北京市房山区2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题(含答案)

这是一份北京市房山区2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题(含答案)，共33页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知3x＝2y（y≠0），那么下列比例式中成立的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝1：2，那么AC：AE的值是（ ）
A．B．C．D．2
3．如图，F是△ABC的边AB上一点，则下列条件不能判定△ACF与△ABC相似的是（ ）
A．∠AFC＝∠ACBB．∠ACF＝∠BC．D．AC2＝AF•AB
4．将抛物线y＝2x2先沿x轴向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到新的抛物线，那么新抛物线的表达式为（ ）
A．y＝2（x+2）2+3B．y＝2（x+2）2﹣3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3D．y＝2（x﹣2）2+3
5．地质勘探人员为了估算某条河的宽度，在河对岸选定一个目标点O，再在他们所在的这一侧选取点A，B，D，使得AB⊥AO，DB⊥AB，然后找到DO和AB的交点C，如图所示，测得AC＝16m，BC＝8m，DB＝7m，则可计算出河宽AO为（ ）
A．16mB．15mC．14mD．13m
6．A，B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣1）2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1
7．下列关于抛物线y＝x2+bx+b﹣2的说法正确的是（ ）
A．此抛物线的开口比抛物线y＝﹣x2的开口大
B．当b＞0时，此抛物线的对称轴在y轴右侧
C．此抛物线与x轴没有公共点
D．对于任意的实数b，此抛物线与x轴总有两个交点
8．如图，将矩形ABCD对折，使AD和BC边重合，得到折痕EF，EF与对角线BD交于点P，连接DE和CE，CE与BD交于点O，有如下5个结论：
①EF与BD互相平分；
②OE：OC＝1：2；
③OP：OB：PD＝1：2：3；
④△BOE与△COD的面积之比是1：2；
⑤△BOC与△DOE的面积相等．其中正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①②⑤D．①②③⑤
二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）
9．已知，则＝ ．
10．如图，小刚在打网球时，球恰好能打过网，且落在离网5m的位置上，则他的球拍击球的高度是 m．
11．已知某二次函数图象的最低点是坐标原点，请写出一个符合要求的二次函数表达式 ．
12．在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，y与x的部分对应值如表：
则m、n的大小关系为m n．（填“＞”，“＝”或“＜”）
13．在设计“利用相似三角形的知识测量树高”的综合实践方案时，晓君想到了素描课上老师教的方法，如图，请一位同学右手握笔，手臂向前伸直保持笔杆与地面垂直，前后移动调整自己的位置，直到看见笔杆露出的部分刚好遮住树的主干，这时测量同学眼睛到笔的距离AB、同学到树干的距离AC，以及露出笔的长度DE，就可通过计算得到树的高度，这种实践方案主要应用了相似三角形的性质定理： ．（填写定理内容）
14．给出定义：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC、CB，若满足△ACO∽△CBO，则称这样的抛物线称为“相似抛物线”，如图，二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象是“相似抛物线”，且AC＝，则此抛物线的对称轴为 ．
15．在关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数值y的几组对应值：
根据以上信息，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根中，其中的一个实数根约等于 （保留小数点后一位小数）．
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2经过平移得到抛物线y＝﹣x2﹣4x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 ．
三、解答题（本题共11道小题，共68分.17，22每题5分；18，20，21，23，25每题6分；19，24，26，27每题7分）
17．（5分）如图，AD与BC交于O点，∠A＝∠C，BO＝4，DO＝2，AB＝3，求CD的长．
