浙江省杭州市萧山区2023届高三数学一模试卷(含答案解析)

浙江省杭州市萧山区2023届高三数学一模试卷

1.     已知集合，，则 (    )

A.  B.  C.  D.

2.     已知复数，则等于(    )

A.  B. 0 C.  D.

3.     已知，，则在上投影向量为(    )

A.  B.  C.  D.

4.     正整数2160的不同正因数的个数为(    )

A. 20 B. 28 C. 40 D. 50

5.     “北溪”管道泄漏事件的爆发，使得欧洲能源供应危机成为举世瞩目的国际公共事件。随着管道泄漏，大量天然气泄漏使得超过8万吨类似甲烷的气体扩散到海洋和大气中，将对全球气候产生灾难性影响。假设海水中某种环境污染物含量单位：与时间单位：天间的关系为：，其中表示初始含量，k为正常数。令为之间海水稀释效率，其中，分别表示当时间为和时的污染物含量。某研究团队连续20天不间断监测海水中该种环境污染物含量，按照5天一期进行记录，共分为四期，即分别记为I期，II期，III期，IV期，则下列哪个时期的稀释效率最高(    )

A. I期 B. II期 C. III期 D. IV期

6.     已知，，，则a，b，c的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

7.     设函数，设是公差为的等差数列，，则(    )

A. 0 B.  C.  D.

8.     已知实数x，y满足：，，则的值是(    )

A. 1 B. 2 C.  D.

9.     直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，连接点A和坐标原点O的直线交抛物线准线于点D，则(    )

A. F坐标为 B. 最小值为4
C. DB一定平行于x轴 D. 可能为直角三角形

10. 四边形ABCD是边长为2的正方形，E、F分别为BC、CD的中点，分别沿AE、AF及EF所在直线把、和折起，使B、C、D三点重合于点P，得到三棱锥，则下列结论中正确的有(    )

A. 三棱锥的体积为
B. 面面EPF
C. 三棱锥中无公共端点的两条棱称为对棱，则三棱锥中有三组对棱相互垂直
D. 若M为AF的中点，则过点M的平面截三棱锥的外接球，所得截面的面积的最小值为

11. 已知函数(    )

A. 若在区间上单调，则
B. 将函数的图象向左平移个单位得到曲线C，若曲线C对应的函数为偶函数，最小值为
C. 函数在区间上恰有三个极值点，则
D. 关于x的方程在上有两个不同的解，则

12. 已知和都是定义在R上的函数，则(    )

A. 若，则的图象关于点中心对称
B. 函数与的图象关于直线对称
C. 若是不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有，则
D. 若方程有实数解，则不可能是

13. 的二项展开式中的系数为__________.
14. 已知圆上恰有2个点到直线距离为2，当r为正整数时，写出一个可能的r的值为__________.
15. 已知，过点可作曲线的三条切线，则t的范围是__________.
16. 已知双曲线，过点的动直线与C交于两点P，Q，若曲线C上存在某定点A使得为定值，则的值为__________.
17. 已知数列中，，成公差为1的等差数列.
    求数列的通项公式;
    求数列的前n项和
18. 锐角中，已知
    求角
    若，求的面积S的取值范围.
19. 三棱台中，为正三角形，，，，
    求证：
    若二面角的平面角大小为，且在线段上有点D使得平面DAB平分四面体的体积，求BD与面所成角的正弦值.
     
20. 某大学有A，B两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下：

假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率.
分别估计一天中甲午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率，乙午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率;
记X为甲、乙在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望
假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”， N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，，一般来说在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：

21. 已知M是椭圆的左顶点，过M作两条射线，分别交椭圆于点A，B，交直线于点C，
    若，求的最小值;
    设，，，，当，求证：直线AB过定点.
22. 已知函数
    讨论函数的单调性;
    若，函数，且，，，，求的取值范围.
    

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查集合的补集、交集运算，属于基础题.

