第14讲 四边形 2023年中考数学一轮复习专题训练（江苏专用）

这是一份第14讲 四边形 2023年中考数学一轮复习专题训练（江苏专用），共40页。试卷主要包含了单选题，填空题，综合题等内容，欢迎下载使用。
第14讲 四边形 2023年中考数学一轮复习专题训练（江苏专用）
一、单选题
1．（2022·南通）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，BC=4，∠ABC=60°，若EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F，设BE=x，OE2=y，则y关于x的函数图象大致为（　　）

A． B．
C． D．
2．（2022·无锡）如图，在 ▱ ABCD中， AD=BD ， ∠ADC=105∘ ，点E在AD上， ∠EBA=60∘ ，则 EDCD 的值是（　　）

A．23 B．12 C．32 D．22
3．（2022·无锡）下列命题中，是真命题的有（　　）
①对角线相等且互相平分的四边形是矩形②对角线互相垂直的四边形是菱形③四边相等的四边形是正方形④四边相等的四边形是菱形
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
4．（2022·连云港）如图，将矩形 ABCD 沿着 GE 、 EC 、 GF 翻折，使得点 A 、 B 、 D 恰好都落在点 O 处，且点 G 、 O 、 C 在同一条直线上，同时点 E 、 O 、 F 在另一条直线上.小炜同学得出以下结论：
①GF∥EC ；②AB=435AD ；③GE=6DF ；④OC=22OF ；⑤△COF∽△CEG .
其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④
5．（2022·海门模拟）如图，菱形 ABCD 的边长为 4，∠A=60∘，E 是边 AD 的中点，F是边 AB 上的一个动点，将线段 EF 绕着E逆时针旋转 60∘ ，得到 EG ，连接 EG、CG ，则 BG+CG 的最小值为（　　）

A．33 B．27 C．43 D．2+23
6．（2021·无锡）如图，D、E、F分别是 △ABC 各边中点，则以下说法错误的是（　　）

A．△BDE 和 △DCF 的面积相等
B．四边形 AEDF 是平行四边形
C．若 AB=BC ，则四边形 AEDF 是菱形
D．若 ∠A=90° ，则四边形 AEDF 是矩形
7．（2021·苏州）如图，在平行四边形 ABCD 中，将 △ABC 沿着 AC 所在的直线翻折得到 △AB'C ， B'C 交 AD 于点 E ，连接 B'D ，若 ∠B=60° ， ∠ACB=45° ， AC=6 ，则 B'D 的长是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．62
8．（2021·秦淮模拟）百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形.关于凹四边形 ABCD （如图），以下结论：
①∠BCD=∠A+∠B+∠D ；②若 AB=AD，BC=CD ，则 AC⊥BD ；③若 ∠BCD=2∠A ，则 BC=CD ；④存在凹四边形 ABCD ，有 AB=CD，AD=BC .其中所有正确结论的序号是（　　）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④
9．（2021·仪征模拟）将一个边长为4cn的正方形与一个长，宽分别为8cm，2cm的矩形重叠放在一起，在下列四个图形中，重叠部分的面积最大的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2021·天宁模拟）下列命题中，真命题是（　　）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．有一个角是直角的平行四边形是矩形
D．一组邻边相等的平行四边形是正方形
二、填空题
11．（2021·徐州）如图，四边形 ABCD 与 AEGF 均为矩形，点 E，F 分别在线段 AB，AD 上.若 BE=FD=2cm ，矩形 AEGF 的周长为 20cm ，则图中阴影部分的面积为　 　cm .

12．（2021·常州）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 OABC 是平行四边形，其中点A在x轴正半轴上.若 BC=3 ，则点A的坐标是　 　.

13．（2021·南京）如图，将 ▱ABCD 绕点A逆时针旋转到 ▱AB'C'D' 的位置，使点 B' 落在 BC 上， B'C' 与 CD 交于点E，若 AB=3,BC=4,BB'=1 ，则 CE 的长为　 　.

14．（2021·扬州）如图，在 ▱ABCD 中，点E在 AD 上，且 EC 平分 ∠BED ，若 ∠EBC=30° ， BE=10 ，则 ▱ABCD 的面积为　 　.

15．（2021·连云港）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 、 BD 相交于点O， OE⊥AD ，垂足为E， AC=8 ， BD=6 ，则 OE 的长为　 　.

16．（2022·徐州）如图，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处．若点E在边AB上，AB＝3，BC＝5，则AE＝　 　．

17．（2022·无锡）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝　 　.

18．（2022·泗洪模拟）如图，从一个大正方形中截去面积为3cm2和12cm2的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为　 　.

19．（2022·苏州）如图，在平行四边形ABCD中， AB⊥AC ， AB=3 ， AC=4 ，分别以A，C为圆心，大于 12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为　 　.

20．（2022·宿迁）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点M、N分别是边AD、BC的中点，某一时刻，动点E从点M出发，沿MA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动；同时，动点F从点N出发，沿NC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接EF，过点B作EF的垂线，垂足为H.在这一运动过程中，点H所经过的路径长是　 　.