18．（6分）已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过（0，﹣1），（1，﹣3）两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当x 时，函数y随x的增大而减小．
19．（7分）已知二次函数y＝x2﹣6x+3．
（1）用配方法将其化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）该函数图象的对称轴为 ，顶点坐标为 ；
（3）在所给的平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图象（列表，描点、连线）．
20．（6分）已知：二次函数图象如图所示．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当x 时，y＞0；
（3）当0≤x≤3时，函数y的最大值为 ；最小值为 ．
21．（6分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD．
（1）求证：△ABE∽△ACD；
（2）若BD＝1，BC＝3，求的值．
22．（5分）如图，在正方形网格上有△ABC以及一条线段DE．请你以DE为一条边．以正方形网格的格点为顶点画一个△DEF，使得△ABC与△DEF相似，并求出这两个三角形的相似比．
23．（6分）在某场篮球比赛中，一位运动员在距篮下7m，三分线外跳起投篮，球运行的路线大致是抛物线，当球运行的水平距离为4m时，达到最大高度3.86m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05m．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；
（2）该运动员身高1.84m，在这次跳投中，球在头顶上方0.3m处出手，问：球出手时，她跳离地面的高度是多少？
24．（7分）如图，一次函数y＝x+b的图象与x轴交于点A，二次函数y＝ax2+2x+c（a≠0）的图象与该一次函数图象交于A、C两点，点C坐标为（2，3）．
（1）求一次函数及二次函数表达式；
（2）直线x＝m与抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）交于点D、与直线y＝x+b交于点E，
①当点E位于点D的上方时，结合函数的图象直接写出m的取值范围；
②当点E在线段AC上时，求线段DE长度的最大值及此时点E的横坐标．
25．（6分）晓宁同学在学习中遇到了以下一个几何问题：
已知：如图，△ABC中，AD是角平分线．
求证：．
喜欢钻研的他想到了两种解决问题的思路，作出了辅助线，请你选择其中一种，在此基础上完成证明（若自己有其它证法，可利用备用图完成证明）．
方法一
证明：如图，过点D作DM⊥AB于M，过点D作DN⊥AC于N．
方法二
证明：如图，过点D作DE∥AB交AC于点E．
26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；
（3）若该抛物线在﹣2＜x＜﹣1这一段位于直线l的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式．
27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．
（1）抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，AB＝4．求抛物线的表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x轴正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标；
（3）当m＝4时，抛物线上有两点M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜2，x2＞2，x1+x2＞4，试判断y1与y2的大小，并说明理由．
2022-2023学年北京市房山区九年级（上）期中数学试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.
1．已知3x＝2y（y≠0），那么下列比例式中成立的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】把每一个选项的比例式转化为等积式，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵＝，
∴2x＝3y，
故A不符合题意；
B、∵＝，
∴3x＝2y，
故B符合题意；
C、∵＝，
∴2x＝3y，
故C不符合题意；
D、∵＝，
∴xy＝6，
故D不符合题意；
故选：B．
2．如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝1：2，那么AC：AE的值是（ ）
A．B．C．D．2
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝＝，
∴AC：AE＝，
故选：A．
3．如图，F是△ABC的边AB上一点，则下列条件不能判定△ACF与△ABC相似的是（ ）
