北京市通州区2023届高三数学上学期期中考试试题（Word版附答案）

2022-2023学年北京市通州区高三上学期期中质量检测

数    学

2022年11月

本试卷共4页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，请将答题卡交回。

第一部分（选择题  共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合，，则

（A）        （B）       （C）     （D）

（2）在复平面内，复数，其中是虚数单位，则复数对应的点在

（A）第一象限   （B）第二象限    （C）第三象限    （D）第四象限

（3）已知， ，若，则实数的值为

（A）         （B）          （C）            （D）

（4）己知函数，则对任意实数x，有

（A） （B）

（C） （D）

（5）已知函数在区间上恒有，对于，则“”是“”的

（A）充分而不必要条件       （B）必要而不充分条件 

（C）充分必要条件        （D）既不充分也不必要条件

（6）已知数列满足，，记，则数列的前n项和为

（A）        （B）       （C）     （D）

（7）设函数f（x）=，若对任意的实数x都成立，则ω的一个可取值为

（A）         （B）           （C）            （D）

（8）是无理数的近似值,被称为黄金比值.我们把腰与底的长度比为黄金比值的等腰三角形称为黄金三角形.如图，是顶角为，底的第一个黄金三角形，是顶角为的第二个黄金三角形，是顶角为的第三个黄金三角形，是顶角为的第四个黄金三角形…,那么依次类推，第个黄金三角形的周长大约为

（A）  

（B）

（C） 

（D）

（9）在中， ， AC边的中点为D，且BD=1，则BABC的最大值为

（A）         （B）           （C）            （D）

（10）已知函数设，若函数有两个零点，则实数的取值范围是

（A） （B） （C） （D）

第二部分（非选择题  共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（11）函数的定义域是      .

（12）已知命题P：“”，则P的否定是      .

（13）已知复数，，如果为纯虚数，那么     .

（14）已知矩形，，．为矩形所在平面内一点，， ．则______．

（15）过原点作曲线的切线，则切点坐标为      ；切线的斜率为      .

（16）已知满足.给出下列四个结论：

①为锐角三角形；

②；

③；

④.

其中所有正确结论的序号是__________.

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（17）（本小题12分）

已知函数.

（Ⅰ）求的最小正周期；

（Ⅱ）求在上的最大值和最小值.

（18）（本小题12分）

在 中，三个内角，，的对边分别为，，（），且，，.

（Ⅰ）求的值；                                                          

（Ⅱ）设的面积为，求的值.

（19）（本小题13分）

已知数列为公比不为1的等比数列，数列为等差数列，且，，再从条件①，条件②，条件③中任选两个作为已知，求：

（Ⅰ）求，的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和.

条件①：；

条件②：；

条件③：.

注：如果选择多种符合要求的条件分别解答，按第一种解答计分．

（20）（本小题14分）

已知函数.

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）当时，，且，请判断与的大小.（只要求写出结论）

（21）（本小题14分）

已知函数

（Ⅰ）求函数的单调递增区间；

（Ⅱ）设，试判断曲线与直线在区间上交点的个数，并说明理由.

（22）（本小题15分）

已知无穷数列，若无穷数列满足：，都有，则称与“接近”.

（Ⅰ）设，，试判断与是否“接近”，并说明理由；

（Ⅱ）若数列，均为等差数列，他们的公差分别为，.求证：与“接近”的必要条件是“=”；

（Ⅲ）已知数列是公差为的等差数列，若存在数列满足：与“接近”，且，，，，中至少有100个正数，求的取值范围.

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

（11）      （12）      （13）

（14）                （15）；              （16）②③④

说明：（15）题两空前3后2；（16）题全选对5分，漏选3分，其他情况0分。

三、解答题（共6小题，共80分）

（17）（本小题12分）

解：（Ⅰ）

.            …………………………………………4分

        所以函数的最小正周期为.   …………………………………………6分

（Ⅱ）因为，

所以，于是

当，即时，函数取得最小值；

当，即时，函数取得最大值.  ………………………………12分

（18）（本小题12分）

解：（Ⅰ）由正弦定理得，

，

所以.                       …………………………………………4分

（Ⅱ）由余弦定理得

解得，.

因为与已知矛盾，

所以.

所以.                    …………………………………………12分

（法2）也可以由

当为锐角时，

当为钝角时，，与已知矛盾

所以

所以.

（19）（本小题13分）

解：选择条件①，条件②

（Ⅰ）设的公比为，的公差为，

因为，，所以，.

所以.                              …………………………………………4分

因为，所以有，解得

所以.                            …………………………………………8分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， .

所以.               …………………………………………10分

从而数列的前n项和

                           …………………………………………13分

选择条件①，条件③

（Ⅰ）设的公比为，的公差为，

因为，，所以，.

所以.                              …………………………………………4分

因为，所以有，解得.

所以.                            …………………………………………8分

（Ⅱ）解法同上

选择条件②，条件③

（Ⅰ）设的公比为，的公差为，

于是有

解得.

所以， .                  …………………………………………8分

（Ⅱ）解法同上

（20）（本小题14分）

解：（Ⅰ）当时，，.

，.

所以曲线在点处的切线方程为.……………………………………4分

（Ⅱ）函数的定义域为.           …………………………………………5分

.                     

令，解得

当时，有，所以函数在上单调递增.

当时，函数在上单调递增，在上单调递减.

所以时，函数的单调递增区间为；时函数单调递增区间为，单调递减区间为.                       …………………………………………10分

（Ⅲ）.                      …………………………………………14分

（21）（本小题14分）

解：（Ⅰ）函数的定义域为.

.                      …………………………………………1分

令

解得

所以函数的单调递增区间为.………………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ），

曲线与直线在区间上交点的个数等价于的根个数.

…………………………………………5分

于是有.

即

设.        

.

设.

.

此时，，，变化情况如下：

于是有，，.

由零点存在定理可知在存在唯一零点.  ………………………11分

设零点为，则有在上单调递减，在单调递增.

因为，，.

所以在上存在唯一零点，

即曲线与直线在区间上交点的个数为1. ………………………14分

（22）（本小题15分）

解：（Ⅰ）与“接近”

因为，，

又因为

所以有

所以

所以与“接近”.                …………………………………………4分

（Ⅱ）假设,不妨设，

则

令，

则.

当时，令，当时有.

此时与不“接近”.

当时，令，当时有

此时与不“接近”.

同理得时，与不“接近”.

综上，与不“接近”

与与“接近”矛盾，

所以有

所以“=”是“与“接近””的必要条件.…………………………………9分

（Ⅲ）因为是公差为的等差数列，

所以.

若存在数列满足：与“接近”，

则，都有.

即.

即.

则

即

当时，，都有

与，，，，中至少有100个正数矛盾.

当时，可取

则，且，，，，均为正数,符合题意.

当时，可取

则，且，，，，均为正数,符合题意.

当时，可取

则，

即，，，，中有100个正数.

综上所述的取值范围是.       …………………………………………15分