湖北省重点高中智学联盟2022-2023学年高三数学上学期10月联考试卷（Word版附解析）

湖北省重点高中智学联盟2022年秋季高三年级10月联考

数学试题

一、单项选择题

1. 已知集合， 若， 则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】讨论m的取值，写出A，使其满足条件即可.

【详解】时， ， ，，所以 即；

时， ， ，不可能；

时， ，，不可能.

故选：C .

2. 已知向量、满足，，，则（    ）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

【答案】B

【解析】

【分析】利用，即可得到结果.

【详解】∵，∴，

又，，

∴，即，

解得.

故选：B

3. 在中，已知，则的形状一定是（    ）

A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形

【答案】B

【解析】

【分析】根据正弦定理，结合同角的三角函数关系式、二倍角的正弦公式、正弦型函数的性质进行求解即可.

【详解】根据正弦定理，由

，

因为，所以，

所以有，或，或，

当时，有，此时有，

即，所以此时该三角形是等腰直角三角形；

当时，即，所以此时三角形是直角三角形；

当时，即，不符合三角形内角和定理，舍去，

综上所述：的形状一定是直角三角形，

故选：B

4. 已知函数在定义域上是单调增函数，则实数a的取值范围为（    ）

A. 0<a<1 B. 3<a<6

C. 1<a≤4 D. 1<a≤2

【答案】C

【解析】

【分析】根据绝对值函数和对数函数的单调性进行求解即可.

【详解】∵函数在定义域上是单调增函数，

∴，解得1<a≤4，

∴实数a的取值范围为（1，4]，

故选：C．

5. 已知三边､､上的高分别为､､，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

设面积为，分别将三角形的边用表示，利用余弦定理得出．

【详解】设面积为，，，，

则，

故选：C.

6. 5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至2000，则大约增加了（    ）

A. 10% B. 30% C. 50% D. 100%

【答案】A

【解析】

【分析】根据香农公式，分别写出信噪比为1000和2000时的传递速率为和，两者相比，再根据对数运算即可估计得答案.

【详解】当时，

当时，

则

又，根据选项分析，

所以信噪比从1000提升至2000，则大约增加了10%.

故选：A.

【点睛】本题考查知识的迁移应用，考查对数的运算，是中档题.

7. 设函数在内恰有3个零点，则的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先令，求得或，再根据题意尝试的值可确定，进而得到的4个零点，结合题意排除其中1个零点有两种情况，分别求之即可得到的取值范围.

【详解】∵，即，

∴或，，

∴或，，

∵，即，

∴当时，且，即所有根都小于零，

当时，且，即所有根都大于，

综上：，即在内的三个零点为，，，中的三个.

由于上述4个值是依次从小到大排列，且，

故有两种情况，分别：

，解得，故，

或，解得，故，

故或，即.

故选：D．

8. 直线与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右三个交点的横坐标依次是、、，则下列关系式正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先用转化法判断两条曲线的交点个数，再利用导数的性质画出两个函数图象，最后利用数形结合思想进行求解即可.

【详解】当时，则有，

设函数，则，

当时，单调递增，当时，单调递减，

而，而，

如下图所示：

因此曲线的交点只有一个，

因此曲线和只有一个交点，

,

当时，单调递增，当时，单调递减，

且当时，，且，图象如下图所示，

，

当时，单调递增，当时，单调递减，

且当时，，当时，，图象如下图所示，

当直线经过曲线和唯一的公共点时，直线与两条曲线恰好有三个不同的交点，如上图所示，

则有，且，①

对上式同构可得：，

∵，且函数在单调递增，∴，②

又∵，，且函数在上单调递减，

∴③

由方程②③可得：，再结合方程①可得：．

故选：D

【点睛】关键点睛：用转化法判断曲线、的交点个数是解题的关键.

二、多项选择题

9. 已知，，则（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 的最小值为5 D. 若向量与向量的夹角为钝角，则

【答案】BC

【解析】

【分析】A：两向量平行，成数乘关系，坐标成比例；

B：两向量垂直，数量积为零；

C：当两向量同向时，它们差的模最小；

D：两向量夹角为钝角时，数量积为负且夹角不能为18°.

【详解】由，得，A不正确；

由，得，，B正确；

，当时，取得最小值5，C正确；

当时，即，得，当与反向时，，故若向量与向量夹角为钝角，则，或，D不正确.

故选：BC.

