2022-2023学年山东省淄博市高青县九年级（上）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省淄博市高青县九年级（上）期中数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    如图，已知点，与轴正半轴的夹角为，则(    )

A.
B.
C.
D.

2.    年北京冬奥会的成功举办，标志着北京成为世界上第一个双奥之城．有着冰上“国际象棋”之称的冰壶如图放置时，它的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.    已知二次函数，且，，则一定有(    )

A.  B.  C.  D.

4.    如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，点在轴的负半轴上，若，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

5.    如图，某景区的两个景点、处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿方向水平飞行进行航拍作业，与在同一铅直平面内，当无人机飞行至处时、测得景点的俯角为，景点的俯角为，此时到地面的距离为米，则两景点、间的距离为米．结果保留根号．(    )

A.  B.  C.  D.

6.    某商品现在的售价为每件元，每天可卖出件．市场调查反映：如果调整价格，每降价元，每天可多卖出件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，求最大销售额是(    )

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

7.    如图，点是反比例函数在第一象限内的图象上的一个动点，连接并延长交反比例函数的图象于另一点，以为斜边作等腰直角三角形，且点在第二象限，随着点的运动，点的位置也不断地变化，但始终在同一函数图象上运动，这个函数的解析式为(    )

A.
B.
C.
D.

8.    如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度即的长度是米．当喷射出的水流距离喷水头米时，达到最大高度米，水流喷射的最远水平距离是(    )
    

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

9.    如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和矩形在第一象限，平行于轴，且，，点的坐标为将矩形向下平移，若矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，则矩形的平移距离的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，当直线与新函数的图象恰有个公共点时，的值为(    )

A. 或
B. 或
C. 或
D. 或

二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）

11. 由若干个相同的小正方体构成的几何体的三视图如图所示，那么构成这个几何体的小正方体的个数是______．
     
12. 如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的点，轴，垂足为，则的面积为______．

13. 如图，在中，，，，则的面积为______．

14. 已知点，，在抛物线上，若，则______填“”或“”．
15. 如图，已知点，是函数图象上的两点，点位于点的左侧，，均垂直于轴，垂足为点，，连接交于点，若，四边形的面积为，则的值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    如图，反比例函数的图象经过点和点．
    求该反比例函数的表达式和的值．
    若点先左平移个单位，再向下平移单位，仍落在该反比例函数的图象上，求的值．

17. 本小题分
    新冠肺炎疫情期间，我国各地采取了多种方式进行预防．其中，某地运用无人机规劝居民回家．如图，无人机于空中处测得某建筑顶部处的仰角为，测得该建筑底部处的俯角为若无人机的飞行高度为，求该建筑的高度结果取整数参考数据：，，．

18. 本小题分
    如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
    求抛物线的解析式，并写出顶点的坐标；
    连接，是中点，连接，求线段的长度．

19. 本小题分
    如图，身高的小王晚上沿箭头方向散步至一路灯下，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下；先从路灯底部向东走步到处，发现自己的影子端点刚好在两盏路灯的中间点处，继续沿刚才自己的影子走步到处，此时影子的端点在处．
    根据题意画图，找出路灯的位置．
    求路灯的高和影长．

20. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点的坐标为，坐标为，双曲线上经过点，直线：在经过点交轴于点，与双曲线的另一分支相交于点．
    分别求双曲线和直线的函数关系式；
    判断点是否在双曲线上；
    当时，直接写出的取值范围．

21. 本小题分
    某班同学在一次综合实践课上，测量校园内一棵树的高度．如图，测量仪在处测得树顶的仰角为，处测得树顶的仰角为点，，在一条水平直线上，已知测量仪高度米，米，求树的高度结果保留小数点后一位．参考数据：，，．

22. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，轴于点，轴于点，是线段的中点，，．
    求反比例函数的表达式．
    连接，，，求的面积．
    是线段上的一个动点，是线段上的一个动点，试探究是否存在点，使得是等腰直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

23. 本小题分
    如图，抛物线与轴相交于，两点点在点的左侧，顶点在直线：上，动点在轴上方的抛物线上．
    
    求这条抛物线对应的函数表达式；
    过点作轴于点，于点，当时，求的最大值；
    设直线，与抛物线的对称轴分别相交于点，，请探索以，，，是点关于轴的对称点为顶点的四边形面积是否随着点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：过作轴于，轴于，则，