三、综合题
21．（2022·徐州）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证：

（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形AECF是平行四边形．
22．（2022·镇江）已知，点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边AB、BC、CD、AD上．

（1）如图1，当四边形EFGH是正方形时，求证：AE+AH=AB；
（2）如图2，已知AE=AH，CF=CG，当AE、CF的大小有　 　关系时，四边形EFGH是矩形；
（3）如图3，AE=DG，EG、FH相交于点O，OE：OF=4：5，已知正方形ABCD的边长为16，FH长为20，当△OEH的面积取最大值时，判断四边形EFGH是怎样的四边形？证明你的结论．
23．（2022·南通）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，点E在折线BCD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连接CF．

（1）当点E在BC上时，作FM⊥AC，垂足为M，求证AM=AB；
（2）当AE=32时，求CF的长；
（3）连接DF，点E从点B运动到点D的过程中，试探究DF的最小值．
24．（2022·无锡）如图，在▱ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB、DC于点E、F，连接DE、BF.

求证：
（1）△DOF≌△BOE；
（2）DE=BF.
25．（2022·无锡）如图，已知四边形ABCD为矩形 AB=22 ， BC=4 ，点E在BC上， CE=AE ，将△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF.

（1）求EF的长；
（2）求sin∠CEF的值.
26．（2022·无锡）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）.

（1）若矩形养殖场的总面积为36 m2 ，求此时x的值；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
27．（2022·海陵模拟）如图，在矩形ABCD中，AD＝10，点E是AD上一点，且AE＝m （m是常数），作△BAE关于直线BE的对称图形△BFE，延长EF交直线BC于点G．

（1）求证：EG＝BG；
（2）若m＝2．
①当AB＝6时，问点G是否与点C重合，并说明理由；
②当直线BF经过点D时，直接写出AB的长；
（3）随着AB的变化，是否存在常数m，使等式BG-12AE＝AB2总成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：过O点作OM⊥AB于M，

∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝90°-60°=30°，
∴AB＝2BC=8，
AC＝AB2-BC2=82-42=43，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝12AC＝23，
∴OM＝12AO＝3，
∴AM＝AO2-OM2＝3；
设BE＝x，OE2＝y，则EM＝AB−AM−BE＝8−3−x＝5−x，
∵OE2＝OM2＋EM2，
∴y＝（x−5）2＋3，
∵0≤x≤8，当x＝8时y＝12，
符合解析式的图象为C.
故答案为：C.
【分析】过O点作OM⊥AB于M，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AB的长，利用勾股定理求出AC的长；利用平行四边形的性质可求出AO的长，从而可得到OM的长，利用勾股定理求出AM的长；设BE＝x，OE2＝y，可表示出EM的长；然后利用勾股定理可得到OE2＝OM2＋EM2，可得到y与x之间的函数解析式及x的取值范围，即可得到符合题意的函数图象.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，过点B作BF⊥AD于F，

∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，CD∥AB，
∴∠ADC+∠BAD=180°，
∵∠ADC=105∘
∴∠A=75°，
∵∠ABE=60°，
∴∠AEB=180°-∠A-∠ABE=45°，
∵BF⊥AD，
∴∠BFD=90°，
∴∠EBF=∠AEB=45°，
∴BF=FE，
∵AD=BD，
∴∠ABD=∠A=75°，
∴∠ADB=30°，
设BF=EF=x，则BD=2x，由勾股定理，得DF= 3x ，
∴DE=DF-EF=（ 3 -1）x，AF=AD-DF=BD-DF=（2- 3 ）x，
由勾股定理，得AB2=AF2+BF2=（2- 3 ）2x2+x2=（8-4 3 ）x2，
∴DE2AB2=(3-1)2x2(8-43)x2=12
∴DEAB=22 ，
∵AB=CD，
∴DECD=22 .
故答案为：D.
【分析】过点B作BF⊥AD于F，根据平行四边形的性质可得CD=AB，CD∥AB，由平行线的性质可得∠ADC+∠BAD=180°，结合∠ADC的度数可得∠A的度数，利用内角和定理可得∠AEB=45°，进而推出BF=FE，由等腰三角形的性质可得∠ABD=∠A=75°，则∠ADB=30°，设BF=EF=x，则BD=2x，由勾股定理，得DF=3x，DE=DF-EF=( 3 -1)x，AF=(2- 3)x，由勾股定理可得AB2，据此可得DEAB的值，然后结合AB=CD进行求解.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确，故该命题是真命题；
②对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故原命题错误，是假命题；
③四边相等的四边形是菱形，故原命题错误，是假命题；
④四边相等的四边形是菱形，正确，故该命题是真命题.
故答案为：B.
【分析】根据矩形的判定定理可判断①；根据菱形的判定定理可判断②④；根据正方形的判定定理可判断③.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD沿着GE、EC、GF折叠，使得点A、B、D恰好落在点O处，
∴DG＝OG＝AG，AE＝OE＝BE，OC＝BC，∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，
∴∠FGE＝∠FGO+∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG+∠OEC＝90°，
∴∠FGE+∠GEC＝180°，
∴GF∥CE，
∴①符合题意；
设AD＝2a，AB＝2b，则DG＝OG＝AG＝a，AE＝OE＝BE＝b，
∴CG＝OG+OC＝3a，
在Rt△AGE中，由勾股定理得GE2=AG2+AE2，即GE2=a2+b2，
在Rt△EBC中，由勾股定理得CE2=EB2+BC2，即CE2=b2+（2a）2，
在Rt△CGE中，由勾股定理得CG2＝GE2+CE2，
（3a）2＝a2+b2+b2+（2a）2，
整理，解得：b＝2a，
∴AB＝2AD，
∴②不符合题意；
设OF＝DF＝x，则CF＝2b-x＝22a-x，
在Rt△COF中，由勾股定理得OF2+OC2=CF2，
∴x2+（2a）2＝（2 a-x）2，
解得：x＝22a，
∴OF＝DF＝22a，
∴6DF＝6×22a＝3a，
又∵GE2=a2+b2，
∴GE=3a，
∴GE=6DF，
∴③符合题意；
∵22OF＝22×22a＝2a，
∴OC=22OF，
∴④符合题意；
∵无法证明∠FCO＝∠GCE，
∴无法判断△COF∽△CEG，
∴⑤不符合题意；
∴正确的有①③④.
故答案为：B.
【分析】由矩形性质和折叠的性质可得DG＝OG＝AG，AE＝OE＝BE，OC＝BC，∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，从而可得∠FGE＝∠FGO+∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG+∠OEC＝90°，得∠FGE+∠GEC＝180°，可判定GF∥CE；设AD＝2a，AB＝2b，则DG＝OG＝AG＝a，AE＝OE＝BE＝b，得CG＝OG+OC＝3a，由勾股定理得GE2=a2+b2，CE2=b2+（2a）2，CG2＝GE2+CE2，即得（3a）2＝a2+b2+b2+（2a）2，解得b＝2a，从而得AB＝2AD；设OF＝DF＝x，则CF＝2b-x＝22a-x，由勾股定理得OF2+OC2=CF2，即x2+（2a）2＝（2 a-x）2，解得x＝22a，从而得OF＝DF＝22a，进而求得GE=6DF；又22OF＝22×22a＝2a，从而可得∴OC=22OF；因条件不足，无法证明∠FCO＝∠GCE，因而无法判断△COF∽△CEG. 据此逐项分析即可得出正确答案.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：取AB与CD的中点M，N，连接MN，作点B关于MN的对称点E'，连接E'C，E'B
，
此时CE'的长就是GB+GC的最小值；
∵MN∥AD，
∴HM= 12 AE，
∵HB⊥HM，AB=4，∠A=60°，
∴MB=2，∠HMB=60°，
∴HM=1，
∴AE'=2，
∴E点与E'点重合，
∵∠AEB=∠MHB=90°，
∴∠CBE=90°，
在Rt△EBC中，EB=2 3 ，BC=4，
∴EC=2 7 ，
故答案为：B.
【分析】取AB与CD的中点M，N，连接MN，作点B关于MN的对称点E'，连接E'C，E'B，此时CE的长就是GB+GC的最小值；利用三角形的中位线定理可得到HM= 12 AE，可求出HM的长；利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AE的长，利用勾股定理求出BE的长；然后利用勾股定理求出EC的长.
6．【答案】C
【解析】【解答】解： ∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点，
∴DE、DF为△ABC得中位线，
∴ED∥AC，且ED＝ 12 AC＝AF；同理DF∥AB，且DF＝ 12 AB＝AE，
∴四边形AEDF一定是平行四边形，故B正确；
∴△BDE∽△BCA ， △CDF∽△CBA
∴S△BDE=14S△BCA ， S△CDF=14S△BCA ，
∴△BDE 和 △DCF 的面积相等，故A正确；
∵AB=BC ，
∴DF＝ 12 AB=AE，
∴四边形 AEDF 不一定是菱形，故C错误；
∵∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形，故D正确；
故答案为：C.
【分析】根据三角形中位线定理可得ED∥AC，且ED＝ 12 AC＝AF，DF∥AB，且DF＝ 12 AB＝AE，可证四边形AEDF一定是平行四边形，由∠A=90°，可证四边形AEDF是矩形；根据平行线可证△BDE∽△BCA ， △CDF∽△CBA，利用相似三角形的性质可得 S△BDE=14S△BCA，S△CDF=14S△BCA，据此判断A、B、D；由AB=BC，可得DF＝ 12 AB=AE，从而得出四边形 AEDF 不一定是菱形，据此判断C.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形
∴AB=CD ∠B=∠ADC=60°，∠ACB＝∠CAD
由翻折可知：BA＝AB′＝DC，∠ACB＝∠AC B′=45°，
∴△AEC为等腰直角三角形
∴AE=CE
∴Rt△AE B′≌Rt△CDE
∴EB′=DE
∵在等腰Rt△AEC中， AC=6
∴CE=3
∵在Rt△DEC中， CE=3 ，∠ADC=60°
∴∠DCE=30°
∴DE=1
在等腰Rt△DE B′中，EB′=DE=1
∴B'D = 2
故答案为：B
【分析】由折叠的性质可得△AEC为等腰直角三角形，结合平行四边形的性质可证Rt△AE B′≌Rt△CDE，由全等三角形的性质可得EB′=DE，在等腰Rt△AEC中，用勾股定理可求得CE的值，解Rt△DEC可求得DE的值，在等腰Rt△DE B′中，用勾股定理可求解.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：①如图1，连接AC并延长到点E.