A．∠AFC＝∠ACBB．∠ACF＝∠BC．D．AC2＝AF•AB
【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断可求解．
【解答】解：若∠AFC＝∠ACB，且∠A＝∠A，则△AFC∽△ACB，故选项A不合题意；
若∠ACF＝∠B，且∠A＝∠A，则△AFC∽△ACB，故选项B不合题意；
若，，且∠A＝∠A，不能证明△AFC与△ACB相似，故选项A符合题意；
若AC2＝AF•AB，则，且∠A＝∠A，则△AFC∽△ACB，故选项D不合题意；
故选：C．
4．将抛物线y＝2x2先沿x轴向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到新的抛物线，那么新抛物线的表达式为（ ）
A．y＝2（x+2）2+3B．y＝2（x+2）2﹣3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3D．y＝2（x﹣2）2+3
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
【解答】解：抛物线y＝2x2先向右平移2个单位长度，得：y＝2（x﹣2）2；
再向上平移3个单位长度，得：y＝2（x﹣2）2+3．
故选：D．
5．地质勘探人员为了估算某条河的宽度，在河对岸选定一个目标点O，再在他们所在的这一侧选取点A，B，D，使得AB⊥AO，DB⊥AB，然后找到DO和AB的交点C，如图所示，测得AC＝16m，BC＝8m，DB＝7m，则可计算出河宽AO为（ ）
A．16mB．15mC．14mD．13m
【分析】在△AOC和△BCD中，由AB⊥AO，DB⊥AB得到∠OAC＝∠DBC＝90°，又根据对顶角相等得到两三角形相似，根据相似三角形的对应边成比例，由AC＝16m，BC＝8m，DB＝7m代入所得的比例式中，即可求出河宽OA的长．
【解答】解：∵∠OCA＝∠DCB，∠A＝∠B＝90°，
∴△OCA∽△DCB．
∴＝．
∴OA＝＝＝14（m）．
即这条河的宽为14m．
故选：C．
6．A，B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣1）2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1
【分析】根据抛物线的对称性，增减性，即可得出y1、y2、y3的大小关系．
【解答】解：二次函数y＝﹣（x﹣1）2+k的图象开口向下，对称轴为x＝1，
∴C（4，y3）关于对称轴的对称点为（﹣2，y3），
∵﹣2＜﹣＜1，
∴y3＜y1＜y2，
故选：C．
7．下列关于抛物线y＝x2+bx+b﹣2的说法正确的是（ ）
A．此抛物线的开口比抛物线y＝﹣x2的开口大
B．当b＞0时，此抛物线的对称轴在y轴右侧
C．此抛物线与x轴没有公共点
D．对于任意的实数b，此抛物线与x轴总有两个交点
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：抛物线y＝x2+bx+b﹣2的与y＝﹣x2的开口方向相反，但开口大小相同，
故A选项错误，不符合题意；
当b＞0时，与a的符号相同，则抛物线的对称轴位于y轴的左侧，
故B选项错误，不符合题意；
由于Δ＝b2﹣4b+8＝（b﹣2）2+4＞0，所以该抛物线与x轴有两个公共点，
故C选项错误，D选项正确．
故选：D．
8．如图，将矩形ABCD对折，使AD和BC边重合，得到折痕EF，EF与对角线BD交于点P，连接DE和CE，CE与BD交于点O，有如下5个结论：
①EF与BD互相平分；
②OE：OC＝1：2；
③OP：OB：PD＝1：2：3；
④△BOE与△COD的面积之比是1：2；
⑤△BOC与△DOE的面积相等．其中正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①②⑤D．①②③⑤
【分析】①由折叠性质知，BE＝AB，DF＝，结合矩形性质得BE＝DF，连接BF，证明四边形BFDE是平行四边形，便可判断①的正误；
②证明△OBE∽△ODC，得OE：OC＝BE：CD＝1：2，便可判断正误；
③证明四边形BCFE为平行四边形，得EF∥BC，得△OPE∽△OBC，求得OP：OB＝1：2，进而求得OP：OB：PD，便可判断正误；
⑤根据平行线的性质得△BCE的面积＝△BDE的面积，由△BCE的面积﹣△OBE的面积＝△BDE的面积﹣△OBE的面积得出结果，便可判断正误．
【解答】解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
由折叠性质知，BE＝AB，DF＝，
∴BE＝DF，
连接BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴EF与BD互相平分，
故①正确，选项符合题意；
②∵BE∥CD，
∴△OBE∽△ODC，
∴OE：OC＝BE：CD＝1：2，
故②正确，选项符合题意；
③∵BE∥CF，BE＝＝CF，
∴四边形BCFE为平行四边形，
∴EF∥BC，EF＝BC，
∴△OPE∽△OBC，
