安徽省芜湖市第一中学2022-2023学年高二上学期第一次阶段性诊断测试数学试题（含答案）

芜湖一中2021级第一次阶段性诊断测试

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.如图所示，已知三棱锥，点M，N分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于（    ）

A.  B.

C.  D.

2.若向量，，则（    ）

A. B. C.5 D.

3.在正方体中，棱长为2，点M为棱上一点，则的最小值为（    ）

A.1 B.2 C.3 D.4

4.已知，，若过点且斜率为k的直线l与线段有公共点，则k的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

5.直线，是分别经过，两点的两条平行直线，当，间的距离最大时，直线的方程是（    ）

A. B. C. D.

6.如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处，已知库底与水坝所成的二面角为120°，测得从D，C到库底与水坝的交线的距离分别为，，又已知，则甲、乙两人相距（    ）

A. B. C. D.

7.如图，已知四棱锥的底面是边长为4的菱形，且，底面，若点D到平面的距离为，则（    ）

A. B.2 C.1 D.

8.在棱长为1的正方体中，已知点P是正方形内部（不含边界）的一个动点，若直线与平面所成角的正弦值和异面直线与所成角的余弦值相等，则线段长度的最小值是（    ）

A. B. C. D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列命题中，是假命题的是（    ）

A.若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大

B.若直线的倾斜角为，则直线的斜率为

C.若直线倾斜角，则斜率k的取值范围是

D.若直线的斜率为，则直线的倾斜角为

10.下列四个命题中真命题有（    ）

A.直线在y轴上的截距为

B.经过定点的直线都可以用方程表示

C.直线必过定点

D.已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1

11.已知空间三点，，，设，，则下列结论正确的是（    ）

A.若，且，则

B.和的夹角的余弦值为

C.若与互相垂直，则k的值为2

D.若与z轴垂直，则，应满足

12.在正方体中，E，F，G分别为，，的中点，则下列结论中正确的是（    ）

A.

B.二面角的正切值为

C.异面直线与所成角的余弦值为

D.点G到平面的距离是点C到平面的距离的2倍

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若直线与垂直，则______.

14.设直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则实数z的值为______.

15.直线，为直线l上动点，则的最小值为______.

16.在棱长为的正四面体中，点M满足，点N满足，当、最短时，______.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知的顶点，，.

（1）求边上的中线所在直线的方程；

（2）求经过点A，且在x轴上的截距和y轴上的截距相等的直线的方程.

18.（本小题满分12分）

如图，在三棱锥中，点D为棱上一点，且，点M为线段的中点.

（1）以为一组基底表示向量；

（2）若，，，求.

19.（本小题满分12分）

棱长为2的正方体中，E、F分别是、的中点，G在棱上，且，H是的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：

（1）求证：；

（2）求；

（3）求的长.

20.（本小题满分12分）

如图，在三棱柱中，侧面底面，侧面是菱形，，，.

（1）若D为的中点，求证：；

（2）求二面角的正弦值.

21.（本小题满分12分）

如图，将一块直角三角形木板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线将三角形木板锯成，设直线的斜率为k.

（1）用k表示出直线方程，并求出M、N的坐标；

（2）求锯成的的面积的最小值.

22.（本小题满分12分）

如图，在四边形中，，，，.沿将翻折到的位置，使得.

（1）作出平面与平面的交线l，并证明平面；

（2）点Q是棱上异于S，C的一点，连接，若二面角的余弦值为，求此时三棱锥的体积.

芜湖一中2021级第一次阶段性诊断测试

数学试题参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

二、选择题：本题共4小题每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

三、填空题：本题共4小题每小题5分，共20分.

13.     14.5.      15.     16.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

解：（1）线段的中点为，

则中线所在直线方程为：，即.  ……4分

（2）设两坐标轴上的截距为a，b，

若，则直线经过原点，斜率，

直线方程为，即；  ……7分

若，则设直线方程为，即，

把点代入得，即，直线方程为；

综上，所求直线方程为或.  ……10分

18.（本小题满分12分）

解：（1）M为线段的中点，，∵，∴，

∴

；  ……6分

（2）

.  ……12分

19.（本小题满分12分）

解：（1）如图，以D为原点，，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则

，，，，，，，

∵，，

∴，

∴，故；……4分

（2），∴

∵，且，

∴；  ……8分，

（3）∵H是的中点，∴，又∵，∴，

，即.  ……12分

20.（本小题满分12分）

解：（1）∵侧面是菱形，∴，∵D为的中点，∴，

∵侧面底面，，底面，

∴侧面，

∵侧面，∴，

∴平面，∵平面，∴. ……4分

（2）取中点E，连接，从而，又由，

则，侧面底面，侧面底面，∴底面，

以C为坐标原点，以，，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，  ……6分

如下图：，，，，

由题意可知，为平面的一个法向量，

不妨设平面的一个法向量，因为，，

从而，

令，则，，即，……10分

设二面角为，由图可知为钝角，

从而，即，

故二面角的正弦值为.  ……12分

21.（本小题满分12分）

解：（1）设直线，因为直线过点，所以，.

∴，

又因为，，直线，直线，

故，.  ……4分

（2）∵，，∴，所以

∵，

设M到直线的距离为d，则，  ……6分

∴  ……8分

所以S的最小值为.  ……12分

22.（本小题满分12分）

（1）证明：如图，延长，相交于E，连接，则为平面与平面的交线l.

在中，，，，则，所以.

由，，，得平面.

又，所以平面，所以.

由，，，得.

所以，所以.

又因为，所以平面，即平面.……4分

（2）解：由（1）知，，，.以点A为坐标原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.  ……6分

易得，，，，，则.

设，则，则.

设是平面的一个法向量，则，

令，则.  ……8分

是平面的一个法向量.

由，解得.  ……10分

所以点Q是的中点.

所以. ……12分