2021学年5.4 函数的奇偶性当堂检测题

5.4　函数的奇偶性

基础过关练　　　　　　　　　　　　　　　　

题组一　函数奇偶性的概念及图象特征

1.对于定义域是R的任意奇函数f(x),下列结论正确的是(　　)

A.f(x)-f(-x)>0

B.f(x)-f(-x)≤0

C.f(x)·f(-x)≤0

D.f(x)·f(-x)>0

2.(多选)下列说法中正确的有(　　)

A.图象关于原点成中心对称的函数一定是奇函数

B.奇函数的图象一定经过原点

C.若偶函数的图象不经过原点,则它与x轴交点的个数一定是偶数

D.图象关于y轴成轴对称的函数一定是偶函数

3.(2021江苏南通期中)函数f(x)=的大致图象是(　　)

题组二　函数奇偶性的判断

4.(2021江苏苏州外国语学校月考)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为(　　)

A.y=x2　　　　　　　　B.y=x5+1

C.y=　　　　　　　　D.y=x3

5.若函数f(x)=则f(x)(　　)

A.是偶函数

B.是奇函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.既不是奇函数又不是偶函数

6.判断下列函数的奇偶性:

(1)f(x)=;

(2)f(x)=+;

(3)f(x)=;

(4)f(x)=

题组三　函数奇偶性的应用

7.(2022江苏启东中学期中)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上单调递增,则(　　)

A.f(-3)<f(3)<f(4)           B.f(-3)<f(4)<f(3)

C.f(3)<f(4)<f(-3)           D.f(4)<f(3)<f(-3)

8.(2021江苏南通海门中学月考)若函数f(x)=为奇函数,则a=(　　)

A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.1

9.(2021山东寿光一中月考)设偶函数f(x)的定义域为[-5,5],当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集是(　　)

A.(2,5)　　　　　　　　      B.(-5,-2)∪(2,5)

C.(-2,0)∪(2,5)　　　　　　　　D.(-5,0)∪(2,5)

10.(多选)(2022江苏扬州期中)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,下列说法正确的是(　　)

A.f(0)=0

B.若f(x)在[1,+∞)上为增函数,则f(x)在(-∞,-1]上为减函数

C.若f(x)在[0,+∞)上有最小值-1,则f(x)在(-∞,0]上有最大值1

D.若x>0,f(x)=,则f(x)的值域为(-1,0)∪(0,1)

11.(2021四川宁南中学月考)已知定义域为R的函数g(x)=f(2x)+x2为奇函数,且f(2)=3,则f(-2)=　　　　. 

12.(2022江苏张家港期中)若函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x(1+x)-2,则当x<0时,f(x)=　　　　,若f(m+1)<f(2-m),则实数m的取值范围是　　　　. 

13.(2021江苏徐州六县期中)已知函数f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数,满足f(1)=,当-2<x≤0时,有f(x)=.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)判断f(x)的单调性,并利用定义证明;

(3)解不等式f(2x-1)+f(x)<0.

能力提升练　　　　　　　　　　　　　　　　

题组一　函数奇偶性的图象与判断

1.(2022江苏苏州第一中学期中)函数f(x)=的图象可能是(　　)

2.(2020黑龙江哈三中阶段性验收)下列函数是偶函数的是(　　)

A.f(x)=x3-                  B.f(x)=

C.f(x)=(x-1)             D.f(x)=|2x+5|+|2x-5|

3.(多选)(2021山东省实验中学期中)设函数f(x)的定义域为(-1,1),且满足①x∈(-1,0)时, f(x)>0;②f(x)+f(y)=f ,x,y∈(-1,1).下列说法正确的是(　　)

A.f(x)是奇函数

B.f(x)是偶函数

C.f(x)在定义域上是减函数

D.f(x)在定义域上是增函数

题组二　函数奇偶性的综合应用

4.(2020江苏常州期中)若函数f(x)=(x-3)·(ax-b)为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,则f(2-x)>0的解集为(　　)

A.{x|-2<x<2}　　　　　　　　B.{x|x>5或x<-1}

C.{x|0<x<4}　　　　　　　　D.{x|x>4或x<0}

5.(2020江苏苏州木渎高级中学期末)已知函数f(x+1)是偶函数,当x1,x2∈(1,+∞)时,[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)>0恒成立,设a=f,b=f(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系为(　　)

A.b<a<c　　　　　B.c<b<a　　　　　C.b<c<a　　　　　D.a<b<c

6.(多选)(2021江苏苏州外国语学校检测)已知函数y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称,且对y=f(x),x∈R,当x1,x2∈(-∞,0]时,<0成立,若f(2ax)<f(2x2+1)对任意的x∈R恒成立,则a的可能取值为(　　)

A.-　　　　　B.-1　　　　　C.1　　　　　D.

