(新高考)高考数学二轮复习讲义03《等差数列与等比数列》(解析版)

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03 等差数列与等比数列

核心考点
读高考设问知考法
命题解读
等差(比)数列的基本运算
【2017新课标1理4】记为等差数列的前项和，若，，则的公差为（ ）
1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.
2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力．
【2020新课标2文14】记为等差数列的前n项和．若，则________．
【2019新课标3文6理5】已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则( )
【2019新课标1理14】记为等比数列的前n项和．若，则_________．
等差(比)数列的性质
【2020新课标1文10】设是等比数列，且，，则（ ）
【2020新课标2理4】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
【2020新高考全国14】将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前n项和为________．
等差(比)数列的判断与证明
【2019新课标2理19】已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，
4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4.
(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；
(2)求{an}和{bn}的通项公式.
【2017新课标1文17】记为等比数列的前项和，已知．（1）求的通项公式； （2）求，并判断，，成等差数列．
等差数列与等比数列的综合问题
【2020新高考全国卷18】已知公比大于的等比数列满足：．（1）求的通项公式；
（2）【全国Ι卷】记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．
（2）【全国Ⅱ卷】求.

核心考点一 等差(比)数列的基本运算
1.等差数列
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d；
(2)求和公式：Sn＝＝na1＋d；
2.等比数列
(1)通项公式：an＝a1qn－1(q≠0)；
(2)求和公式：q＝1，Sn＝na1；q≠1，Sn＝＝；

1.【2017新课标1理4】记为等差数列的前项和，若，，则的公差为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【解析】设公差为，，，联立解得，故选C.
2.【2019新课标3文6理5】已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则( )
A. 16 B. 8 C. 4 D. 2
【答案】C
【解析】设正数的等比数列{an}的公比为，则，解得，
，故选C．
3.【2020新课标2文14】记为等差数列的前n项和．若，则__________．
【答案】25
【解析】设等差数列的公差，可得，即，解得，，故答案为．
4．【2019新课标1理14】记为等比数列的前n项和．若，则____________．
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，由已知，所以，又，所以，所以．

1.设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1等于(　　)
A．－2 B．－1 C. D.
【答案】B
【解析】S4－S2＝a3＋a4＝3a4－3a2，即3a2＋a3－2a4＝0，即3a2＋a2q－2a2q2＝0，即2q2－q－3＝0，解得
q＝－1(舍)或q＝，当q＝时，代入S2＝3a2＋2，得a1＋a1q＝3a1q＋2，解得a1＝－1.故选B．
2.已知等差数列{an}的公差为2，a2，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝(　　)
A.n(n－2) B.n(n－1)
C.n(n＋1) D.n(n＋2)
【答案】A
【解析】依题意a＝a2·a6，得(a1＋4)2＝(a1＋2)(a1＋10).解得a1＝－1.因此Sn＝na1＋×2＝n2－2n.
3.(2019·北京卷)设{an}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列.
（1）求{an}的通项公式；
（2）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值.
【解析】（1）设{an}的公差为d.因为a1＝－10，
所以a2＝－10＋d，a3＝－10＋2d，a4＝－10＋3d.
因为a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列，
所以(a3＋8)2＝(a2＋10)(a4＋6).
所以(－2＋2d)2＝d(－4＋3d).
解得d＝2.
所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－12.
（2）法一：由（1）知，an＝2n－12.
则当n≥7时，an>0；当n＝6时，an＝0；当n0，知Sn＋1>0，∴Sn＋1－2Sn－λ＝0，
故Sn＋1＝2Sn＋λ.
(2)由(1)知，Sn＋1＝2Sn＋λ，
当n≥2时，Sn＝2Sn－1＋λ，
两式相减，an＋1＝2an(n≥2，n∈N*)，
所以数列{an}从第二项起成等比数列，且公比q＝2.
又S2＝2S1＋λ，即a2＋a1＝2a1＋λ，
∴a2＝a1＋λ＝1＋λ>0，得λ>－1.
因此an＝
若数列{an}是等比数列，则a2＝1＋λ＝2a1＝2.
∴λ＝1，经验证得λ＝1时，数列{an}是等比数列.
核心考点四 等差数列与等比数列的综合问题

1.【2020新高考全国18】已知公比大于的等比数列满足：．
（1）求的通项公式；
（2）【全国Ι卷】记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．
（2）【全国Ⅱ卷】求.
【解析】（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，
依题意有，解得，所以，所以数列的通项公式为．
（2）【全国Ι卷】由于，所以
对应的区间为，则；
对应的区间分别为，则，即有个；
对应的区间分别为，则，即有个；
对应的区间分别为，则，即有个；
对应的区间分别为，则，即有个；
对应的区间分别为，则，即有个；
对应的区间分别为，则，即有个．
所以．
(2) 【全国Ⅱ卷】由于，
故
．

1.已知等差数列{an}的公差为－1，且a2＋a7＋a12＝－6.
(1)求数列{an}的通项公式an与其前n项和Sn；
(2)将数列{an}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前3项，记{bn}的前n项和为Tn，若存在m∈N*，使得对任意n∈N*，总有Sn