(新高考)高考数学二轮复习分层练习01《三角函数的图像及性质》（解析版）

解密01  三角函数的图象与性质

A组 考点专练

一、选择题

1.函数y＝loga(x＋4)＋2(a＞0且a≠1)的图象恒过点A，且点A在角α的终边上，则sin2α等于(　　)

A.－   B.－   C.   D.

【答案】B

【解析】函数y＝loga(x＋4)＋2(a＞0且a≠1)的图象恒过点A(－3，2)，则sin α＝，

cos α＝－，所以sin 2α＝2sin αcos α＝－.故选B.

2.如图为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象，将其向左平移个单位长度后与函数g(x)的图象重合，则g(x)可以表示为(　　)

A.sinπx    B.－sinπx

C.sin2πx    D.－sin2πx

【答案】B

【解析】由图象知＝－＝1，∴T＝＝2，得ω＝π，由·ω＋φ＝π，得φ＝，∴f(x)＝sin，将f(x)的图象向左平移个单位长度后得g(x)＝sin＝－sin πx的图象，故g(x)可以表示为－sin πx.故选B.

3.函数f(x)＝的最小正周期为(　　)

A.   B.   C.π   D.2π

【答案】　C

【解析】f(x)＝＝＝＝sin xcos x＝sin 2x，所以f(x)的最小正周期

T＝＝π.故选C.

4.将函数f(x)＝2sin(3x＋φ)(0＜φ＜π)图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象关于直线x＝对称，则函数f(x)在上的值域是(　　)

A.[－1，2]    B.[－，2]

C.    D.[－，2]

【答案】　D

【解析】依题意，y＝f＝2sin的图象关于x＝对称.∴3×－＋φ＝kπ＋，φ＝kπ－，k∈Z.又0＜φ＜π，所以φ＝π，故f(x)＝2sin.当x∈时，≤3x＋π≤π.∴－≤2sin≤2，故f(x)在上的值域是[－，2].故选D.

5.(多选题)已知函数f(x)＝sin 2x＋sin，则(　　)

A.f(x)的最小正周期为π

B.曲线y＝f(x)关于点对称

C.f(x)的最大值为

D.曲线y＝f(x)关于直线x＝对称

【答案】　ACD

【解析】f(x)＝sin 2x＋sin 2x＋cos 2x

＝sin，则T＝π，f(x)的最大值为，曲线y＝f(x)关于直线x＝对称，但曲线y＝f(x)不关于点对称.故选ACD.

二、填空题

6.如图，以Ox为始边作角α(0＜α＜π)，终边与单位圆相交于点P，已知点P的坐标为，则＝________.

【答案】

【解析】由三角函数定义，得cos α＝－，sin α＝，

∴原式＝＝

＝2cos2α＝2×＝.

7.设函数f(x)＝cos(ω>0).若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________.

【答案】

【解析】由于对任意的实数都有f(x)≤f成立，故当x＝时，函数f(x)有最大值，故f＝1，－＝2kπ(k∈Z)，∴ω＝8k＋(k∈Z).又ω>0，∴ωmin＝.

8.已知函数f(x)＝sin(ω＞0)，若f(x)在上恰有两个零点，则ω的取值范围是________.

【答案】

【解析】∵0≤x≤，且ω＞0，∴≤ωx＋≤＋，又f(x)在区间上恰有两个零点，∴＋≥2π且＋＜3π.解之得≤ω＜4.

三、解答题

9.(2019·浙江卷)设函数f(x)＝sin x，x∈R.

(1)已知θ∈[0，2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值；

(2)求函数y＝＋的值域.

【解析】(1)因为f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函数，

所以，对任意实数x都有sin(x＋θ)＝sin(－x＋θ)，

即sin xcos θ＋cos xsin θ＝－sin xcos θ＋cos xsin θ，

故2sin xcos θ＝0，所以cos θ＝0.

又θ∈[0，2π)，因此θ＝或.

(2)y＝＋

＝sin2＋sin2

＝＋

＝1－＝1－cos.

由于x∈R，知cos∈[－1，1]，

因此，所求函数的值域为.

10.已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的图象向左平移个单位后与函数g(x)＝cos(2x＋φ)图象重合.

(1)求ω和φ的值；

(2)若函数h(x)＝f＋g，求h(x)的单调递增区间及图象的对称轴方程.

【解析】(1)由题意得ω＝2，所以f(x)＝sin，

则f＝sin＝cos.

∵|φ|＜，∴φ＝.

(2)h(x)＝f＋g＝sin＋cos＝sin，

令2x＋＝kπ＋，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，

∴h(x)图象的对称轴方程为x＝＋，k∈Z.

令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

所以h(x)的单调递增区间为，k∈Z.

B组  专题综合练

11.(2020·潍坊模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)是偶函数，将y＝f(x)的图象沿x轴向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为y＝g(x).已知y＝g(x)的图象相邻对称中心之间的距离为2π，则ω＝________.若y＝g(x)在其图象的某对称轴处对应的函数值为－2，则g(x)在[0，π]上的最大值为________.

【答案】　1　

【解析】因为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)是偶函数，所以f(0)＝A或f(0)＝－A，则sin φ＝±1.又0<φ<π，所以φ＝.所以f(x)＝Asin＝Acos ωx.又将y＝f(x)的图象沿x轴向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为y＝g(x)，所以g(x)＝Acos＝Acos.又y＝g(x)的图象相邻对称中心之间的距离2π，所以T＝4π＝，解得

ω＝1.又y＝g(x)在其图象的某对称轴对应的函数值为－2，而A>0，所以A＝2，所以g(x)＝2cos.

又x∈[0，π]，所以≤＋≤，所以当＋＝，即x＝0时，g(x)取得最大值g(0)＝.

12.已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x＋.

(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的值；

(2)若方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2，求cos(x1－x2)的值.

【解析】(1)f(x)＝cos xsin x－(2cos2x－1)

＝sin 2x－cos 2x＝sin.

当2x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝π＋kπ(k∈Z)时，函数f(x)取最大值，且最大值为1.

(2)令2x－＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，

所以函数f(x)图象的对称轴为x＝π＋(k∈Z)，

∴当x∈(0，π)时，对称轴为x＝π或x＝.

又方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2.

∴x1＋x2＝π(易证x1＋x2＝不合题意)，则x1＝π－x2，

∴cos(x1－x2)＝cos＝sin，

又f(x2)＝sin＝，

故cos(x1－x2)＝.