7.(多选)(2020江苏如皋第一中学期中)函数f(x)对任意x,y∈R,总有f(x+y)=f(x)+f(y),当x<0时,f(x)<0,f(1)=,则下列命题正确的是(　　)

A.f(x)是R上的减函数

B.f(x)在[-6,6]上的最小值为-2

C.f(x)是奇函数

D.若f(x)+f(x-3)≥-1,则实数x的取值范围为[0,+∞)

8.已知函数f(x)的定义域为R,f(x+1)是奇函数,f(x-2)是偶函数,则f(-5)=　　　　. 

9.(2020江苏海安高级中学期中)设函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-ax,x∈[-2,2]为偶函数,则实数a的值为　　　. 

10.(2021北京人大附中期中)奇函数f(x)的定义域为(-1,1), f(x)在第一象限的图象是圆心在原点,半径为1的圆弧,如图所示,则不等式f(x)<x的解集为　　　　. 

11.(2020北京西城期末)已知函数f(x)=.

(1)证明:f(x)为偶函数;

(2)用定义证明:f(x)是(1,+∞)上的减函数;

(3)当x∈[-4,-2]时,求f(x)的值域.

12. (2021北京交大附中期中)已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数),

x∈R.

(1)若f(-1)=0,且函数f(x)的值域为[0,+∞),求f(x)的解析式;

(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围;

(3)若f(x)为偶函数,且a>0,设F(x)=mn<0,m+n>0,判断F(m)+F(n)是否大于零,请说明理由.

答案全解全析

基础过关练

1.C　显然A,B不正确.对任意奇函数f(x),有f(-x)=-f(x),则f(x)·f(-x)=-[f(x)]2≤0,故C正确,D不正确.

2.ACD　由奇、偶函数的图象特征易知A,C,D正确.故选ACD.

3.D　函数f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,且f(-x)=f(x),所以f(x)=是偶函数,故排除A,B,C,故选D.

4.D　y=x2是偶函数,故A错误;

y=x5+1既不是奇函数又不是偶函数,故B错误;

y=在(-∞,0),(0,+∞)上是减函数,故C错误;

y=x3既是奇函数又是增函数,故D正确.故选D.

5.B　 作出函数f(x)的图象,如图所示,可以看出该图象关于原点对称,故f(x)为奇函数.

6.解析　(1)f(x)=的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点对称,

∴f(x)=既不是奇函数又不是偶函数.

(2)依题意得x2-1≥0且1-x2≥0,则x2-1=0,解得x=±1,∴函数f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,且f(x)=0,

∴f(-x)=-f(x), f(-x)=f(x),

∴f(x)既是奇函数又是偶函数.

(3)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,

∴f(x)既不是奇函数又不是偶函数.

(4)易知函数f(x)的定义域D=(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.任取x∈D,

当x>0时,-x<0,∴f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x);

当x<0时,-x>0,∴f(-x)=-x(1-x)=-f(x).∴函数f(x)为奇函数.

7.B　由题意得f(0)=0,f(4)=-f(0)=0,f(3)=-f(-1)=f(1),因为f(x)在[0,2]上单调递增,所以f(3)=f(1)>f(0)=f(4)=0,

因为f(x)是奇函数,所以f(-3)=-f(3)<0,

所以f(-3)<f(4)<f(3).故选B.

8.A　∵函数f(x)为奇函数,

∴f(-x)=-f(x),

∴,

∴(-2x+1)(-x-a)=(2x+1)(x-a),

∴(2a-1)x=0,

∴a=.故选A.

9.B　由题图知,当x∈[0,5]时,不等式f(x)<0的解集是(2,5),又f(x)为偶函数,所以当x∈[-5,0)时,不等式f(x)<0的解集是(-5,-2),所以f(x)<0的解集是(-5,-2)∪(2,5).故选B.

