点逆时针旋转，得到线段，可证≌，有，在中，，可知点的运动轨迹是直线，当时，的值最小，最小值为的长，从而可得的最小值为．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质．
 19.【答案】解：．
，
，
或，
，；
，

，
或，
，． 【解析】利用十字相乘法因式分解解方程即可；
提公因式因式分解解方程即可．
本题考查解一元二次方程因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解方程，属于中考常考题型．
 20.【答案】解：图形如图所示：


连接，．
，是直径，
，
是等边三角形，
，
，
． 【解析】根据要求作出图形即可；
证明是等边三角形，利用垂径定理求出，可得结论．
本题考查作图复杂作图，垂径定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 21.【答案】 【解析】解：如图，即为所求，，，；
如图，即为所求，的坐标为；
故答案为：；
扫过图形的面积．

利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可；
利用扇形的面积公式求解即可．
本题考查作图旋转变换，扇形的面积等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
 22.【答案】证明：如图，连接，

平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：设，
在中，
，，
，
，
，
解得：，
故的半径为． 【解析】连接，由平分，知，由可证，根据得，得证；
设，在中由勾股定理求得．
本题主要考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理及平行线的判定与性质，熟练掌握切线的判定是关键：连接半径，证明半径与直线垂直．
 23.【答案】解：设抛物线的解析式为，
把代入得，
解得，
抛物线的解析式为，
即；
，
抛物线的对称轴为直线，
连接交直线于点，如图，
，
，
此时最小，
设直线的解析式为，
把，分别代入得，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为；
设，
的面积为，
，
即或，
解得，，
此时点坐标为或；
解得，，
此时点坐标为或；
综上所述，点坐标为或或或． 【解析】设交点式，然后把点坐标代入求出即可；
先确定抛物线的对称轴为直线，连接交直线于点，如图，利用两点之间线段最短得到此时最小，再利用待定系数法求出直线的解析式为，然后计算对应的一次函数值得到点的坐标；
设，根据三角形面积公式得到，然后解绝对值方程得到点坐标．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质和最短路径问题．
 24.【答案】解：设，
将、代入得：
，
解得：
；
由题意可得：

，
，
当时，随的增大而增大，
，
当时，的最大值，
的最大值为，
答：售价为元时获得最大利润，最大利润是元． 【解析】利用待定系数法求解可得；
根据“总利润每千克利润销售量”可得二次函数解析式，将其配方成顶点式，根据二次函数的性质即可得到结果．
本题主要考查二次函数和一次函数的应用，熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解答本题的关键．
 25.【答案】解：直线与轴的交点，与轴的交点，
将点，，代入，
，
解得，
；
设点，
如图，过点作于，交于，

点，
，
，
当时，的面积最大值为，
点；
存在点，使、、、四点组成的四边形是平行四边形，理由如下：
设，
当为平行四边形的对角线时，
，
解得，
；
当为平行四边形的对角线时，
，
解得，
；
当为平行四边形的对角线时，
，
解得，
；
综上所述：点坐标为或或． 【解析】用待定系数法求函数的解析式即可；
求出顶点的坐标，再求的面积即可；
设，分三种情况讨论：当为平行四边形的对角线时；当为平行四边形的对角线时；当为平行四边形的对角线时；根据平行四边形的对角线互相平分的性质，利用中点坐标公式求解即可．
本题是二次函数综合题，考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．
 26.【答案】证明：在中，，
，，
由旋转可得：，，
，
；
解：由得到为等边三角形，
，即，
，
；
连接，过作，

由可得是等腰直角三角形，为等边三角形，
，
，，
在中，，
在中，，，
则． 【解析】在直角三角形中，由，得到，再由折叠的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得证；
由得到为等边三角形，利用矩形的性质及等边三角形的内角为，即可求出所求角度数；
连接，过作，可得是等腰直角三角形，为等边三角形，分别求出、，则即可求出．
此题考查了旋转的性质，矩形的性质，等边三角形、直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．