湖南师范大学附属中学2023届高三上学期第一次月考数学试题及参考答案

炎德·英才大联考湖南师大附中2023届高三月考试卷（一）

数学

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知复数满足，则（    ）

A.  B.  C. 1 D.

2. 已知集合关于的方程无实数根方程表示椭圆，则（    ）

A.  B. 点

C.  D.

3. 已知边长为2的等边为其中心，对①；②；③；④这四个等式，正确的个数是（    ）

A 1 B. 2 C. 3 D. 4

4. 自5月初，麓山之巅观日出在抖音走红后，每天都有上千人披星戴月登顶岳麓山看日出，登顶游客中外地游客占，外地游客中有乘观光车登顶，本地游客中有乘观光车登顶，乘观光车登顶的票价为20元.若某天有1200人登顶观日出，则观光车营运公司这天的登顶观日出项目的营运票价收入是（    ）

A. 4800元 B. 5600元 C. 6400元 D. 7200元

5. 有一个圆台型的密闭盒子（表面不计厚薄），其母线与下底面成60°角，且母线长恰好等于上下底半径之和，在圆台内放置一个球，当球体积最大时，设球的表面积为，圆台的侧面积为，则（    ）

A.  B.  C.  D. 无法确定与大小

6. 奇函数在区间上恰有一个最大值1和一个最小值-1，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知函数，则、、的大小关系是（    ）

A.  B.

C.  D.

8. 在中，，点分别在边上移动，且，沿将折起来得到棱锥，则该棱锥的体积的最大值是（    ）

A.  B.  C.  D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 已知正方体中，点是线段靠近点的三等分点，点分别为的中点.下列说法中正确的是（    ）

A. 四点共面 B.

C. 平面 D. 三棱锥与三棱锥体积相等

10. 已知函数，下列说法正确的是（    ）

A. 时存在单调递增区间

B. 时存在两个极值点

C. 是为减函数的充要条件

D. 无极大值

11. 已知是抛物线上两动点，为抛物线的焦点，则（    ）

A. 直线过焦点时，最小值为4

B. 直线过焦点且倾斜角为时（点在第一象限），

C. 若中点的横坐标为3，则最大值为8

D. 点坐标，且直线斜率之和为与抛物线的另一交点为，则直线，方程为：

12. 将个数排成行列一个数阵.如图：该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）.已知，记这个数的和为.下列结论正确的有（    ）

A.  B.

C.  D.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 的展开式中常数项是__________（用数字作答）．

14. 若直线和直线将圆的周长四等分，则__________．

15. 在中，，则当取最大值时，___________.

16. 过双曲线 的右焦点作其中一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左､右两支分别交于点，若，则双曲线的离心率是___________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知数列中为直角坐标平面上的点.对任意三点共线.

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：.

18. 某公园要建造如图所示的绿地为互相垂直的墙体，已有材料可建成的围栏AB与BC的总长度为12米且.设.

（1）当时，求的长；

（2）当时，求面积的最大值及此时的值.

19. 如图，在直角中，，将绕边旋转到位置，使，得到圆锥的一部分，点为上的点，且.

（1）求点到平面距离；

（2）设直线与平面所成的角为，求的值.

20. 某工厂为了提高生产效率，对生产设备进行了技术改造，为了对比技术改造后的效果，采集了技术改造前后各次连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，整理如下：

改造前：；

改造后：.

（1）完成下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析判断技术改造前后的连续正常运行时间是否有差异？

（2）工厂的生产设备的运行需要进行维护，工厂对生产设备的生产维护费用包括正常维护费和保障维护费两种，对生产设备设定维护周期为天（即从开工运行到第天，）进行维护，生产设备在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立.在一个维护周期内，若生产设备能连续运行，则只产生一次正常维护费，而不会产生保障维护费；若生产设备不能连续运行，则除产生一次正常维护费外，还产生保障维护费，经测算，正常维护费为万元/次，保障维护费第一次为万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加万元.现制定生产设备一个生产周期（以天计）内的维护方案：，.以生产设备在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列及均值.

（其中）

21. 设分别是圆的左､右焦点，M是C上一点，与x轴垂直.直线与C的另一个交点为N，且直线MN的斜率为

（1）求椭圆C的离心率.

（2）设是椭圆C的上顶点，过D任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A､B两点，过点D作线段AB的垂线，垂足为Q，判断在y轴上是否存在定点R，使得的长度为定值？并证明你的结论.

22. 已知函数.

（1）判断函数在区间上极值点的个数并证明；

（2）函数在区间上的极值点从小到大分别为，设为数列的前项和.

①证明：；

②问是否存在使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.