10.AC　∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),令x=0,得f(0)=0,故A正确;

由奇函数的图象在关于原点对称的区间上单调性相同知B错误,C正确;

x>0时, f(x)=∈(0,1),∵f(x)是奇函数,

∴x<0时, f(x)∈(-1,0),又∵f(0)=0,∴f(x)的值域为(-1,1),故D错误.故选AC.

11.答案　-5

解析　令x=1,则g(1)=f(2)+1=3+1=4,

∵g(x)是奇函数,∴g(-1)=-g(1)=-4,

令x=-1,则g(-1)=f(-2)+1,

∴f(-2)=-4-1=-5.

12.答案　x(x-1)-2;

解析　∵f(x)是定义在R上的偶函数,∴f(x)=f(-x),当x<0时,-x>0,则f(-x)=-x(1-x)-2=x(x-1)-2,即f(x)=x(x-1)-2.

当x≥0时,f(x)=x(1+x)-2=x2+x-2,此时函数f(x)单调递增,

由f(m+1)<f(2-m)可得f(|m+1|)<f(|2-m|),

∴|m+1|<|2-m|,∴m2+2m+1<m2-4m+4,即6m<3,解得m<

.

13.解析　(1)因为函数f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数,所以f(0)=0,即=0,解得b=0.

因为f(1)=,所以a=1,

所以当-2<x≤0时, f(x)=.

当x∈[0,2)时,-x∈(-2,0],

则f(x)=-f(-x)=-.

综上所述, f(x)=(-2<x<2).

(2)函数f(x)在(-2,2)上为增函数.证明如下:

任取x1,x2∈(-2,2),且x1<x2,

则f(x1)-f(x2)====,

因为-2<x1<x2<2,所以x2-x1>0,x1x2-4<0,

所以<0,即f(x1)<f(x2),

故f(x)=在(-2,2)上为增函数.

(3)因为函数f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数,

所以f(2x-1)+f(x)<0等价于f(x)<-f(2x-1)=f(1-2x),

由(2)知f(x)=在(-2,2)上为增函数,

则,

故原不等式的解集为.

能力提升练

1.B　由题意得2|x|-2≠0,解得x≠±1,故函数f(x)的定义域为{x|x≠±1},

f(-x)==f(x),所以f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,排除C,D,当0<x<1时,x2>0,2|x|-2<0,此时f(x)<0,排除A.故选B.

2.D　A中,f(x)=x3-的定义域为{x|x≠0},关于原点对称, 且f(-x)=-x3+(-1≤x≤1,x≠0),且f(-x)==-f(x),所以f(x)是奇函数;C中,f(x)=(x-1)·的定义域为{x|-1≤x<1},不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数又不是偶函数;D中,f(x)=|2x+5|+|2x-5|(x∈R),且f(-x)=|-2x+5|+|-2x-5|=|2x+5|+|2x-5|=f(x),所以f(x)是偶函数,故选D.

3.AC　令x=y=0,则f(0)+f(0)=f(0),所以f(0)=0,令y=-x,则f(x)+f(-x)=f(0)=0,

又因为x∈(-1,1),关于原点对称,

所以f(x)为奇函数,故A正确,B错误;

任取x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f,

因为-1<x1<x2<0,所以x1-x2<0,0<x1x2<1,1+x1>0,1-x2>0,所以1-x1x2>0,所以<0,

因为>0,

所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),

所以f(x)在(-1,0)上单调递减,

因为f(x)为奇函数,所以f(x)在(-1,1)上单调递减,故C正确,D错误.故选AC.

4.B　∵f(x)=(x-3)(ax-b)=ax2-(3a+b)x+3b为偶函数,

∴f(-x)=ax2+(3a+b)x+3b=ax2-(3a+b)x+3b=f(x),

∴3a+b=0,即b=-3a,

∴f(x)=(x-3)(ax+3a)=a(x-3)(x+3)=ax2-9a,

∵f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴a>0,

∵f(2-x)=a(-x-1)(5-x)>0,

∴(x+1)(x-5)>0,解得x<-1或x>5,

∴不等式的解集为{x|x<-1或x>5}.故选B.

5.A　因为x1,x2∈(1,+∞),[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)>0恒成立,

所以函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增.

