(新高考)高三数学第三次模拟考试卷三(2份打包，解析版+原卷版，A3版)

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（新高考）高三第三次模拟考试卷数 学（三）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合，，则（    ）A．  B．C．  D．【答案】B【解析】依题意，，所以，因为，故，故选B．2．已知复数z满足，则z的虚部是（    ）A． B．1 C． D．i【答案】A【解析】设，因为，可得，则，可得，所以复数的虚部是，故选A．3．“”是“函数在上为增函数”的（    ）A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由可得，若在上为增函数，则在恒成立，即在恒成立，则，，则可得“”是“函数在上为增函数”的充分而不必要条件，故选A．4．函数的最大值是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】，因为，所以当时等号成立，所以函数的最大值是，故选C．5．垃圾分类，一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用．进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等几方面的效益．已知某种垃圾的分解率与时间（月）满足函数关系式（其中，为非零常数）．若经过12个月，这种垃圾的分解率为，经过24个月，这种垃圾的分解率为，那么这种垃圾完全分解（分解率为）至少需要经过（    ）（参考数据）A．120个月 B．64个月 C．52个月 D．48个月【答案】C【解析】依题设有，解得，，故．令，得，故，故选C．6．如图，是的直径，点、是半圆弧上的两个三等分点，，，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】连接、、，如图．由于点、是半圆弧上的两个三等分点，则，，则、均为等边三角形，，，，同理可知，所以，四边形为平行四边形，所以，，故选D．7．已知函数，且）的图象恒过定点，若点在椭圆上，则的最小值为（    ）A．12 B．10 C．8 D．9【答案】D【解析】由于函数，且）向右平移两个单位得，且），即为函数，且），所以定点，由于点在椭圆，所以，且，，所以，当且仅当，即，时取等号，故选D．8．，，，，五个人站成一排，则和分别站在的两边（可以相邻也可以不相邻）的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】和分别站在的两边，则只能在中间3个位置，分类说明：（1）若站在左2位置，从，选一个排在左侧，剩余的3个人排在右侧，故有种排法；（2）若站在3位置，从，选一个，从，选一个排在左侧，并排列，剩余的2个人排在右侧，故有种排法；（3）若站在右2位置，排法与（1）相同，即有12种排法；所以和分别站在的两边的排法总共有种排法；，，，，五个人站成一排有种排法，故和分别站在的两边的概率，故选B． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（    ）A．  B．C．是数列中的最大值 D．数列无最大值【答案】AB【解析】当时，，不成立；当时，，，不成立；故，且，，故，A正确；，故B正确；是数列中的最大值，C、D错误，故选AB．10．在中，如下判断正确的是（    ）A．若，则为等腰三角形B．若，则C．若为锐角三角形，则D．若，则【答案】BCD【解析】选项A．在中，若，则或，所以或，所以为等腰或直角三角形，故A不正确；选项B．在中，若，则，由正弦定理可得，即，故B正确；选项C．若为锐角三角形，则，所以，所以，故C正确；选项D．在中，若，由正弦定理可得，即，所以，故D正确，故选BCD．11．在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线与交于，两点，则（    ）A．的方程为 B．的离心率为C．的渐近线与圆相切 D．满足的直线有2条【答案】CD【解析】令，由题意得，即得，∴A错误；又，，即，故B错误，由E的渐近线为，而圆心为，半径为1，∴到距离为，故的渐近线与圆相切，故C正确；联立曲线E与直线的方程，整理得，，∴，，而，代入整理，即有或(由与无交点，舍去)，故，∴D正确，故选CD．12．已知函数，若函数有6个不同零点，则实数的可能取值是（    ）A．0 B． C． D．【答案】BD【解析】画出函数的图象：函数有零点，即方程有根的问题．对于A：当时，，故，，故，，，，故方程有4个不等实根；对于B：当时，，故，，，当时，由图象可知，有1个根，当时，由图象可知，有2个根，当时，由图象可知，有3个根，故方程有6个不等实根；对于C：当时，，故，，，当时，由图象可知，有2个根，当时，由图象可知，有2个根，当时，由图象可知，有3个根，故方程有7个不等实根；对于D：当时，，故，，，当时，由图象可知，有1个根，当时，由图象可知，有2个根，当时，由图象可知，有3个根，故方程有6个不等实根，故选BD．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．给出下列说法：①回归直线恒过样本点的中心；②两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1；③某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变；④在回归直线方程中，当变量x增加一个单位时，平均减少个单位．其中说法正确的是__________．【答案】①②④【解析】对于①中，回归直线恒过样本点的中心，所以正确；对于②中，根据相关系数的意义，可得两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1，所以是正确的；对于③中，根据平均数的计算公式可得，根据方差的计算公式，所以是不正确的；对于④中，根据回归系数的含义，可得在回归直线方程中，当解释变量增加一个单位时，预报变量平均减少个单位，所以是正确的，故答案为①②④．14．若，则被4除得的余数为__________．【答案】1【解析】由题知，时，①，时，②，由①+②，得，故，所以被4除得的余数是1，故答案为1．15．有以下四个条件：①的定义域是，且其图象是一条连续不断的曲线；②是偶函数；③在上不是单调函数；④恰有两个零点．若函数同时满足条件②④，请写出它的一个解析式_____________；若函数同时满足条件①②③④，请写出它的一个解析式_____________．