【解答】

解：，
 

2.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题主要考查复数的四则运算以及共轭复数，属于基础题.

【解答】

解：由，则，，
则

3.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查向量投影定义的应用，同时考查向量投影的计算，属于基础题.

【解答】

解：，，
，
，
在上的投影向量为

4.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查分步乘法计数原理，属于基础题.

【解答】

解：，
的正因数为，
其中，1，2，3，4，，1，2，3，，其中每一个正因数都由若干个2，3，5相乘得到，故可以分三步完成，
第一步确定因数2的个数，有5种选择，第二步确定因数3的个数，有4种选择，第三步确定因数5的个数，有2种选择，
根据分步乘法计数原理得到2160的正因数共有个.

5.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题主要考查指数运算的应用，属于中档题.

【解答】

解：根据题意，第I期海水稀释效率为，
第II期海水稀释效率为，
第III期海水稀释效率为，
第，IV期海水稀释效率为，
由于k为正常数，可知最大，则第I期海水稀释效率最高.

6.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查了对数函数比较大小的问题，属于基础题.

【解答】

解：因为，，，所以

7.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查等差数列的性质，奇函数性质的应用，属于中档题.

【解答】

解：，
可令，则其是定义在R上的奇函数，
是公差为的等差数列，…
…，
，，
 

8.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题主要考查指对互化，指数函数的单调性等知识，属于中档题.

【解答】

解：由，可得，令，则，由显然为增函数可知，从而

9.【答案】BC 

【解析】

【分析】

本题考查抛物线的性质及与直线的相交的应用，题目较难．

【解答】

解：抛物线的焦点，准线方程为，故A错误；
设，
斜率存在时，设直线l的方程为，
代入整理得
则，

斜率不存在时，，
线段AB的长的最小值为4，故B正确；
直线OA的方程为，令，可得
设直线AB的方程为：，
联立方程，化为，
，，
直线DB平行于x轴，故C正确；

，故D错误.

10.【答案】BCD 

【解析】

【分析】

本题以命题的真假判断为载体考查了立体几何的综合应用，考查了空间几何体的外接球问题，线线垂直、几何体的体积与截面问题，考查了逻辑推理能力、空间想象能力与化简运算能力，属于较难题．

【解答】

解：由题意得PA，PE，PF两两垂直，所以可将三棱锥补成长方体

易知，，

对于A选项，

对于B选项，翻折前，，，

翻折后，则有，，，，PE，平面PEF，

平面PEF， 又平面APF，面面EPF
对于C选项，平面PEF， 又平面PEF， ，

同理可得，三棱锥中的三组对棱PA与EF，PE与FA，PF与AE相互垂直；
对于D选项，则三棱锥的外接球球心O为体对角线FQ的中点，

且，即球O的半径为，

所以，过点M的平面截三棱锥的外接球所得截面圆的半径设为r，

、M分别为FQ、AF的中点，则，
设球心O到截面圆的距离为d，则，

，则，

因此，过点M的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积的最小值为

11.【答案】BCD 

【解析】

【分析】

本题主要考查三角函数的单调性，奇偶性以及函数的极值点问题，属于较难题.

【解答】

解：对于A，若，则，由知，，
此时在区间上不单调，A错误；
对于B，将函数的图象向左平移个单位得到曲线，
，若曲线C对应的函数为偶函数，则，
，又，所以最小值为，B正确；
对于C，由题意可知，令，要使函数在区间上恰有三个极值点，那么在区间上恰有三个零点，故，
解得，C正确；
对于D，关于x的方程在上有两个不同的解，可知
在上有两个不同的解，则，得，D正确.

12.【答案】ACD 

【解析】

【分析】

本题考查函数转化、求值、性质以及方程有解问题，属难题.

