2022年天津市高考数学试卷（Word解析版）

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2022年天津市高考数学试卷

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共9小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 设全集，集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. “为整数”是“为整数”的条件(    )

A. 充分不必要 B. 必要不充分
C. 充分必要 D. 既不充分也不必要

3. 函数的图像为(    )

A.  B.
C.  D.

4. 为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据单位：的分组区间为，，，，，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有人，第三组中没有疗效的有人，则第三组中有疗效的人数为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 化简的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知抛物线，，分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点，若，则双曲线的标准方程为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为，腰为的等腰三角形，则该几何体的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 已知，关于该函数有下列四个说法：
   的最小正周期为；
   在上单调递增；
   当时，的取值范围为；
   的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
   以上四个说法中，正确的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

10. 已知是虚数单位，化简的结果为______．
11. 的展开式中的常数项为______ ．
12. 若直线与圆相交所得的弦长为，则______．
13. 张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到的概率为______；已知第一次抽到的是，则第二次抽取的概率为______．
14. 在中，，，是中点，，试用，表示为______，若，则的最大值为______．
15. 设，对任意实数，记若至少有个零点，则实数的取值范围为______．

三、解答题（本大题共5小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 在中，角，，所对的边分别为，，已知，，．
    求的值；
    求的值；
    求的值．
17. 直三棱柱中，，，，为中点，为中点，为中点．
    求证：平面；
    求直线与平面的正弦值；
    求平面与平面夹角的余弦值．

18. 设是等差数列，是等比数列，且．
    求与的通项公式；
    设的前项和为，求证：；
    求．
19. 椭圆的右焦点为、右顶点为，上顶点为，且满足．
    求椭圆的离心率；
    直线与椭圆有唯一公共点，与轴相交于异于记为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程．
20. 已知，，函数，．
    求函数在处的切线方程；
    若和有公共点．
    (ⅰ)当时，求的取值范围；
    (ⅱ)求证：．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：全集，集合，，
则．
故选：．
直接利用集合的补集与交集的运算法则求解即可．
本题考查集合的交集，补集的运算法则的应用，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：为整数时，也是整数，充分性成立；
为整数时，不一定是整数，如时，所以必要性不成立，是充分不必要条件．
故选：．
分别判断充分性和必要性是否成立即可．
本题考查了充分必要条件的判断问题，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：函数的定义域为，
，
该函数为奇函数，故A错误；
时，，；，；，，
故BC错误，D正确．
故选：．
根据函数奇偶性和特殊点，即可判断．
本题考查函数图象，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：志愿者的总人数为，
第组的人数为，
有疗效的人数为人．
故选：．
结合已知条件和频率分布直方图求出志愿者的总人数，进而求出第三组的总人数，由此能求出结果．
本题考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为是定义域上的单调增函数，所以，即；
因为是定义域上的单调减函数，所以，且，所以；
因为是定义域上的单调增函数，所以，即；
所以．
故选：．
根据指数函数和对数函数的图象与性质，判断．
本题考查了根据指数函数和对数函数的图象与性质判断函数值大小的应用问题，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：


．
故选：．
利用对数的换底公式计算即可．
本题考查了对数的换底公式应用问题，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意可得抛物线的准线为，又抛物线的准线过双曲线的左焦点，
，联立，可得，又，
，
，，，
又，
，
，，
双曲线的标准方程为．
故选：．
先由抛物线方程的其准线方程，从而得双曲线的半焦距，再联立抛物线准线方程与双曲线的渐近线方程解得，接着由，可得，从而得，最后再通过建立方程即可求解．
本题考查抛物线的性质与双曲线的性质，方程思想，属基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：该几何体由直三棱柱及直三棱柱组成，作于，如图，
因为，，所以，，
因为重叠后的底面为正方形，所以，
在直棱柱中，平面，则，
由可得平面，
设重叠后的与交点为，
则，，
则该几何体的体积为．
故选：．
作出几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积．
本题主要考查棱柱的结构特征和体积公式，考查了学生的直观想象能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于，它的最小正周期为，故错误；
在，，函数单调递增，故正确；
当时，，的取值范围为，故错误；
的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，故错误，
故选：．
由题意，利用正弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：的展开式的通项是
要求展开式中的常数项只要使得，即
常数项是，
故答案为：
先写出二项式的展开式的通项，整理出最简形式，根据要求展开式的常数项，只要使得变量的指数等于，求出的值，代入系数求出结果．
本题考查二项式定理，本题解题的关键是写出展开式的通项，这是解决二项式定理有关题目的通法，本题是一个基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：圆心到直线的距离，
又直线与圆相交所得的弦长为，
，
，
解得．
故答案为：．
先求出圆心到直线的距离，再根据圆中的弦长公式建立方程，最后解方程即可得解．
本题考查直线与圆相交的弦长问题，点到直线的距离公式，方程思想，属基础题．
 