∴OP：OB＝PE：BC，
∵PE＝PF，
∴PE：EF＝PE：BC＝1：2，
∴OP：OB＝1：2，
∵PB＝PD，
∴OP：PD＝OP：PB＝1：3，
∴OP：OB：PD＝1：2：3，
故③正确，选项符合题意；
④∵△OBE∽△ODC，
∴，
故④错误，选项不符合题意；
⑤∵AB∥CD，
∴△BCE的面积＝△BDE的面积，
∴△BCE的面积﹣△OBE的面积＝△BDE的面积﹣△OBE的面积，
∴△BOC＝△DOE的面积，
故⑤正确，符合题意；
故选：D．
二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）
9．已知，则＝ ．
【分析】根据比例的合比性质可直接求解．
【解答】解：∵，
∴＝＝．
10．如图，小刚在打网球时，球恰好能打过网，且落在离网5m的位置上，则他的球拍击球的高度是 2.4 m．
【分析】根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，＝，
解得h＝2.4．
答：他的球拍击球的高度是2.4m，
故答案为：2.4．
11．已知某二次函数图象的最低点是坐标原点，请写出一个符合要求的二次函数表达式 y＝x2（答案不唯一） ．
【分析】根据二次函数的顶点是坐标原点，设函数的解析式为：y＝ax2，根据顶点是二次函数图象的最低点，结合二次函数的性质，得到a＞0，任取负数a代入原解析式，即可得到答案．
【解答】解：∵二次函数的顶点是：（0，0），
∴可设函数的解析式为：y＝ax2，
又∵点（0，0）是二次函数图象的最低点，
∴抛物线开口方向向上，
∴a＞0，
令a＝1，
则函数解析式为：y＝x2（答案不唯一）．
12．在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，y与x的部分对应值如表：
则m、n的大小关系为m ＝ n．（填“＞”，“＝”或“＜”）
【分析】首先确定抛物线的对称轴，然后根据抛物线的对称性求解．
【解答】解：∵抛物线经过点（0，﹣2）和（3，﹣2），
∴抛物线的对称轴为＝，
∵（1，m）和（2，n）到对称轴距离相等，
∴m＝n，
故答案为：＝．
13．在设计“利用相似三角形的知识测量树高”的综合实践方案时，晓君想到了素描课上老师教的方法，如图，请一位同学右手握笔，手臂向前伸直保持笔杆与地面垂直，前后移动调整自己的位置，直到看见笔杆露出的部分刚好遮住树的主干，这时测量同学眼睛到笔的距离AB、同学到树干的距离AC，以及露出笔的长度DE，就可通过计算得到树的高度，这种实践方案主要应用了相似三角形的性质定理： 相似三角形对应高的比等于相似比 ．（填写定理内容）
【分析】根据题意推知△ADE∽△AFG，且AB是△ADE的高，AC是△AFG的高，结合相似三角形对应边上高的比等于相似比解答．
【解答】解：如图，设树高为GF．
根据题意推知△ADE∽△AFG，且AB⊥DE，AC⊥FG，
所以＝．
所以FG＝．
故答案为：相似三角形对应高的比等于相似比．
14．给出定义：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC、CB，若满足△ACO∽△CBO，则称这样的抛物线称为“相似抛物线”，如图，二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象是“相似抛物线”，且AC＝，则此抛物线的对称轴为 x＝﹣1.5 ．
【分析】利用“相似抛物线”的意义求得线段OA，OB的长度，得到A、B两点的坐标，即可求解．
【解答】解：∵y＝ax2+bx+2，
令x＝0，则y＝2，
∴C（0，2），
∴OC＝2．
∵△ACO∽△CBO，AC＝，
∴＝＝，即＝＝，
设OB＝x，则BC＝x，
∵∠BOC＝90°，
∴OB2+OC2＝BC2，即x2+22＝（x）2，
解得x＝1，
∴OB＝1，
∴OA＝＝4，
∴A（﹣4，0），B（1，0），
∴此抛物线的对称轴为x＝＝﹣1.5．
故答案为：x＝﹣1.5．
15．在关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数值y的几组对应值：
根据以上信息，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根中，其中的一个实数根约等于 3.7 （保留小数点后一位小数）．
【分析】根据题意和表格中的数据可以写出一个符合题意的值，注意本题答案不唯一，但要接近x＝4．
【解答】解：由表格可知，
当x＝3时，y＝﹣2.2＜0，当x＝4时，y＝1.4＞0，
则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实数根中，其中的一个实数根约等于3.7，
故答案为：3.7．
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2经过平移得到抛物线y＝﹣x2﹣4x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 8 ．
