福建省厦门双十中学2021-2022学年高一上学期入学考试数学（答案解析）

厦门双十中学2021级高一入学考试

数学试题参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

说明：第9题答案不唯一；第10题漏扣2分；第13题写出一边得2分；第15和16题对1个得1分，全部答对得5分

三、解答题：本大题共6小题，共70分.

17．（本小题满分10分）

解：（1）∵抛物线与轴交于点   ∴   ∴；

       ∵   ∴；

又点在轴的负半轴上   ∴；

∵抛物线经过点和点，

∴，解得；

∴这条抛物线的表达式为；          ------------------------------3分

由，得顶点的坐标是；

联结，∵点的坐标是，点的坐标是，

又，；

∴；               ---------------------------------6分

（2）过点作，垂足为点；

∵，   ∴；

在Rt中，，，；

∴；在Rt中，，；

∵    ∴，得    ∴点的坐标为；----10分

18．（本小题满分10分）

（1）不存在，                ------------------1分

理由如下：∵一元二次方程有两个实数根，

∴△=4a2－4（a－6）•a≥0，且a-6≠0，解得，a≥0，且a≠6    ------------------3分

由根与系数的关系可知，；

从而由条件，解之得：，因，故不合题意，舍去

∴不存在实数a，使。                  ------------------6分

（说明：如求得值没有判断，答案为：存在，则得3分）

（2）∵，

                                   ------------------8分

∴当为负整数时，a－6＞0，且a－6是6的约数。

∴a－6=6，a－6=3，a－6=2，a－6=1。∴a=12，9，8，7。

∴使为负整数的实数a的整数值有12，9，8，7。  ------------------10分

19．（本小题满分10分）

∴四边形EFDG是菱形．------------------------------3分

(2)连接ED交AF于点H，

  ∵四边形EFDG是菱形，

-------------------------------6分

∵AG=6，EG=2，EG2=，∴（2）2=

∴Rt∆ADF∽Rt∆DCE

[-------------------------

                                         ----------------------------------------10分

20．（本小题满分10分）

解：（1）根据函数的对称性可得m=0，故答案为：0；-----------------------------1分

（2）如图所示；                                 -----------------------------2分

（3）由函数图象知：①函数y=x2﹣2|x|的图象关于y轴对称；②当x＞1时，y随x的增大而增大；（符合题意即可）                    ---------------------------4分

（4）①由函数图象知：函数图象与x轴有3个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|=0有3个实数根；                                --------------------------------6分

②如图，∵y=x2﹣2|x|的图象与直线y=2有两个交点，

∴x2﹣2|x|=2有2个实数根；        --------------------------------7分

③由函数图象知：∵关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个实数根，

∴a的取值范围是﹣1＜a＜0，      -----------------------10分

21．（本小题满分15分）

解：,

其对称轴为直线,                                   ----------------------2分

①当 即时，,解得…………………5分

②当即时, 消去得，,

解得或,舍去。                                …………………8分

③当 即时，

解得或，舍去。                              …………………11分

④当 即时，解得     …………14分

综上所述或                            …………15分

22．（本小题满分15分）

解：（1）由题意知：AC+BC=CD，

∴3+2=CD，

∴CD=3，；                                    ------------------------------------2分

（2）连接AC、BD、AD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=∠ACB=90°，

∵，

∴AD=BD，

将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，如图③，

∴∠EAD=∠DBC，

∵∠DBC+∠DAC=180°，

∴∠EAD+∠DAC=180°，

∴E、A、C三点共线，

∵AB=13，BC=12，

∴由勾股定理可求得：AC=5，

∵BC=AE，

∴CE=AE+AC=17，

∵∠EDA=∠CDB，

∴∠EDA+∠ADC=∠CDB+∠ADC，

即∠EDC=∠ADB=90°，

∵CD=ED，

∴△EDC是等腰直角三角形，

∴CE=CD，

∴CD=；                              --------------------------------------4分

（3）以AB为直径作⊙O，连接OD并延长交⊙O于点D1，

连接D1A，D1B，D1C，如图④

由（2）的证明过程可知：AC+BC=D1C，

∴D1C=，

又∵D1D是⊙O的直径，

∴∠DCD1=90°，

∵AC=m，BC=n，

∴由勾股定理可求得：AB2=m2+n2，

∴D1D2=AB2=m2+n2，

∵D1C2+CD2=D1D2，

∴CD=m2+n2﹣=，

∵m＜n，

∴CD=；                       -----------------------------------------7分

（3）当点E在直线AC的左侧时，如图⑤，

连接CQ，PC，

∵AC=BC，∠ACB=90°，

点P是AB的中点，

∴AP=CP，∠APC=90°，

又∵CA=CE，点Q是AE的中点，

∴∠CQA=90°，

设AC=a，

∵AE=AC，∴AE=a，∴AQ=AE=，

由勾股定理可求得：CQ=a，

由（2）的证明过程可知：AQ+CQ=PQ，

∴PQ=a+a，

∴PQ=AC；                      ----------------------------------------11分

当点E在直线AC的右侧时，如图⑥，

连接CQ、CP，

同理可知：∠AQC=∠APC=90°，

设AC=a，

∴AQ=AE=，

由勾股定理可求得：CQ=a，

由（3）的结论可知：PQ=（CQ﹣AQ），

∴PQ=AC．                         ------------------------------15分

综上所述，线段PQ与AC的数量关系是PQ=AC或PQ=AC．