∵∠BCE=∠BAC+∠B，
∠DCE=∠DAC+∠D，
∴∠BCE+∠DCE=∠BAC+∠B+∠DAC+∠D．
即 ∠BCD=∠BAD+∠B+∠D．
所以结论①正确；
②如图2，连接BD，作直线AC.

∵AB=AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上.
∵CB=CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上.
∴点A和点C都在线段BD的垂直平分线上.
∴直线AC是线段BD的垂直平分线.
∴AC⊥BD．
所以结论②正确；
③如图③，

由①可知， ∠BCD=∠A+∠B+∠D，
当 ∠BCD=2∠A 时，有 2∠A=∠A+∠B+∠D，
∴∠A=∠B+∠D．
因再无其它已知条件证得BC=CD，所以结论③错误；
④如图④，假设存在凹四边形ABCD，连接AC.

当 AB=CD，AD=BC 时，
∵AC=CA，
∴△ABC≅△CDA(SSS)．
∴∠1=∠4，∠3=∠2．
∴AB∥CD，BC∥DA.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵平行四边形是凸四边形，
这与“四边形ABCD是凹四边形”的假设相矛盾.
∴不存在凹四边形ABCD，使得 AB=CD，AD=BC．
所以结论④错误.
故答案为：A.
【分析】①如图1，连接AC并延长到点E，利用三角形外角和定理可得∠BCD=∠BAD+∠B+∠D；
②如图2，连接BD，作直线AC，根据线段垂直平分线的性质与判定，可得AC⊥BD；
③由①得∠BCD=∠BAD+∠B+∠D，结合∠BCD=2∠A，可得∠A=∠B+∠D，无法证明BC=CD；
④如图④，假设存在凹四边形ABCD，连接AC.证明四边形ABCD是平行四边形，由于平行四边形是凸四边形，据此判断即可.
9．【答案】B
【解析】【解答】解：A、重叠部分为矩形，长是4宽是2，所以面积为4×2=8；
B、重叠部分是平行四边形，与正方形边重合部分的长大于2，高是4，所以面积大于8；
C、图C与图B对比，因为图C的倾斜度比图B的倾斜度小，所以，图C的底比图B的底小，两图为等高不等底，所以图C阴影部分的面积小于图B阴影部分的面积；
D、如图，BD= 42+42=42 ，GE=DE=2，HF=BF=2，

∴GH= 42-4 ，
∴S重叠部分= 2×(42+42-4)2=82-4 ，小于8；
故答案为：B.
【分析】A、阴影部分是长方形，根据长方形的面积公式即可求出阴影部分的面积=8；
B、重叠部分是平行四边形，与正方形边重合部分的长大于2，高是4，根据平行四边形的面积公式即可求出阴影部分的面积＞8；
C、图C阴影部分的倾斜度比图B阴影部分的倾斜度小，得出图C中平行四边形的底比图B中平行四边形的底小，高是4，从而得出图C阴影部分的面积小于图B阴影部分的面积；
D、先求出BD的长，从而求出GH的长，利用梯形的面积公式求出阴影部分的面积＜8，即可得出重叠部分的面积最大的是图B.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：A、一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，本选项说法是假命题；
B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，本选项说法是假命题；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，本选项说法是真命题；
D、有一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形，本选项说法是假命题；
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定定理可判断A；根据菱形的判定定理可判断B；根据矩形的判定定理可判断C；根据正方形的判定定理可判断D.
11．【答案】24
【解析】【解答】∵矩形 AEGF 的周长为 20cm ，
∴AE+AF=10 ，
设 AE=x ，则 AF=10-x ， AB=x+2 ， AD=12-x ，
S阴影=SABCD-SAEGF=AB×AD-AE×AF
=(x+2)(12-x)-x(10-x)
=12x+24-x2-2x-10x+x2
=24 ，
故答案为24.
【分析】由矩形的性质及周长，可求出AE+AF=10，设 AE=x ，则 AF=10-x ， AB=x+2 ， AD=12-x ，由S阴影=S矩形ABCD-S矩形AEGF，利用矩形的面积公式代入计算即得结论.
12．【答案】（3，0）
【解析】【解答】解：∵四边形 OABC 是平行四边形，
∴OA=BC=3，
∴点A的坐标是（3，0），
故答案是：（3，0）.
【分析】由平行四边形的性质可得OA=BC=3，据此不难得到点A的坐标.
13．【答案】98
【解析】【解答】解：过点C作CM// C'D' 交 B'C' 于点M，