【分析】确定出抛物线y＝﹣x2﹣4x的顶点坐标，然后求出抛物线的对称轴与原抛物线的交点坐标，从而判断出阴影部分的面积等于矩形的面积，再根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：如图，∵y＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，
∴平移后抛物线的顶点坐标为（﹣2，4），对称轴为直线x＝﹣2，
当x＝﹣2时，y＝﹣x2＝﹣4，
∴平移后阴影部分的面积等于如图矩形的面积，2×4＝8．
故答案为：8．
三、解答题（本题共11道小题，共68分.17，22每题5分；18，20，21，23，25每题6分；19，24，26，27每题7分）
17．（5分）如图，AD与BC交于O点，∠A＝∠C，BO＝4，DO＝2，AB＝3，求CD的长．
【分析】由∠A＝∠C，∠AOB＝∠COD可得出△AOB∽△COD，利用相似三角形的性质可得出＝，代入AO＝4，CO＝2，CD＝3即可求出AB的长．
【解答】解：∵AD与BC交于O点，
∴∠AOB＝∠COD，
∵∠A＝∠C，
∴△AOB∽△COD，
∴＝，
∵BO＝4，DO＝2，AB＝3，
∴＝，
∴CD＝1.5．
18．（6分）已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过（0，﹣1），（1，﹣3）两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当x ＞0 时，函数y随x的增大而减小．
【分析】（1）根据待定系数法求得二次函数解析式即可；
（2）利用二次函数增减性分析得出答案．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过（0，﹣1），（1，﹣3）两点，
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为y＝﹣2x2﹣1；
（2）∵a＝﹣2＜0，对称轴是y轴，
∴x＞0时，y随x的增大而减小，
故答案为：＞0．
19．（7分）已知二次函数y＝x2﹣6x+3．
（1）用配方法将其化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）该函数图象的对称轴为 x＝3 ，顶点坐标为 （3，﹣6） ；
（3）在所给的平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图象（列表，描点、连线）．
【分析】（1）用配方法配方成顶点式即可；
（2）由（1）写出抛物线顶点坐标，对称轴方程；
（3）根据抛物线对称轴找出x，y的对应值，用列表、描点，连线即可．
【解答】解：（1）y＝x2﹣6x+3＝x2﹣6x+32﹣32+3＝（x﹣2）2﹣6；
（2）∵y＝（x﹣3）2﹣6，
∴顶点坐标为（3，﹣6），对称轴直线为x＝3．
故答案为：x＝3，（3，﹣6）；
（3）列表：
画出函数的图象，如图所示：
20．（6分）已知：二次函数图象如图所示．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当x x＞3或x＜1 时，y＞0；
（3）当0≤x≤3时，函数y的最大值为 3 ；最小值为 ﹣1 ．
【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据二次函数图象，直接可以得出结论；
（3）根据函数的性质和图象即可得出结论．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
根据题意得：，
解得，
∴二次函数的表达式为y＝x2﹣4x+3；
（2）∵二次函数图象过（3，0），对称轴为x＝2，
∴二次函数图象还过（1，0），
∴由图象得：当x＞3或x＜1时，y＞0，
故答案为：x＞3或x＜1；
（3）当x＝0时，y＝3，x＝2时，y＝﹣1，x＝3时，y＝0，
∴当0≤x≤3时，函数y的最大值为 3，最小值为﹣1，
故答案为：3，﹣1．
21．（6分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD．
（1）求证：△ABE∽△ACD；
（2）若BD＝1，BC＝3，求的值．
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠CAD，根据等腰三角形的性质得到∠BED＝∠BDE，由等角的补角相等得到∠AEB＝∠ADC，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到＝，化简即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD．
∵BE＝BD，
∴∠BED＝∠BDE．
∴∠AEB＝∠ADC．
∴△ABE∽△ACD．
（2）解：∵△ABE∽△ACD，
∴＝，
∵BE＝BD＝1，BC＝3，
∴CD＝2，
∴＝．
22．（5分）如图，在正方形网格上有△ABC以及一条线段DE．请你以DE为一条边．以正方形网格的格点为顶点画一个△DEF，使得△ABC与△DEF相似，并求出这两个三角形的相似比．
【分析】依据相似三角形的判定方法，即可得到△DEF，使得△ABC与△DEF相似．