10. 下列命题正确的是（    ）

A. 直线是曲线的一条切线

B. 在中，“”是“”的充要条件

C. 命题“，”的否定为“，”

D. ，

【答案】BCD

【解析】

【分析】A选项，求导，设出切点，利用直线斜率列出方程，求出切点坐标，进而求出切线方程；

B选项，结合正弦定理，先证明充分性，再证明必要性；

C选项，全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，再把结论否定；

D选项，利用诱导公式进行求解.

【详解】定义域为，

，设切点为，

令，解得：或（舍去），

所以切点坐标为，

所以切线方程为，

所以不是曲线的切线，A错误；

在中，，则由大角对大边得，

由正弦定理得：，

因为，所以，充分性成立，

在中，，

由正弦定理得：，

所以，由大边对大角可知：，必要性成立，

故B正确；

命题“，”的否定为“，”，C正确；

由诱导公式可得，，D正确.

故选：BCD

11. 已知函数，以下结论不正确的是（    ）

A. 是函数的一个周期

B. 函数在上单调递减

C. 函数的值域为

D. 函数在内有6个零点

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据判断选项A错误；对于B，当将化简，然后检验即可；对于C，求出函数在一个周期的值域，先求当，再求当的值域即可判断；对于D，根据函数为偶函数，可通过区间上零点个数从而确定其零点个数.

【详解】对于A：因为，

所以，

，

因为，

所以不是函数的一个周期，

即选项A错误；

对于B：当时，

，

其中，，

不妨设为锐角，则，

因为，所以，

因为，所以函数在无单调性，

即选项B错误；

对于C：因为是函数的一个周期，

可取一个周期上研究值域，当，

，

其中，，

不妨设为锐角，则，

则，

所以，

即；

又因为是偶函数，

所以当时，，

故函数在上的值域为，

故选项C正确；

对于D：当，令，

得，即，只有1个解；

当，令，

得，即，只有1个解；

所以在上有2个零点，

又因为函数为偶函数，

所以在区间内有4个零点，即选项D错误.

故选：ABD．

12. 函数（k为常数）的图象可能是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】先判断函数零点的个数，再求导函数，根据导函数判断原函数的单调性，从而逐一判断选项.

【详解】显然有唯一零点，故D错误；

，，

∴在上单减，上单增，

∴，且时，时，

故当时，，单增，选项A可能；

当时，存在两个零点，在和上单增，上单减，选项B可能；

当时，存在唯一零点，在上单增，在上单减，

选项C可能．

故选: ABC.

【点睛】关键点睛：函数图像的判断关键在求出导函数，用极限思想判断导函数的符号，得出原函数的单调性.

三、填空题

13. 角的终边经过点，且，则的值为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据三角函数的定义列式，求得m,再根据正切函数的定义即可求得答案.

【详解】由题意角的终边经过点，且，可知 ，

则，

解得，所以，

故答案为：

14. 化简____________

【答案】2

【解析】

【分析】结合、换底公式化简计算即可

【详解】原式

.

故答案为：2.

15. 已知，则函数的值域为______．

【答案】

【解析】

【分析】将函数化简为，再结合双勾函数即可得出答案.

【详解】因为，所以，

，

令，

由双勾函数知，在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以，所以.

故答案为：.

16. 若函数在上存在唯一的零点，若函数在上存在唯一的零点，且，则实数的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】根据导数的性质，结合函数的零点定义进行求解即可.

【详解】由，

因为，所以，因此，所以单调递增，

故，因为在上存在唯一的零点，所以有；

由，

由函数的性质可知：当时，，函数单调递减，

当时，单调递增，

要想，只需，

综上所述：．

故答案为：

【点睛】关键点睛：利用导数性质，结合函数零点的定义是解题的关键.

四、解答题

17. 已知数列的前项和为，，数列满足，．

（1）求数列、的通项公式；

（2）若数列满足，求证：．

【答案】（1）；   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）利用与的关系可求出数列的通项公式；利用累加法可求出数列的通项公式；

（2）由（1）问结论求出，然后利用裂项相消求和法，求出的和即可证明原不等式.

【小问1详解】

解：由，得，

所以

又由，得，满足，所以，

而，所以，

所以；

【小问2详解】

证明：因为，

所以.

18. 如图，矩形所在平面与所在平面垂直，，．

（1）证明：平面；

（2）若平面与平面的夹角的余弦值是，且直线与平面所成角的正弦值是，求异面直线与所成角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）由矩形性质和平行关系可证得，，由线面垂直的判定可得结论；

（2）方法一：由面面垂直性质可证得平面，过点作，由线面角和面面角的定义可知，，由此可求得，由异面直线所成角的定义可知所求角为，由可求得所求余弦值；

方法二：以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，，利用线面角和面面角的向量求法可求得的值，利用异面直线所成角的向量求法可求得结果.