∵平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转得到平行四边形 AB'C'D'
∴AB=AB' ， AD=AD',∠B=∠AB'C'=∠D=∠D' ， ∠BAD=∠B'AD'
∴∠BAB'=∠DAD' ， ∠B=∠D'
∴ΔABB'∽ΔADD'
∴BB'DD'=ABAD=ABBC=34,
∵BB'=1
∴DD'=43
∴C'D=C'D'-DD'
=CD-DD'
=AB-DD'
=3-43
=53
∵∠AB'C=∠AB'C'+∠CB'M=∠ABC+∠BAB'
∴∠ CB'M=∠BAB'
∵B'C=BC-BB'=4-1=3
∴B'C=AB
∵AB=AB'
∴∠ ABB'=∠AB'B=∠AB'C'
∵AB'//C'D' ， C'D'//CM
∴AB'//CM
∴∠ AB'C'=∠B'MC
∴∠ AB'B=∠B'MC
在 ΔABB' 和 ΔB'MC 中，
∠BAB'=∠CB'M∠AB'B=∠B'MCAB=B'C
∴ΔABB'≅ΔB'CM
∴BB'=CM=1
∵CM//C'D
∴△ CME∽ΔDC'E
∴CMDC'=CEDE=153=35
∴CECD=38
∴CE=38CD=38AB=38×3=98
故答案为： 98 .

【分析】过点C作CM// C'D' 交 B'C' 于点M，利用旋转的性质可得AB=AB＇，AD=AD＇，同时可证得两平行四边形的对角相等，由此可推出∠BAB＇=∠DAD＇,∠B=∠D＇，可推出△ABB＇∽△ADD＇，利用相似三角形的对应边成比例，可得出对应边的比；从而可求出DD＇的值，即可求出CD＇，B＇C；再证明△CME∽△DC＇E，利用相似三角形的性质可求出CE的长.
14．【答案】50
【解析】【解答】解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，

∵∠EBC=30°，BE=10，
∴EF= 12 BE=5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCE，
又EC平分∠BED，即∠BEC=∠DEC，
∴∠BCE=∠BEC，
∴BE=BC=10，
∴四边形ABCD的面积= BC×EF = 10×5 =50，
故答案为：50.
【分析】过点E作EF⊥BC，垂足为F，由含30°角的直角三角形的性质得出EF= 12 BE=5，根据平行四边形的性质及角平分线的定义得出∠BCE=∠BEC，从而可得BE=BC=10，由平行四边形ABCD的面积= BC×EF，据此计算即可.
15．【答案】125
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，DB=6，
∴AO=4，DO=3，∠AOD=90°，
∴AD=5，
在 Rt△ADO 中，由等面积法得： 12AO·DO=12AD·OE ，
∴OE=AO·DOAD=3×45=125
故答案为： 125 .
【分析】由菱形的性质得出AO=4，DO=3，∠AOD=90°，利用勾股定理求出AB=5，由△ADO的面积=12AO·DO=12AD·OE，据此求出OE的长.
16．【答案】43
【解析】【解答】解：由折叠性质可得CF=BC=5，BE=EF，
由矩形性质有CD=AB=3，BC=AD=5，
∵∠D=90°，
∴DF=CF2-CD2=4，
所以AF=AD-DF=5-4=1，
所以 BE=EF=x，则AE=AB-BE=3-x，在Rt△AEF中：
AE2+AF2=EF2，
∴(3-x)2+12=x2，
解得x=53，
∴AE=3-53=43
故答案为：43.
【分析】由折叠的性质可得CF=BC=5，BE=EF，由矩形性质可得CD=AB=3，BC=AD=5，利用勾股定理可得DF，由AF=AD-DF可得AF，设BE=EF=x，则AE=3-x，利用勾股定理可得x，进而可得AE.
17．【答案】1
【解析】【解答】解：连接AG，EG，如图，

∵HG垂直平分AE，
∴AG=EG，
∵正方形ABCD的边长为8，
∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD=8，
∵点E是CD的中点，
∴CE=4，
设BG=x，则CG=8-x，
由勾股定理，得
EG2=CG2+CE2=（8-x）2+42，AG2=AB2+BG2=82+x2，
∴（8-x）2+42=82+x2，
解得：x=1.
故答案为：1.
【分析】连接AG，EG，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AG=EG，根据正方形的性质可得∠B=∠C=90°，AB=BC=CD=8，由中点的概念可得CE=4，设BG=x，则CG=8-x，然后在Rt△CEG、Rt△ABG中，利用勾股定理计算即可.
18．【答案】49
【解析】【解答】解：∵两个空白正方形的面积分别为12和3，
∴边长分别为23和3，
∴大正方形的边长为23+3=33，
∴大正方形的面积为(33)2=27，
∴阴影部分的面积为27-12-3=12，
∴米粒落在图中阴影部分的概率=1227=49.
故答案为：49.
【分析】根据空白正方形的面积可得边长分别为23和3，则大正方形的边长为33，求出大正方形的面积，然后求出阴影部分的面积，接下来根据几何概率公式进行计算即可.
19．【答案】10
【解析】【解答】解：如图，设AC与 MN的交点为O ，