【解答】解：如图所示，△DEF即为所求（答案不唯一）．
△ABC∽△FDE，其相似比为．
23．（6分）在某场篮球比赛中，一位运动员在距篮下7m，三分线外跳起投篮，球运行的路线大致是抛物线，当球运行的水平距离为4m时，达到最大高度3.86m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05m．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；
（2）该运动员身高1.84m，在这次跳投中，球在头顶上方0.3m处出手，问：球出手时，她跳离地面的高度是多少？
【分析】（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+3.86，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值．
（2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，则可得h+2.05＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5．
【解答】解：（1）由于球在半空中达到最大高度3.86m，
则设：二次函数表达式为y＝ax2+3.86（a≠0），
代入（3，3.05）可得3.05＝9a+3.86，
解得：a＝﹣0.09．
∴抛物线表达式为y＝﹣0.09x2+3.86．
（2）设运动员跳离地面高度为hm，
将x＝﹣4以代入二次函数y＝﹣0.09x2+3.86，
得h+1.84+0.3＝﹣0.09×16+3.86，
解得h＝0.28．
答：运动员跳离地面的高度是0.28 m．
24．（7分）如图，一次函数y＝x+b的图象与x轴交于点A，二次函数y＝ax2+2x+c（a≠0）的图象与该一次函数图象交于A、C两点，点C坐标为（2，3）．
（1）求一次函数及二次函数表达式；
（2）直线x＝m与抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）交于点D、与直线y＝x+b交于点E，
①当点E位于点D的上方时，结合函数的图象直接写出m的取值范围；
②当点E在线段AC上时，求线段DE长度的最大值及此时点E的横坐标．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得一次函数及二次函数表达式；
（2）①根据图象即可求解；
②设D（m，﹣m2+2m+3），则E（m，m+1），根据题意得到DE＝﹣m2+2m+3﹣（m+1）＝﹣m2+m+2＝﹣（m﹣）2+，利用二次函数的性质即可求得线段DE长度的最大值及此时点E的横坐标．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+b的图象过点C（2，3），
∴3＝2+b，
解得b＝1，
∴一次函数的表达式为y＝x+1，
当y＝0时，x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
将点A、C的坐标代入y＝ax2+2x+c得
，
解得，
∴二次函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）①∵A（﹣1，0），C（2，3）．
∴当点E位于点D的上方时，观察图象，则m＜﹣1或m＞2；
②设D（m，﹣m2+2m+3），则E（m，m+1），
当点E在线段AC上时，则﹣1＜m＜2，
DE＝﹣m2+2m+3﹣（m+1）＝﹣m2+m+2＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣1＜0，
∴当m＝时，DE有最大值，此时E点的横坐标为．
25．（6分）晓宁同学在学习中遇到了以下一个几何问题：
已知：如图，△ABC中，AD是角平分线．
求证：．
喜欢钻研的他想到了两种解决问题的思路，作出了辅助线，请你选择其中一种，在此基础上完成证明（若自己有其它证法，可利用备用图完成证明）．
方法一
证明：如图，过点D作DM⊥AB于M，过点D作DN⊥AC于N．
方法二
证明：如图，过点D作DE∥AB交AC于点E．
【分析】方法一：利用面积法解决问题；
方法二：根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；
方法三：过C作CE∥DA，交BA的延长线于E，利用两直线平行内错角、同位角相等得到两对角相等，再由AD为角平分线，得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到AE＝AC，由△BAD与△BEC相似，由相似得比例，等量代换即可得证．
【解答】证明：方法一：如图，过点A作AP⊥BD于P．
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM＝DN，
∴＝＝，
∵＝＝，
∴＝；
方法二：
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1＝∠2，
∵DE∥AB，
∴∠1＝∠3，＝，
∴∠2＝∠3，
∴AE＝ED，
