陕西省汉中市某校2022-2023学年高三上学期第三次质量检测理科数学试题（含答案）

陕西省汉中市某校2022-2023学年高三上学期第三次质量检测

理科数学

一、单选题（共60分）

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 在复平面内，复数的对应点为，则（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 若偶函数满足且时，，则方程的根的个数是（    ）

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 多于4个

4. 公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（）与它的直径（）的立方成正比”，此即，欧几里得未给出的值.17世纪日本数学家们对球的体积的方法还不了解，他们将体积公式中的常数称为“立圆率”或“玉积率”.类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱），正方体也可利用公式求体积（在等边圆柱中，表示底面圆的直径；在正方体中，表示棱长）.假设运用此体积公式求得球（直径为），等边圆柱（底面圆的直径为），正方体（棱长为）的“玉积率”分别为、、，那么（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 设函数在上为增函数，在上是减函数，则的可能取值为（    ）

A. ， B.  C. ， D.

6. 已知且，若，则（    ）

A.  B. 或1 C. 1 D. 或－7

7. 设两个独立事件，都不发生的概率为.则与都发生的概率值可能为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 若，满足条件，则目标函数的最小值是（    ）

A.  B. 2 C. 4 D.

9. 设等差数列的前项和为，且满足，，对任意正整数，都有，则的值为（    ）

A. 1009 B. 1010 C. 1011 D. 1012

10. 如图，已知，是双曲线：的上、下焦点，直线且与双曲线交于，两点，若是正三角形且点是的内心，则双曲线的离心率是（    ）

A.  B.  C.  D.

11. 设，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 如图，在棱长为1的正方体中，是上的动点，则下列说法不正确的是（    ）

A. 直线与是异面直线

B. 平面

C. 的最小值是2

D. 当与重合时，三棱锥的外接球半径为

二、填空题（共20分）

13. 已知非零向量，满足，且，则和的夹角为_________.

14. 的展开式中的常数项为_________.

15. 如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点，测得塔顶的仰角为，由向塔前进30米后到点，测得塔顶的仰角为，再由向塔前进米后到点后，测得塔顶的仰角为，则塔高为_________米.

16. 若关于的不等式对一切正实数恒成立，则实数的取值范围是_________.

三、解答题（共70分）

（一）必考题：共60分.

17.（本题12分）某研究机构为了研究华为公司由于技术创新对订单产生的影响，调查了技术创新前、后华为及其它公司在欧洲的订单情况，结果如下：

（1）是否有95%的把握认为华为公司技术创新影响了华为在欧洲的订单？

（2）现从技术创新前、后华为在欧洲的订单数中，采用分层抽样的方法抽取5个进行调查，若从抽得的5个订单中随机抽取2个进行调查结果的比较，求这2个订单中恰好有一个是技术创新后的订单的概率.

附：，其中.

18.（本题12分）已知公比大于1的等比数列满足，.

（1）求的通项公式；

（2）求.

19.（本题12分）已知抛物线：的焦点为，斜率为的直线与的交点为，，与轴的交点为.

（1）若，求的方程；

（2）若，求.

20.（本题12分）已知是圆的直径，且长为4，是圆上异于、的一点，点到，，的距离均为.设二面角与二面角的大小分别为，.

（1）求的值；

（2）若，求二面角的余弦值.

21.（本题12分）已知函数，.

（1）当时，求曲线与的公切线方程；

（2）若有两个极值点，，且，求实数的取值范围.

（二）选考题：10分.请考生在22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）求曲线的极坐标方程和直线的直角坐标方程；

（2）设射线与直线交于点，点在曲线上，且，求.

23.【选修4-5：不等式选讲】已知函数，.

（1）当时，解不等式；

（2）若正数，，，满足，，求的最大值.

第三次质量检测数学参数答案

13．135°      14．31       15．15        16．

11．设，

当时，在上单调递减，

，即，，所以；

设，

 当时，在上单调递减，

，即，，所以，

所以.故选：A.

12．C   C选项，延长到，使得，连接，

在上取点，使得，则，有.

故.过点作，交于点，

在中，因为，所以，又，

所以，，，，

所以的最小值为，故选项C错误；

16解：设，则对一切正实数恒成立，即，

由，令，则恒成立，

所以在上为增函数，

当时，，当时，，

则在上，存在使得，

当时，，当时，，

故函数在上单调递减，在，上单调递增，

所以函数在处取得最小值为，

因为，即，

所以恒成立，即，

又，当且仅当，即时取等号，

故，所以．

故选：C．

17．（1）有的把握认为华为公司技术创新影响了华为在欧洲的订单；（2）.

（1）由题意知，，

所以有的把握认为华为公司技术创新影响了华为在欧洲的订单.

（2）由题意知，从技术创新前､后的订单数中应分别抽取的订单数为2个和3个.

将来自技术创新前的订单分别记作，来自技术创新后的订单分别记作.

则从这5个订单中抽取2个订单的所有结果有，，共10种，

其中恰有一个是来自技术后的订单的结果有，共6种，

故所求概率.

19．（1）；（2）

（1） 设等比数列的公比为q（q>1），则，

整理可得：，，数列的通项公式为：.

（2）由于：，故：

.

20．（1）；（2）.

（1）设直线方程为：，，

由抛物线焦半径公式可知：   

联立得：则   

，解得：

直线的方程为：，即：

（2）设，则可设直线方程为：

联立得：

则    ，

        ，   

则

21．（1）；（2）．

（1）连结，．因为，为的中点，所以．

因为是圆上异于，的一点，是圆的直径，所以，从而．

又因为，，所以，所以，即．

因为平面，，所以平面．分别取，的中点，，

连接，，，，则在圆中，．由平面，得．

又，故平面，所以．所以．同理，．

于是．

（2）因为，所以．

在圆中，，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系．

则，，．又因为平面，所以轴，从而．

则，，．设平面的法向量为，

则，即，不妨取，则，，此时．

同理，平面的一个法向量．

所以．又二面角为钝二面角，

所以二面角的余弦值为．

22．（1）；（2）

解：（1）时，，

设曲线上的切点为，则切线方程为，

设曲线上的切点为，则切线方程为

由两条切线重合得 ，则 ，所以，公切线方程为；

（2），，设其零点为，，

，，令，可得，则

令，，

又令，，则单调递减，

，，单调递减，

，易知， ，

令，，则在上递增，

23．（1），；（2）2.

（1）曲线的普通方程，所以极坐标方程为.

由，得，

即所以直线的直角坐标方程为.

（2）由得

射线的极坐标方程为，即.由得，

为等边三角形，

24．（1）；（2）.

（1）当时，，即，

当时，，即恒成立，故，

当时，，即，解得：，

当时，，不成立，不等式无解，

综上，不等式的解集是.

（2）由题意得：，

且，

，

．

，b，c，d都是正数，

当且仅当，时取“”，

的最大值是