2023河南省豫北名校高二上学期10月教学质量检测数学含解析

豫北名校高二年级10月教学质量检测

数 学

全卷满分150 分，考试时间120 分钟

一、选择题：本大题共 12小题，每小题5 分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．经过点M（1，1）且斜率为的直线方程是（    ）

A． B． C． D．

2．双曲线的焦距为（    ）

A． 8 B．12 C．6 D．4

3．向量，，若，则（    ）

A．  B．， 

C．，  D．，

4．直线x+1=0的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．不存在

5．在平行六面体中，设，，，M，P分别是，的中点，则（    ）

A．  B．

C．  D．

6．已知直线与圆相交于A，B两点，且，则k=（    ）

A． B．0或 C． D．或0

7．阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的方程为（    ）

A．  B． C． D．

8．若直线与圆总有两个不同的交点，则实数b的取值范围是（    ）

A． B． C．或 D．或

9．如图，椭圆的左顶点为A，O为坐标原点，B、C两点在M上，若四边形OABC为平行四边形，且，则a的值为（    ）

A．  B． C．4 D．

10．若直线l过点，且与曲线有且只有一个公共点，则满足条件的直线有（    ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

11．设椭圆的左焦点为F，上下顶点分别为A、B，直线AF的斜率为，并交椭圆于另一点C，则直线BC的斜率为（    ）

A． B． C． D．

12．在圆幂定理中有一个切割线定理：如图1所示，QR为圆O的切线，R为切点，QCD为割线，则．如图2所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P是圆上的任意一点，过点作直线BT垂直AP于点T，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线方程是______．

14．直线与圆相交于A，B两点，则AB的最小值为______．

15．已知点，平面a经过原点O，且垂直于向量，则点A到平面a的距离为______．

16．设，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6，4），则的最大值为______．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

17．（本小题满分10分）

已知点，，，H是△ABC的垂心．

（1）求点C的坐标；

（2）求△ABC的外接圆的方程．

18．（本小题满分12分）

如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，，，M为EC的中点，．

（1）证明：平面AMD；

（2）求直线CF与平面AMD所成角的正弦值．

19．（本小题满分12分）

已知椭圆的离心率为，且过点．圆的圆心为M，M是椭圆上的动点，过原点O作圆两条斜率存在的切线，．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）记直线，的斜率分别为，，求的值．

20．（本小题满分12分）

如图，已知圆，点，直线．

（1）求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；

（2）若在直线OA上（O为坐标原点），存在定点B（不同于点A），满足：对于圆C上任意一点P，都有为一常数，求所有满足条件的点B的坐标．

21．（本小题满分12分）

已知椭圆的长轴长为6，椭圆短轴的端点是，，且以为直径的圆经过点M（2，0）．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点．试问x轴上是否存在定点P，使PM平分∠APB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

22．已知双曲线，过点D（2，0）的直线l与该双曲线的两支分别交于M，N两点，设，．

（1）若，点O为坐标原点，当时，求的值；

（2）设直线l与y轴交于点E，，，证明：为定值．