13.【答案】  

【解析】解：由题意，设第一次抽到的事件为，第二次抽到的事件为，
则，，
，
故答案为：；．
由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到的概率，再由条件概率的公式即可求得在第一次抽到的条件下，第二次抽到的概率．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了条件概率公式，属于基础题．
 

14.【答案】  

【解析】解：中，，，是中点，，如图：
．
，，
，即，
即，即，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为，故C的最大值为，
即的最大值为，
故答案为：；．
由题意，利用两个向量加减法及其几何意义，两个向量的数量积公式，基本不等式，求出的最小值，可得的最大值．
本题主要考查两个向量加减法及其几何意义，两个向量的数量积公式，基本不等式的应用，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：设，，由可得．
要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，
则，
解得或．
当时，，作出函数、的图象如下图所示：

此时函数只有两个零点，不合乎题意；
当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
所以，，解得；
当时，，作出函数、的图象如下图所示：

由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；
当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
可得，解得，此时．
综上所述，实数的取值范围是．
故答案为：．
设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围．
本题考查了函数的零点、转化思想、分类讨论思想及数形结合思想，属于中难题．
 

16.【答案】解因为，，，
由余弦定理可得，
解得：；
，，所以，
由，可得，
由正弦定理可得，即，
可得，
所以；
因为，，
所以，，
，可得，
所以，
所以的值为． 

【解析】由余弦定理及题中条件可得边的值；
由正弦定理可得的值，再由及正弦定理可得的值；
求出及角的正余弦值，由两角差的正弦公式可得的正弦值．
本题考查正余弦定理及两角差的正弦公式的应用，属于基础题．
 

17.【答案】解：证明：取的中点，连接，，
又为中点，为中点，为中点，
，，
又平面，平面，
平面，
同理可得，平面，
又，
平面平面，
平面，
在直三棱柱中，，则可建立如图所示的空间直角坐标系，、
又，为中点，为中点，为中点．
故B，，，，，
则，，，
设是平面的法向量，则有：，，即，令，则，，
所以，
设直线与平面的夹角为，则，
，则，，
设平面的法向量为，则有，，
即，令，则，，故，
设平面与平面的夹角为，
所以． 

【解析】利用中位线可证，建立空间直角坐标系设是平面的法向量，平面的法向量为，可解．
本题考查了利用空间向量求线面角以及二面角的大小，属于较难题．
 

18.【答案】解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
，
，，
解得，
，．
证明：，
要证明，
即证明，
即证明，
即证明，
由数列的通项公式和前项和的关系得：，
．

，

，
设．
则，
，
，得：


，
，
． 

【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由，可得，，解得，，即可得出．
由等比数列的性质及通项公式与前项和的关系结合分析法能证明；
先求出，利用并项求和，结合错位相减法能求出结果．
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
 

19.【答案】解：，，
，
，，
；
由可知椭圆为，
即，
设直线：，联立，消去可得：
，又直线与椭圆只有一个公共点，
，，
又，，
又，，
解得，，
又的面积为，
，，
又，，，，
椭圆的标准方程为． 

【解析】根据建立，的等式，再转化为，的等式，从而得离心率的值；
先由将椭圆方程转化为，再设直线为，联立椭圆方程求出点的坐标，再由及，且的面积为建立方程组，再解方程组即可得解．
本题考椭圆的性质，直线与椭圆相切的位置关系，方程思想，属中档题．
 

20.【答案】解：，，
，，
函数在处的切线方程为；
，，又和有公共点，
方程有解，
即有解，显然，
在上有解，
设，，
，
当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，且当时，；当时，，
，
的范围为；
(ⅱ)证明：令交点的横坐标为，则，
由柯西不等式可得
，
又易证时，，，，
，
故． 

【解析】利用导数的几何意义及直线的斜截式方程即可求解；
将和有公共点转化为在上有解，再构造函数，，接着利用导数求出的值域，从而得的取值范围；
(ⅱ)令交点的横坐标为，则，再利用柯西不等式及结论：时，，，放缩即可证明．
本题考查导数的几何意义及直线的斜截式方程，将方程有解转化为函数值域，柯西不等式，常见不等式的结论，属中档题．