根据作图可得MN⊥AC，且平分AC ，
∴AO=OC ，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC ，
∴∠FAO=∠OCE ，
又 ∵∠AOF=∠COE ， AO=CO ，
∴△AOF≌△COE ，
∴AF=EC ，
∵AF∥CE ，
∴ 四边形AECF是平行四边形，
∵MN垂直平分AC ，
∴EA=EC ，
∴ 四边形AECF是菱形，
∵AB⊥AC ， MN⊥AC ，
∴EF∥AB ，
∴BEEC=OCAO=1 ，
∴E为BC的中点，
Rt△ABC 中， AB=3 ， AC=4 ，
∴BC=AB2+AC2=5 ，
AE=12BC=52 ，
∴ 四边形AECF的周长为 4AE=10 .
故答案为： 10 .
【分析】设AC与MN的交点为O，根据作图可得MN⊥AC且平分AC，则AO=OC，根据平行四边形以及平行线的性质可得∠FAO=∠OCE，证明△AOF≌△COE，得到AF=EC，推出四边形AECF是平行四边形，结合EA=EC可得四边形AECF为菱形，易得EF∥AB，根据平行线分线段成比例的性质可得E为BC的中点，根据勾股定理可得BC，由直角三角形斜边上中线的性质可得AE=12BC，据此求解.
20．【答案】52π
【解析】【解答】解：∵点M、N分别是边AD、BC的中点，
连接MN，则四边形ABNM是矩形，
∴MN=AB=6，AM=BN=12AD==4，
根据题意知EF在运动中始终与MN交于点Q，如图，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴ΔAQM∼ΔFQN，
∴NFEM=NQMQ=12
∴NQ=13MN=2
当点E与点A重合时，则NF=12AM=2，
∴BF=BN+NF=4+2=6，
∴AB=BF=6
∴ΔABF是等腰直角三角形，
∴∠AFB=45°，
∵BH⊥AF，
∴∠HBF=45°
由题意得，点H在以BQ为直径的HN⌢上运动，运动路径长为HN⌢长，取BQ中点O，连接HO，NO，
∴∠HON=90°，
又∠BNQ=90°，
∴BQ=BN2+NQ2=42+22=25，
∴ON=OH=OQ=12BQ=5，
∴HN⌢的长为90π×5180=52π
故答案为：52π.
【分析】连接MN，则四边形ABNM是矩形，MN=AB=6，AM=BN=4，根据矩形的性质可得AD//BC，证明△AQM∽△FQN，根据相似三角形的性质可得NQ，当点E与点A重合时，则NF=2，BF=BN+NF=6，推出△ABF是等腰直角三角形，得到∠AFB=∠HBF=45°，由题意得：点H在以BQ为直径的HN⌢上运动，运动路径长为HN⌢长，取BQ中点O，连接HO，NO，利用勾股定理求出BQ，有ON=OH=OQ可得ON的值，然后根据弧长公式进行计算.
21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF，
又BE=DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）证明：∵△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD
∴∠AEF=∠CFE
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形.
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，根据平行线的性质得∠ABE=∠CDF，结合BE=DF，然后根据全等三角形的判定定理“SAS”进行证明；
（2） 根据全等三角形的性质可得AE=CF，∠AEB=∠CFD，结合邻补角的性质可得∠AEF=∠CFE，推出AE∥CF，然后根据平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”进行证明.
22．【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD 为正方形，
∴∠A=∠B=90° ，
∴∠AEH+∠AHE=90° ．
∵四边形 EFGH 为正方形，
∴EH=EF ， ∠HEF=90° ，
∴∠AEH+∠BEF=90° ，
∴∠BEF=∠AHE ．
在 △AEH 和 △BFE 中，
∵∠A=∠B=90° ， ∠AHE=∠BEF ， EH=FE ，
∴△AEH≌△BFE ．
∴AH=BE ．
∴AE+AH=AE+BE=AB ；
（2）AE=CF
（3）解：∵四边形 ABCD 为正方形，
∴AB∥CD ．
∵AE=DG ， AE∥DG ，
∴四边形 AEGD 为平行四边形．
∴AD∥EG ．
∴EG∥BC ．
过点 H 作 HM⊥BC ，垂足为点 M ，交 EG 于点 N ，