【解答】

解：，则的图象关于点中心对称，A正确；
函数与的图象关系无法判断，B错误；
根据题意，对任意实数x都有，
若，有，变形可得，
若，有，又由为偶函数，即，变形可得；
若，有，变形可得，
若，有，变形可得，
则，C正确；
得，
所以，得，
这说明方程有实数解.
若，则x无解，所以不可能是，D正确.

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查二项展开式的特定项的系数，属于基础题.

【解答】

解：由题意得其二项展开式的通项；
由得，
展开式中含项的系数是

14.【答案】写出4，5，6中任何一个 

【解析】

【分析】

本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题.

【解答】

解：由题意可知，圆心到直线的距离，又圆上恰有2个点到直线距离为2，则需，当r为正整数时，写出4，5，6中任何一个即可.

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了导数的几何意义，利用导数确定函数的单调区间，函数的最值，属于中档题.

【解答】

解：设过点的直线为，，设切点为，

则 ，得有三个解，

令，，

当，得，，得或，

所以在，单调递减，单调递增，

又，，有三个解，

得，即

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线中的定值问题，属于综合题.

【解答】

解：设，又直线PQ的斜率一定存在，可设，则，，，

，

要使得为常数，则，可得或，故

17.【答案】解：由题可知成公差为1的等差数列，
又，即，从而；

令，
则，
两式相减，可知，即  .

【解析】本题主要考查等差数列，等比数列的通项公式，利用错位相减法求数列前n项和，属于基础题.
 

18.【答案】解：易知，可知；

由锐角三角形知可得，从而

【解析】本题主要考查了二倍角，正弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.
 

19.【答案】证明：如图，取BC中点M

由为正三角形   

且 为平行四边形 

  面       

由可知二面角的平面角即，作，面面 面面面面    面

以O为原点，为z轴，OA为x轴，平行于MB为y轴，则，，，，，故，
可知，设面法向量，
则，即，取，

由平面DAB平分四面体的体积可知D为中点，即，，设BD与面所成线面角为，从而

方法如图，平面DAB平分四面体的体积，

为的中点，，

设与交于点N，则N为的中点，

，由知，为的二面角的平面角，

，为正三角形，，
又面 ， 面，面
平面，，在中，，

；，设点D到平面的距离为h，

由得：，，

设BD与平面所成的角为，则  

【解析】本题考查直线与平面所成角的向量求法，直线与平面所成的角，二面角，线面垂直的性质，面面垂直的判定及性质，截面问题，几何体的体积问题等，属于综合题.
 

20.【答案】解：设事件 C为“一天中甲员工午餐和晚餐都选择 A餐厅就餐”，事件 D为“乙员工午餐和晚餐都选择 B餐厅就餐”因为100个工作日中甲员工午餐和晚餐都选择 A餐厅就餐的天数为30，乙员工午餐和晚餐都选择 B餐厅就餐的天数为40，所以，
由题意知，甲员工午餐和晚餐都选择 B餐厅就餐的概率为，
乙员工午餐和晚餐都选择 A餐厅就餐的概率为，
记 X为甲、乙两员工在一天中就餐餐厅的个数，则 X的所有可能取值为1、2，
所以，，
所以 X的分布列为：

所以 X的数学期望  
由题知，即，即，

即，

即，即，

即

【解析】本题考查离散型随机变量的分布列和均值、古典概型及其计算、条件概率的概念与计算，属于中档题．
 

21.【答案】解：由可得：，即，

即，

当且仅当取得

设，代入可得：，

可得，，

设可得：，同理

从而，

即，即，从而直线AB过定点

【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用以及定点问题，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用，难度比较大．
 

22.【答案】解：易知，

当时，，在上递减；

当时，有正根，且易知当时，递增，当时，递减；

综上所述：当时，在上递减；
当时，在上递增，在上递减;

由题知：，不妨设，令，则，令，则，易知在上递增，上递减，，故，即在递减，从而，即，令，即在递减，在上恒成立，可知，
又有，故

【解析】本题考查利用导数研究函数的性质，研究恒成立问题，属于综合题.