【小问1详解】

四边形为矩形，；

，即，又，，

，平面，平面.

【小问2详解】

方法一：平面平面，平面平面，，平面，平面，

则即为直线与平面所成的角，，

过点作，则平面平面，

由（1）可得：面，，，

平面与平面夹角为，，

又，，则，，

，，

又异面直线与所成的角为，，

即异面直线与所成角的余弦值为．

方法二：由（1）可得：，，，

以点为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

设，，则，，，，

，，，

面，平面的一个法向量；

设平面的法向量，

则，令，解得：，，；

，解得：；

平面，平面的一个法向量；

，解得：，

，，

，

即异面直线与所成角的余弦值为.

19. 年月日晩，中国女排在世锦赛小组赛第三轮比赛中，又一次以的比分酣畅淋漓地战胜了老对手日本女排，冲上了热搜榜第八位，令国人振奋！同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗？其规则是：每场比赛采用“局胜制”（即有一支球队先胜局即获胜，比赛结束）．比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以或取胜的球队积分，负队积分；以取胜的球队积分，负队积分．已知甲、乙两队比赛，甲队每局获胜的概率为．

（1）如果甲、乙两队比赛场，求甲队的积分的概率分布列和数学期望；

（2）如果甲、乙两队约定比赛场，求两队积分相等的概率．

【答案】（1）分布列答案见解析，   

（2）

【解析】

【分析】（1）分析可知随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值；

（2）设第场甲、乙两队积分分别为、，分析可得，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率.

【小问1详解】

解：随机变量的所有可能取值为、、、，

，，

，，

所以的分布列为

所以数学期望.

小问2详解】

解：记“甲、乙两队比赛两场后，两队积分相等”为事件，

设第场甲、乙两队积分分别为、，则，、，

因两队积分相等，所以，即，则，

所以

．

20. 已知向量，，设函数．

（1）求函数的最小正周期；

（2）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的角平分线交于点．若恰好为函数的最大值，且此时，求的最小值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先利用平面向量加法、数量积的坐标表示、二倍角公式、辅助角公式得到，再利用周期公式进行求解；

（2）先利用恰好为的最大值求得，利用正弦定理得到、和，再利用基本不等式进行求解.

【小问1详解】

∵，，

∴，

∴

则的最小正周期为；

【小问2详解】

由恰好为的最大值，

得，即，

∵，所以 ，则；

在中，由，得，

在中，由，可得，

∴；

在中，由，得

，

解得，，

，

∵，，

∴

，

（当且仅当，即时，等号成立）

故的最小值为．

21. 已知直线：与椭圆：相切于点，与直线：相交于点（异于点）．

（1）求点的坐标；

（2）直线交于点，两点，证明：．

【答案】（1）；   

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）通过解方程组进行求解即可；

（2）将直线方程与椭圆方程联立，结合椭圆弦长公式、相似三角形判定定理进行运算证明即可.

【小问1详解】

解：，消得：，解得：，故；

【小问2详解】

联立，解之得：

联立，消得：，

由题可得：，∴，．

，，

，

，

∴，又，∴．

【点睛】关键点睛：结合一元二次方程根与系数关系，运用椭圆的弦长公式是解题的关键.

22. 已知函数，．

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若任意，，求的取值范围．

【答案】（1）递减区间为；递增区间为   

（2）．

【解析】

【分析】（1）对求导，则在上单增，令，解得，即可求出函数的单调区间；

（2）方法一：设，转化为求，求，得出的单调性，即可得出答案.

方法二：，恒成立等价于恒成立．设，求，分类讨论，，，得出的单调性，即可得出答案.

【小问1详解】

，∵，∴在上单增，令，解得，

则当时，；当，时，．

∴的递减区间为；递增区间为

【小问2详解】

方法一：设，，，

，，，

令，

，，

①当即时，在上恒成立，

∴在上单增，，

在上单增，，

∴当时，不等式恒成立，符合题意

②当即时，由（1）可得：，

在上恒成立，又，∴在成立，

∴在单调递减，，

∴在单调递减，，

与恒成立矛盾，故不符合题意

③当时，此时，与恒成立矛盾，

综上，实数的取值范围是．

方法二：，恒成立等价于恒成立．

设，，，

①当即时，在恒成立，函数单调递减，

∴，满足题意；

②当且即且时，

若时，，函数单调递增，

∴时，，

与矛盾，不符合题意；

③当时，，显然不等式不恒成立，

与题意矛盾．

综上，实数的取值范围是．