∴HNHM=HOHF ．
∵OE：OF=4：5 ，
设 OE=4x ， OF=5x ， HN=h ，则 h16=20-5x20 ，
∴h=4(4-x) ．
∴S=12⋅OE⋅HN=12⋅4x⋅4(4-x)=-8(x-2)2+32 ．
∴当 x=2 时， △OEH 的面积最大，
∴OE=4x=8=12EG=OG ， OF=5x=10=12HF=OH ，
∴四边形 EFGH 是平行四边形．
【解析】【解答】解：（2） AE=CF ，证明如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A=∠B=90° ，AB=BC=AD=CD，
∵AE=AH，CF=CG，AE=CF，
∴AH=CG，
∴△AEH≌△FCG ，
∴EH=FG．
∵AE=CF，
∴AB－AE=BC－CF，即BE=BF，
∴ △BEF是等腰直角三角形，
∴∠BEF=∠BFE=45°，
∵AE=AH，CF=CG，
∴∠AEH=∠CFG=45°，
∴∠HEF=∠EFG=90°，
∴EH∥FG，
∴四边形EFGH是矩形.
【分析】（1）根据正方形的性质可得∠A=∠B=90°，EH=EF，∠HEF=90°，根据同角的余角相等可得∠BEF=∠AHE，证明△AEH≌△BFE，得到AH=BE，据此证明；
（2）同理证明△AEH≌△FCG，得到EH=FG，根据线段的和差关系可得BE=BF，推出△EBF是等腰直角三角形，得到∠BEF=∠BFE=45°，易得∠AEH=∠CFG=45°，则∠HEF=∠EFG=90°，推出EH∥FG，然后根据矩形的判定定理进行解答；
（3）根据正方形的性质可得AB∥CD，易得四边形AEGD为平行四边形，则AD∥EG，过点H作 HM⊥BC，垂足为点M，交EG于点N，设OE=4x，OF=5x，HN=h，根据平行线分线段成比例的性质可得h，由三角形的面积公式可得S，根据二次函数的性质可得S的最大值以及对应的x的值，进而求出OE、OF，然后结合平行四边形的判定定理进行解答.
23．【答案】（1）证明：如图1中，作FM⊥AC，垂足为M，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵FM⊥AC，
∴∠B＝∠AMF＝90°，
∵旋转角等于∠BAC，
∴∠BAC＝∠EAF，AE=AF
∴∠BAE＝∠MAF，
在△ABE和△AMF中，
∠B＝∠AMF∠BAE＝∠MAFAE＝AF
∴△ABE≌△AMF（AAS），
∴AB＝AM；
（2）解： 解：当点E在BC上，在Rt△ABE中，

AB＝4，AE＝32，
∴BE＝AE2-AB2＝(32)2-42＝2，
∵△ABE≌△AMF，
∴AB＝AM＝4，FM＝BE＝2，
在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝AB2＋BC2＝42＋32＝5，
∴CM＝AC−AM＝5−4＝1，
∵∠CMF＝90°，
∴CF＝CM2＋FM2＝12＋(2)2＝3．
当点E在CD上时，过点F作FN⊥AC于点N，

∵∠BAC=∠EAF，
∴∠BAE=∠FAN，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠AED=∠FAN，
在△ADE和△ANF中，
∠D=∠ANF∠AED=∠FANAE=AF
∴△ADE≌△ANF（AAS），
∴AD=NF=3，AN=DE
在Rt△ADE中
DE=AN=AE2-AD2=322-32=3，
∴CN=AC-AN=5-3=2
在Rt△CNF中
CF=FN2+CN2=32+22=13；
∴CF的值为3或13.
（3）解：当点E在BC上时，如图2中，过点D作DH⊥FM于点H，

∵△ABE≌△AMF，
∴AM＝AB＝4，
∵∠AMF＝90°，
∴点F在射线FM上运动，当点F与K重合时，DH的值最小，
∵∠CMJ＝∠ADC＝90°，∠MCJ＝∠ACD，
∴△CMJ∽△CDA，
∴CMCD＝MJAD＝CJAC，
∴14＝MJ3＝CJ5，
∴MJ＝34，CJ＝54，
∴DJ＝CD-CJ＝4-54＝114；
∵∠CMJ＝∠DHJ＝90°，∠CJM＝∠DJH，
∴△CMJ∽△DHJ，
∴CMDH＝CJDJ，
∴1DH＝54114，
∴DH＝115，
∴DF的最小值为115；
当点E在线段CD上时，如图3中，将线段AD绕点A顺时针旋转，旋转角为∠BAC，得到线段AR，连接FR，过点D作DQ⊥AR于点Q，DK⊥FR于点K，

