(新高考)高考数学二轮复习分层练习13《函数图象与性质》（解析版）

这是一份(新高考)高考数学二轮复习分层练习13《函数图象与性质》（解析版），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
13 函数图象与性质A组 考点专练一、选择题1.设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝(　　)A.e－x－1    B.e－x＋1C.－e－x－1    D.－e－x＋1【答案】D【解析】设x＜0，则－x＞0，∴f(－x)＝e－x－1，又f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝1－e－x.2.已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　)A.－50   B.0   C.2   D.50【答案】C【解析】法一　∵f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x)＝－f(x－1)，∴f(4＋x)＝f(x)，∴f(x)是周期函数，且一个周期为4，又f(0)＝0，知f(2)＝f(0)，f(4)＝f(0)＝0，由f(1)＝2，知f(－1)＝－2，则f(3)＝f(－1)＝－2，从而f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(50)＝12×0＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2，故选C.法二　由题意可设f(x)＝2sin，作出f(x)的部分图象如图所示.由图可知，f(x)的一个周期为4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.3.函数f(x)＝在上的图象大致为(　　)【答案】C【解析】根据题意，有f(－x)＝－＝－f(x)，且定义域关于原点对称，则在上f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除A，B；又在区间上，x＞0，cos x＞0，2x＞0，2－x＞0，则f(x)＞0，排除D，只有C适合.4.(多选题)函数f(x)＝则关于函数f(x)的说法正确的是(　　)A.定义域为R    B.值域为(－3，＋∞)C.在R上为增函数   D.只有一个零点【答案】ACD【解析】f(x)＝∴f(x)的定义域为R，值域为(－3，e－3)∪[0，＋∞)，且e－3＜0，∴f(x)在R上为增函数，且f(1)＝0，∴f(x)只有一个零点.故ACD正确，B不正确.4.已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为(　　)A.a＜b＜c    B.a＜c＜bC.c＜a＜b    D.c＜b＜a【答案】C【解析】由f(x)＝2|x－m|－1是偶函数可知m＝0，所以f(x)＝2|x|－1.所以a＝f(log0.53)＝2|log0.53|－1＝2log23－1＝2，b＝f(log25)＝2|log25|－1＝2log25－1＝4，c＝f(0)＝2|0|－1＝0，所以c<a<b.6.(多选题)已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数x，y满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋，且f＝0，当x>时，f(x)>0，则以下结论正确的是(　　)A.f(0)＝－，f(－1)＝－B.f(x)为R上的减函数C.f(x)＋为奇函数D.f(x)＋1为偶函数【答案】AC【解析】由已知，令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)＋，∴f(0)＝－，令x＝，y＝－，得f＝f＋f＋，∴f＝－1，再令x＝y＝－，得f＝f＋f＋，∴f(－1)＝－，A正确；取y＝－1，得f(x－1)＝f(x)＋f(－1)＋，∴f(x－1)－f(x)＝－1<0，即f(x－1)<f(x)，∵x－1<x，∴f(x)不是R上的减函数，B错误；令y＝－x，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＋，∴＋＝0，故C正确；令g(x)＝f(x)＋，由C可知g(x)为奇函数，∴g(－x)＋＝－g(x)＋，即＋＝－＋，∴f(－x)＋1＝－f(x)，故D错误.二、填空题7.已知f(x)＝ex＋eax是偶函数，则f(x)的最小值为________.【答案】2【解析】∵f(x)＝ex＋eax是偶函数，∴f(1)＝f(－1)，得e＋ea＝e－1＋e－a，则a＝－1.所以f(x)＝ex＋e－x≥2＝2.当且仅当x＝0时取等号.故函数f(x)的最小值为2.8.已知奇函数f(x)在x≥0时的图象如图所示，则不等式xf(x)＜0的解集为________.【答案】(－2，－1)∪(1，2)【解析】∵xf(x)＜0，∴x和f(x)异号，由于f(x)为奇函数，补齐函数的图象如图.当x∈(－2，－1)∪(0，1)∪(2，＋∞)时，f(x)＞0，当x∈(－∞，－2)∪(－1，0)∪(1，2)时，f(x)＜0，∴不等式xf(x)＜0的解集为(－2，－1)∪(1，2).9.已知函数f(x)＝，g(x)＝－ex－1－ln x＋a对任意的x1∈[1，3]，x2∈[1，3]恒有f(x1)≥g(x2)成立，则a的取值范围是________.【答案】【解析】f(x)＝＝(x＋1)＋－3.易知x∈[1，3]时，f′(x)＝1－>0，∴f(x)在[1，3]上是增函数，f(x)min＝f(1)＝－.又g(x)在[1，3]上是减函数，知g(x)max＝g(1)＝a－1.若恒有f(x1)≥g(x2)成立，则－≥a－1，∴a≤.三、解答题10.已知函数f(x)＝a－.(1)求f(0)；(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；(3)若f(x)为奇函数，解不等式f(ax)<f(2).【解析】(1)f(0)＝a－＝a－1.(2)f(x)在R上单调递增，证明如下：∵f(x)的定义域为R，∴任取x1，x2∈R且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝a－－a＋＝，∵y＝2x在R上单调递增且x1<x2，∴0<2x1<2x2，∴2x1－2x2<0，2x1＋1>0，2x2＋1>0.∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).∴f(x)在R上单调递增.(3)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即a－＝－a＋，解得a＝1(经检验符合题意).∴f(ax)<f(2)即为f(x)<f(2)，又∵f(x)在R上单调递增，∴x<2.∴不等式的解集为(－∞，2).B组  专题综合练11.已知函数f(x＋1)是定义在R上的偶函数，∀x1，x2∈[1，＋∞)，且x1≠x2，都有(x1－x2)·[f(x2)－f(x1)]＜0，则不等式f(－2x＋1＋1)＜f(5)的解集为________.【答案】(－∞，1)【解析】因为函数f(x＋1)是定义在R上的偶函数，所以f(x＋1)的图象关于y轴对称.因为f(x)的图象向左平移1个单位长度得到f(x＋1)的图象，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称.因为∀x1，x2∈[1，＋∞)，且x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]＜0，所以函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，由此可得函数f(x)在(－∞，1)上单调递减.因为f(－2x＋1＋1)＜f(5)，且f(5)＝f(－3)，－2x＋1＋1＜1，所以－2x＋1＋1＞－3，即2x＋1＜4，解得x＜1，所以所求不等式的解集为(－∞，1).12.已知函数f(x)＝x2－2ln x，h(x)＝x2－x＋a.(1)求函数f(x)的极值；(2)设函数k(x)＝f(x)－h(x)，若函数k(x)在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围.【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－＝0，得x＝1.当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在x＝1处取得极小值为1，无极大值.(2)k(x)＝f(x)－h(x)＝x－2ln x－a(x＞0)，所以k′(x)＝1－，令k′(x)＞0，得x＞2，所以k(x)在[1，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增，所以当x＝2时，函数k(x)取得最小值k(2)＝2－2ln 2－a.因为函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间[1，3]上恰有两个不同零点，即有k(x)在[1，2)和(2，3]内各有一个零点，所以即有解得2－2ln 2<a≤3－2ln 3.所以实数a的取值范围为(2－2ln 2，3－2ln 3].