∴＝，
∵DE∥AB，
∴△CED∽△CAB，
∴＝，
∴＝；
方法三：过C作CE∥DA，交BA的延长线于E，
∴∠2＝∠3，∠1＝∠E，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴∠E＝∠3，
∴AE＝AC（等角对等边），
∴△BAD∽△BEC，
∴＝（相似三角形对应边成比例），
∴＝．
26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；
（3）若该抛物线在﹣2＜x＜﹣1这一段位于直线l的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式．
【分析】（1）令x＝0求出y的值，即可得到点A的坐标，求出对称轴解析式，即可得到点B的坐标；
（2）求出点A关于对称轴的对称点（2，﹣2），然后设直线l的解析式为y＝kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；
（3）根据二次函数的对称性判断在2＜x＜3这一段与在﹣1＜x＜0这一段关于对称轴对称，然后判断出抛物线与直线l的交点的横坐标为﹣1，代入直线l求出交点坐标，然后代入抛物线求出m的值即可得到抛物线解析式．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣2，
∴A（0，﹣2），
抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴B（1，0）；
（2）易得A点关于对称轴直线x＝1的对称点A′（2，﹣2），
则直线l经过A′、B，
设直线l的解析式为y＝kx+b（k≠0），
则，
解得，
所以，直线l的解析式为y＝﹣2x+2；
（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线在2＜x＜3这一段与在﹣1＜x＜0这一段关于对称轴对称，
结合图象可以观察到抛物线在﹣2＜x＜﹣1这一段位于直线l的上方，在﹣1＜x＜0这一段位于直线l的下方，
∴抛物线与直线l的交点的横坐标为﹣1，
当x＝﹣1时，y＝﹣2×（﹣1）+2＝4，
所以，抛物线过点（﹣1，4），
当x＝﹣1时，m+2m﹣2＝4，
解得m＝2，
∴抛物线的解析式为y＝2x2﹣4x﹣2．
27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．
（1）抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，AB＝4．求抛物线的表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x轴正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标；
（3）当m＝4时，抛物线上有两点M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜2，x2＞2，x1+x2＞4，试判断y1与y2的大小，并说明理由．
【分析】（1）先根据抛物线和x轴的交点及线段的长，求出抛物线的解析式；
（2）根据平移后抛物线的特点设出抛物线的解析式，再利用等腰直角三角形的性质求出抛物线解析式；
（3）根据抛物线的解析式判断出点M，N的大概位置，再关键点M，N的横坐标的范围即可得出结论．
【解答】解：（1）抛物线 y＝﹣x2+mx+n的对称轴为直线x＝﹣3，AB＝4．
∴点 A（﹣5，0），点B（﹣1，0）．
∴抛物线的表达式为y＝﹣（x+5）（ x+1）
∴y＝﹣x2﹣6x﹣5．
（2）如图1，
依题意，设平移后的抛物线表达式为：y＝﹣x2+bx．
∴抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴正半轴交于点C（b，0）．
∴b＞0．
记平移后的抛物线顶点为P，
∴点P的坐标（，），
∵△OCP是等腰直角三角形，
∴＝
∴b＝2．
∴点P的坐标（1，1）．
（3）如图2，
当m＝4时，抛物线表达式为：y＝﹣x2+4x+n．
∴抛物线的对称轴为直线 x＝2．
∵点M（x1，y1）和N（x2，y2）在抛物线上，
且x1＜2，x2＞2，
∴点M在直线x＝2的左侧，点N在直线x＝2的右侧．
∵x1+x2＞4，
∴2﹣x1＜x2﹣2，
∴点M到直线x＝2的距离比点N到直线x＝2的距离近，
∴y1＞y2．
x
…
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
﹣7
﹣2
m
n
﹣2
﹣7
…
x
…
1
2
3
4
5
6
7
8
…
y＝ax2+bx+c
…
﹣3.4
﹣3.8
﹣2.2
1.4
7.0
14.6
24.2
35.8
…
x
…
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
﹣7
﹣2
m
n
﹣2
﹣7
…
x
…
1
2
3
4
5
6
7
8
…
y＝ax2+bx+c
…
﹣3.4
﹣3.8
﹣2.2
1.4
7.0
14.6
24.2
35.8
…