∵∠EAF＝∠BAC，∠DAR＝∠BAC，
∴∠DAE＝∠RAF，
在△ADE和△ARF中
AE＝AF∠DAE＝∠RAFAD＝AR
∴△ADE≌△ARF（SAS），
∴∠ADE＝∠ARF＝90°，
∴点F在直线RF上运动，当点D与K重合时，DF的值最小，
∵DQ⊥AR，DK⊥RF，
∴∠R＝∠DQR＝∠DKR＝90°，
∴四边形DKRQ是矩形，
∴DK＝QR，
∴AQ＝AD•cos∠BAC＝3×45＝125，
∵AR＝AD＝3，
∴DK＝QR＝AR-AQ＝35，
∴DF的最小值为35，
∵35＜115，
∴DF的最小值为35.
【解析】【分析】（1）作FM⊥AC，垂足为M，利用矩形的性质和垂直的定义可证得∠B＝∠AMF＝90°，利用旋转角等于∠BAC，可证得∠BAE＝∠MAF，AE=AF，利用AAS证明△ABE≌△AMF，利用全等三角形的性质可证得结论.
（2）分情况讨论：当点E在BC上，在Rt△ABE中，利用勾股定理求出BE的长，利用全等三角形的性质可得到AB，FM的长；在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，即可求出CM的长，利用勾股定理求出CF的长；当点E在CD上时，过点F作FN⊥AC于点N，易证∠BAE=∠AED=∠FAN，利用AAS证明△ADE≌△ANF，利用全等三角形的性质可证得AD=NF=3，AN=DE，利用勾股定理求出AN的长，即可得到CN的长；然后在Rt△CNF中，利用勾股定理求出CF的长，综上所述可得到CF的值.
（3）分情况讨论：当点E在BC上时，如图2中，过点D作DH⊥FM于点H，利用全等三角形的性质可得到AM的长，同时可得到点F在射线FM上运动，当点F与K重合时，DH的值最小，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△CMJ∽△CDA，利用相似三角形的对应边成比例可求出MJ，CJ的长，由此可求出DJ；再证明△CMJ∽△DHJ，利用相似三角形的性质可求出DH的长；当点E在线段CD上时，如图3中，将线段AD绕点A顺时针旋转，旋转角为∠BAC，得到线段AR，连接FR，过点D作DQ⊥AR于点Q，DK⊥FR于点K，利用SAS证明△ADE≌△ARF，可得到∠ADE＝∠ARF＝90°，即可证得点F在直线RF上运动，当点D与K重合时，DF的值最小；易证四边形DKRQ是矩形，利用矩形的性质可证得DK=QR，利用解直角三角形求出AQ的长，同时可求出DK的长，由此可得到DF的最小值，比较大小可求出DF的最小值.
24．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，O是BD的中点，
∴AB∥DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF.
在△BOE和△DOF中， ∠OBE=∠ODFOB=OD∠BOE=∠DOF ，
∴△BOE≌△DOF（ASA）
（2）证明：∵△BOE≌△DOF，
∴EO=FO，
∵OB=OD，
∴四边形BEDF是平行四边形.
∴DE=BF.
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB∥DC，由中点的概念可得OB=OD，根据平行线的性质可得∠OBE=∠ODF，由对顶角的性质可得∠BOE=∠DOF，然后根据全等三角形的判定定理ASA进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得EO=FO，结合OB=OD可推出四边形BEDF是平行四边形，然后根据平行四边形的性质可得结论.
25．【答案】（1）解：设 BE=x ，则 EC=4-x ，

∴AE=EC=4-x ，
在 RtΔABE 中， AB2+BE2=AE2 ，
∴(22)2+x2=(4-x)2 ，
∴x=1 ，
∴BE=1 ， AE=CE=3 ，
∵AE=EC ，
∴∠1=∠2 ，
∵∠ABC=90∘ ，
∴∠CAB=90∘-∠2 ，
∴∠CAB=90∘-∠1 ，
由折叠可知 ΔFAC≅ΔBAC ，
∴∠FAC=∠CAB=90∘-∠1 ， AF=AB=22 ，
∴∠FAC+∠1=90∘ ，
∴∠FAE=90∘ ，
在 RtΔFAE 中， EF=AF2+AE2=(22)2+32=17
（2）解：过F作FM⊥BC于M，

∴∠FME=∠FMC=90°，
设EM=a，则EC=3-a，
在 Rt△FME 中， FM2=FE2-EM2 ，
在 Rt△FMC 中， FM2=FC2-MC2 ，
∴FE2-EM2=FC2-MC2 ，
∴(17)2-a2=42-(3-a)2 ，
∴a=53 ，
∴EM=53 ，
∴FM=(17)2-(53)2=832 ，
∴sin∠CEF=FMEF=83217=85134
【解析】【分析】（1）设BE=x，则AE=EC=4-x，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得x，据此可得BE、AE、CE的值，根据等腰三角形的性质得∠1=∠2，由折叠得△FAC≌△BAC，得到∠FAC=∠CAB，AF=AB，结合∠1+∠CAB=90°可得∠FAC+∠1=90°，则∠FAE=90°，然后利用勾股定理可得EF；
（2）过F作FM⊥BC于M，设EM=a，则EC=3-a，在Rt△FME、Rt△FMC中，由勾股定理建立方程，求解可得a及FM的长，然后根据三角函数的概念进行计算.
26．【答案】（1）解：∵BC=x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍，

∴CD=2x，
∴BD=3x，AB=CF=DE= 13 (24-BD)=8-x，
依题意得：3x(8-x)=36，
解得：x1=2，x2=6(不合题意，舍去)，
此时x的值为2m；
（2）解：设矩形养殖场的总面积为S，
由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48，
∵-3