由于函数f(x+1)是偶函数,

所以函数f(x+1)的图象关于y轴对称,

所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,

所以a=f.

因为2<<f(3),即b<a<c,故选A.

6.BC　因为函数y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称,所以函数y=f(x)的图象关于直线x=0(即y轴)对称,所以函数f(x)是偶函数.

又当x1,x2∈(-∞,0]时,<0成立,所以函数f(x)在(-∞,0]上是减函数,所以函数f(x)在[0,+∞)上是增函数.

因为f(2ax)<f(2x2+1)对任意的x∈R恒成立,

所以|2ax|<|2x2+1|对任意的x∈R恒成立.

当x=0时,不等式化为0<1,恒成立;

当x≠0时,不等式化为|a|<,

又≥2.

故选BC.

7.BCD　令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0,令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x),即-f(x)=f(-x),易知f(x)的定义域为R,关于原点对称,所以函数f(x)是奇函数,C正确;任取x1,x2∈R,且x1<x2,则x1-x2<0,因为当x<0时,f(x)<0,所以f(x1-x2)<0,则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以函数f(x)是R上的增函数,A错误;因为函数f(x)是R上的增函数,所以函数f(x)在[-6,6]上的最小值为f(-6),易得f(-6)=f(-3)+f(-3)=2f(-3)=-2f(3),f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=3×=1,故f(-6)=-2,所以f(x)在[-6,6]上的最小值为-2,B正确;由f(x)+f(x-3)≥-1,得f(2x-3)≥f(-3),因为函数f(x)是R上的增函数,所以2x-3≥-3,解得x≥0,故实数x的取值范围为[0,+∞),D正确.故选BCD.

8.答案　0

解析　由题意可知f(1-x)=-f(x+1),f(-x-2)=f(x-2),则f(1)=-f(1),可得f(1)=0,所以f(x)=-f[1-(x-1)]=-f(2-x),f(2-x)=f(4-x-2)=f[-(4-x)-2]=f(x-6),所以f(x)=-f(x-6),故f(-5)=-f(1)=0.

9.答案　

解析　∵函数g(x)=f(x)-ax,x∈[-2,2]为偶函数,

∴g(2)=g(-2),

∴f(2)-2a=f(-2)+2a,

∴1-2a=-1+2a,

∴a=.

当a=x

=

检验,当x∈(0,2]时,-x∈[-2,0),

g(-x)=-1-x=g(x),满足g(x)为偶函数.

10.答案　∪

解析　因为奇函数f(x)的定义域为(-1,1),且f(x)在第一象限的图象是圆心在原点,半径为1的圆弧,所以函数f(x)的图象如图所示,

当f(x)=x时,解得x=,

由图知,不等式f(x)<x的解集为-,0∪.

故答案为∪.

11.解析　(1)证明:函数f(x)的定义域是{x|x∈R,且x≠±1},关于原点对称,任取x∈{x|x∈R,且x≠±1},

都有f(-x)==f(x),

∴f(x)是偶函数.

(2)证明:当x>1时, f(x)=,任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,

则f(x1)-f(x2)=,

∵1<x1<x2,

∴x1-1>0,x2-1>0,x2-x1>0,

∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),

∴f(x)在(1,+∞)上是减函数.

 (3)由(1)(2)知函数f(x)在[-4,-2]上是增函数,

∴f(x)min=f(-4)=,

f(x)max=f(-2)==1,

∴所求值域为.

12.解析　(1)由f(-1)=0可得a-b+1=0,

又函数的值域为[0,+∞),

所以

所以a=1,b=2,

故函数f(x)的解析式为f(x)=x2+2x+1.

(2)由(1)可得g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)·x+1,

其图象开口向上,对称轴为直线x=,

因为函数g(x)在区间[-2,2]上单调,

所以≤-2或≥2,

解得k≤-2或k≥6,

故k的取值范围为(-∞,-2]∪[6,+∞).

(3)F(m)+F(n)大于零,理由如下:

因为f(x)是偶函数,

所以f(x)=ax2+1,

则F(x)=

不妨设m>n,则n<0,m>0,又a>0,

所以F(m)+F(n)=f(m)-f(n)=(am2+1)-(an2+1)=a(m2-n2)=a(m+n)(m-n)>0,

故F(m)+F(n)大于零.