轴轴，
，
四边形是矩形，
，，
，
，，
在中，由勾股定理得
，
，
故选：．
过作轴于，轴于，根据点的坐标求出和，由勾股定理求出，由锐角三角函数的定义求出答案即可．
本题考查了点的坐标、勾股定理、锐角三角函数的定义，能求出和的长是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：从正面看到的图形与选项A相符合，
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义，明确从正面看得到的图形是主视图．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向下，
，
当时，，
抛物线的顶点在轴的上方，
抛物线与轴有两个交点，
，
故选：．
根据题意可知抛物线与轴有两个交点，即可判断．
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，根据题意抛物线开口向上，顶点在轴的下方是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：轴，点在轴上，的面积为，
，
，
，
故选：．
根据反比例函数比例系数的几何意义求解即可．
本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，正确求出是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，，，
米，
米，米，
米．
故选：．
根据三角函数和直角三角形的性质解答即可．
此题考查了俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用．
 

6.【答案】 

【解析】解：设每件商品降价元，每天的销售额为元．
依题意有：，
，
当时，最大，最大值为，
最大销售额为元．
故选：．
设每件商品降价元，每天的销售额为元，由题意可得到和的二次函数关系，利用配方法可求最值．
本题考查二次函数的应用，利用数学知识解决实际问题，解题的关键是建立函数模型，利用配方法求最值．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，连接，作轴于，轴于，

点、点是正比例函数图象与双曲线的交点，
点与点关于原点对称，
，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
≌，
设点坐标为，得出，，
点坐标为，
，
点在比例函数图象上．
故选：．
连接，作轴于，轴于，利用反比例函数的性质和等腰直角三角形的性质，根据“”可判定≌，设点坐标为，得出得出，，最后根据反比例函数图象上点的坐标特征确定函数解析式．
本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，解题时需要综合运用反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质．判定三角形全等是解决问题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题可知：抛物线的顶点为，
设水流形成的抛物线为，
将点代入可得，
抛物线为：，
当时，
，
解得舍去或，
水流喷射的最远水平距离是米，
故选：．
用待定系数法求出二次函数解析式，再令算出的值，即可得答案．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图．

由题意知，矩形平移到图示的位置时，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象．
，，平移前点的坐标为，
平移后坐标为，平移后点的坐标为．
．
．
故选：．
如图，根据矩形的性质以及平移的性质，得到平移后与在反比例函数图象上，从而根据反比例函数图象上的点的坐标特征解决此题．
本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征、矩形的性质、平移，熟练掌握反比例函数图象上的点的坐标特征、矩形的性质、平移的性质是解决本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：二次函数解析式为，
抛物线的顶点坐标为，
当时，，解得，，
则抛物线与轴的交点为，，
把抛物线图象轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为，顶点坐标，
如图，当直线过点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，
，解得；
当直线与抛物线相切时，直线与该新图象恰好有三个公共点，
即有相等的实数解，整理得，，解得，
所以的值为或，
故选：．
分两种情形：如图，当直线过点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，当直线与抛物线相切时，直线与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可．
此题主要考查了翻折的性质，一元二次方程与二次函数的关系，抛物线的性质，确定翻折后抛物线的关系式；利用数形结合的方法是解本题的关键，画出函数图象是解本题的难点．
 

11.【答案】 

【解析】解：由三视图可得，构成这个几何体的小正方体的个数是：如图：

故答案为：．
根据给出的几何体，通过动手操作，观察可得答案为，也可以根据画三视图的方法，发挥空间想象能力，直接想象出每个位置正方体的数目，再加上来．
本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就能容易得到答案了．
 

12.【答案】 

【解析】解：轴，
．
故答案为：．
利用反比例函数的几何意义得到的面积为．
本题考查了反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
 

13.【答案】 

【解析】解：过点作交的延长线于点，

，
，
，，
，，
，
在中，
，
，
在中，
，
，
故答案为：．
过点作交的延长线于点，在中，运用三角函数求的长，在中，运用三角函数求出的长，最后运用三角形面积公式计算．
本题考查了直角三角形的应用，通过作辅助线构建直角三角形，然后通过边角关系求出线段长是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：点在抛物线上，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
，
，
，在抛物线上，
点距离对称轴较近，
，
故答案为：．
根据题意得到抛物线开口向上，对称轴满足，然后根据点到对称轴的距离的大小判断，的大小即可．
本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的性质，根据题意得到对称轴的取值范围是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：设点坐标为，则，，，
，
，
，
轴于，
，
四边形的面积为，
，
解得，
故答案为：．
先设点坐标为，用、表示出的面积，再根据四边形的面积求得的值便可．
本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，解决问题的关键是运用数形结合的思想方法，根据与的面积差为四边形的面积列出方程求解．
 