【答案】（答案不唯一），（答案不唯一）【解析】根据条件②④可得（答案不唯一），根据函数同时满足条件①②③④，可得（答案不唯一）．故答案为（答案不唯一），（答案不唯一）．16．设函数的定义域为，若对任意，存在，使得，则称函数具有性质，给出下列四个结论：①函数不具有性质；②函数具有性质；③若函数，具有性质，则；④若函数具有性质，则．其中，正确结论的序号是________．【答案】①③【解析】依题意，函数的定义域为，若对任意，存在，使得，则称函数具有性质．①函数，定义域是R，当时，显然不存在，使得，故不具备性质，故①正确；②是单调增函数，定义域是R，，当且仅当时等号成立，即值域为．对任意的，，要使得，则需，而不存在，使，故不具备性质，故②错误；③函数在上是单调增函数，定义域是，其值域为．要使得其具有性质，则对任意的，，总存在，，即，即，即，故，即，故，故③正确；④若函数具有性质，定义域是R，使得，一方面函数值不可能为零，也即对任意的恒成立，而，故或，在此条件下，另一方面，的值域是值域的子集．的值域为；的值域为，要满足题意，只需，，时，，即；时，，即，故，即，即，即，故．故④错误，故答案为①③． 四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在①，；②，，两个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．已知数列为等差数列，数列为等比数列，数列前项和为，数列前项和为，，，______．（1）求，的通项公式；（2）求数列的前项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1），；（2）．【解析】选择①：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由，，，，得，解得，所以，．（2）记；（1）又，（2）（1）（2），得，所以，所以，所以．选择②：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且．由，，，，得，解得，所以，．（2）记；（1）又，（2）（1）（2），得，所以，所以，所以．18．（12分）的内角，，的对边分别是，，，且．（1）求角的大小；（2）若，为边上一点，，且___________，求的面积．(从①为的平分线，②为的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答)【答案】（1）；（2）选择①：；选择②：．【解析】（1）因为，所以，即得，，则有，又因为，所以．（2）选择条件①为的平分线，因为为的平分线，所以，又因为，所以，即，又根据余弦定理得，即，则有，即，解得或(舍)，所以．选择②为的中点，则，，，则有，可得，又根据余弦定理得，解得，则．19．（12分）在年的新冠肺炎疫情影响下，国内国际经济形势呈现出前所未有的格局．某企业统计了年前个月份企业的利润，如下表所示：月份企业的利润（万元）（1）根据所给的数据建立该企业所获得的利润（万元）关于月份的回归直线方程，并预测年月份该企业所获得的利润；（2）企业产品的质量是企业的生命，该企业为了生产优质的产品投放市场，对于生产的每一件产品必须要经过四个环节的质量检查，若每个环节中出现不合格产品立即进行修复，且每个环节是相互独立的，前三个环节中生产的产品合格的概率为，每个环节中不合格产品所需要的修复费用均为元，第四个环节中产品合格的概率为，不合格产品需要的修复费用为元，设每件产品修复的费用为元，写出的分布列，并求出每件产品需要修复的平均费用．参考公式：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，，为样本数据的平均值．【答案】（1），万元；（2）分布列见解析，修复的平均费用为元．【解析】（1）由表格数据知，，，由回归直线经过样本点的中心可知：，，则回归直线方程为，预测年月份该企业所获得的利润为（万元）．（2）根据题意知所有可能取值为，，，，，，，，；；；；；；；，的分布列为：，即每件产品需要修复的平均费用为元．20．（12分）图1是由正方形，，组成的一个等腰梯形，其中，将、分别沿折起使得E与F重合，如图2．（1）设平面平面，证明：；（2）若二面角的余弦值为，求长．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）因为，平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以．（2）因为，，所以，又，，平面，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，过E作于点O，则O是的中点，因为平面平面，平面，所以平面，以O为原点，与平行的直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，，，设平面的法向量为，则，即，取，则，所以平面的一个法向量；，，设平面的法向量为，则，即，取，则，同理可求得平面的一个法向量为，所以，解得或，当时，，二面角的平面角为钝角，舍去，所以，此时，，所以．21．（12分）已知函数，其中实数．（1）讨论的单调性；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1），当时，，故在上单调递减；当时，令，解得．即在区间上单调递减，在区间上单调递增．（2）当时，，则．下证：当时，不等式在上恒成立即可．当时，要证，即，又因为，即只需证．令，，令，则，解得．故在区间上单调递减，在区间上单调递增，，，故．因此存在，使得．故在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．，，故成立．综上，的取值范围为．22．（12分）已知椭圆的左焦点为F，过F的直线与椭圆在第一象限交于M点，O为坐标原点，三角形的面积为．（1）求椭圆的方程；（2）若的三个顶点A，B，C都在椭圆上，且O为的重心，判断的面积是否为定值，并说明理由．【答案】（1）；（2）是定值，理由见解析．【解析】（1）直线过左焦点F，则有，所以且右焦点，又，得，代入直线方程有，所以．∴为直角三角形且，由椭圆定义，知，即，∴椭圆的方程为．（2）当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，若，则，∵O为的重心，可知，代入椭圆方程，得，，即有，A到BC的距离为，∴；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，由，得，显然，∴，，则，∵O为的重心，可知，由A在椭圆上，得，化简得，∴，由重心的性质知：A到直线的距离d等于O到直线距离的3倍，即，∴，综上得，的面积为定值．