16.【答案】解：将点代入，得：
，
反比例函数解析式为：，
把点代入得：，
，．
将点先左平移个单位，再向下平移单位后得点：，
把点代入，得：，
解得：舍，或． 

【解析】待定系数法求反比例函数解析式，代入点，求；
将点平移后所得点的坐标代入函数解析式求．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式和点的平移变化．主要利用求的值，要注意的取值范围．
 

17.【答案】解：作于，
则四边形为矩形，
，
在中，，
则，
在中，，
，
，
则该建筑的高度为． 

【解析】作于，根据正切的定义求出，根据等腰直角三角形的性质求出，结合图形计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

18.【答案】解：把，代入得，
解得．
抛物线解析式为，顶点．
抛物线解析式为，
当时，，
的坐标为，
的坐标为，
． 

【解析】利用待定系数法求解析式，再利用顶点坐标公式求顶点坐标；
根据解析式求的坐标，再根据中点坐标公式求的坐标，根据勾股定理求．
本题考查了抛物线与轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，熟知顶点坐标公式，中点坐标公式，勾股定理等是解题的关键．
 

19.【答案】解解：如图，点为路灯的位置；

作垂直地面，如图，步，步，，
，
∽，
，即，
解得，
，
∽，
，即，
解得． 

【解析】设小王在处的头顶位置为点，在处的头顶位置为点，则延长、，它们相交于点，则点为路灯的位置．
作垂直地面，如图，步，步，，先证明∽，利用相似比可求出，然后证明∽，则利用相似比可计算出．
本题考查了中心投影：由同一点点光源发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．也考查了相似三角形的判定与性质．
 

20.【答案】解：将点代入中，得，
反比例函数的解析式为，
将点代入中，得，
，
把、的坐标代入得，
解得，
直线的函数关系式为；

因为四边形是菱形，，，
，，
，
由知双曲线的解析式为，
，
点在双曲线上；

由知，
由图象知，当时的值的范围为或． 

【解析】因为点在双曲线上，所以代入点坐标即可求出双曲线的函数关系式，又因为点在双曲线上，代入即可求出的值，得到的坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
先求出点的坐标，判断即可得出结论；
根据图象直接得出结论．
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，用表示出点的坐标是解本题的关键．
 

21.【答案】解：连接，交于点，则，米，
在中，，
，
设米，则米，米，
在中，，
即，
解得，
经检验，是原方程的根，
即米，
米，
答：树的高度为米． 

【解析】连接，构造两个直角三角形，在两个直角三角形中根据锐角三角函数的定义求出即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
 

22.【答案】解：，
点坐标轴为，
，
，
，
是线段的中点，
，
，
，
，
；



；
存在点，使得是等腰直角三角形，理由如下：
设直线的解析式为，
，
，
，
设，
当时，，
点与点重合，
此时；
当时，，
，
解得，
；
当时，，
，
解得，
；
综上所述：点坐标为或或 

【解析】先求出点坐标，再求出点坐标，即可求函数的解析；
利用割补法可得；
设，分三种情况讨论：当时，，点与点重合，此时； 当时，，，此时；当时，，，此时
本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，梯形的面积，分类讨论是解题的关键．
 

23.【答案】解：抛物线的顶点，
可以假设抛物线的解析式为；

如图，设直线交轴于点，连接，，交于点设．

点在直线：上，
，
，
直线的解析式为，
令，得到，
，
，
，
，
，
，
，
，，
四边形的面积的面积的面积，
四边形的面积最大时，的值最大，
，，
直线的解析式为，
，
，
四边形的面积的面积的面积



，
时，四边形的面积最大，最大值为，
的最大值；

四边形的面积不变．
理由：如图，设，

，，
直线的解析式为，
，
，关于轴对称，
，
直线的解析式，
，
，
四边形的面积．
四边形的面积是定值． 

【解析】利用顶点式求解，可得结论；
如图，设直线交轴于点，连接，，交于点设四边形的面积的面积的面积，推出四边形的面积最大时，的值最大，求出四边形的面积的最大值，可得结论；
四边形的面积不变．如图，设，求出直线，的解析式，可得点，的坐标，求出的长，可得结论．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．