2020盐城大丰区新丰中学高一下学期期中考试数学试题含答案

大丰区新丰中学2019-2020学年度第二学期期中考试

高一数学试题

（试题满分：150分  考试时间：120分钟）        2020.05

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分．在每小题所给的A.B.C.D.四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑.

1.直线x -y +1 = 0 倾斜角的大小是（ ）

A．　　　B．　　　C．　　D．　 

2.点（1,2）到直线的距离为（          ）

A.1　　    B．2　　　  C．3　　   D．4　

3.已知满足tan(＋，则tan=（　　）

A．－　　　B．　　　C．2　　D． 2

4.已知直线与直线互相平行，则实数的值为（   ）

A．﹣3            B．           C．2              D．﹣3或2

5.已知 m, n 表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是(      )

A. 若 m // , n // ,则 m // n   B. 若 m ， mn ，则 n //

C. 若 m , n ，则 m n   D. 若 m // ， mn ，则 n

6.已知、β均为锐角，满足sinα＝，cosβ＝，则（ ）

A．　　　      B．　　      　C．　　          D．　 

7. 若圆心坐标为（2，-1）的圆被直线截得的弦长为，则圆的方程为（    ）

A．        B．

C．        D．

8.如果tan＝，那么cosα的值是 （      ）

A.    B.                  C.－      D.－

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共计20分．在每小题所给的A.B.C.D.四个选项中，有多项是正确的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑.

9.下列各式中，值为的是(　　)

A．sin 15°cos 15°      B．cos2－sin2

C.       D.

10.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点．有下列结论，其中正确的是(　　)

A．EF与BB1垂直

B．EF与平面BCC1B1垂直

C．EF与C1D所成的角为45°

D．EF∥平面A1B1C1D1

11.已知α，β是平面，m，n是直线.下列命题中正确的是                    （    ）

A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α B．若m∥α，α∩β=n，则m∥n

C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β D．若m⊥α，，则α⊥β

12.若圆x2＋y2＝r2(r>0)上恰有相异两点到直线4x－3y＋25＝0的距离等于1，则r可以取值(　　)

A.     B．5     C.     D．6

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．只要求写出最后结果，并将正确结果填写到答题卡相应位置．

13.求值：          

14.在正方体 ABCD -A1B1C1D1 中， M ， N 分别为棱 AD ， D1D 的中点，则异面直线MN 与AC 所成的角大小为                      ．

15.设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A，ω，φ为常数且A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，若（），则的值为　   　．

16.在平面直角坐标系中，点，，从直线上一点向圆引两条切线，切点分别为，则直线过定点，定点坐标为___________.

四、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本题满分10分）

已知点A(4，1)，B(﹣6，3)，C(3，0)．

（1）求△ABC中BC边上的高所在直线的方程；

（2）求过A，B，C三点的圆的方程．

18．（本题满分12分）

如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，BD交AC于点E，F

是线段PC中点，G为线段EC中点．

（1）求证：FG//平面PBD；

（2）求证：BD⊥FG．

19．（本题满分12分）

已知α∈，且sin ＋cos ＝.

(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－，β∈，求cos β的值．

20．（本题满分12分）

如图,在三棱锥中,平面⊥平面,,分别是,

的中点.

求证:(1)∥平面 (2)平面⊥平面.

21．（本题满分12分）

如图，OPQ是半径为2，圆心角为的扇形，点A在弧上（异于点P，Q），过点

A作AB⊥OP，AC⊥OQ，垂足分别为B，C，记∠AOB＝，四边形ACOB的面积为S．

（1）求S关于的函数关系式；

（2）当为何值时，S有最大值，并求出这个最大值．

22．（本题满分12分）

已知圆C经过A(﹣2，0)，B(1，)两点，且圆心C在直线l1：y＝x上．

（1）求圆C的方程；

（2）已知过点P(1，2)的直线l2与圆C相交截得的弦长为，求直线l2的方程；

（3）已知点M(1，1)，在平面内是否存在异于点M的定点N，对于圆C上的任意动

点Q，都有为定值?若存在求出定点N的坐标，若不存在说明理由．

2019-2020学年度第二学期期中考试

高一年级数学答案

命题人   

（试题满分：150分  考试时间：120分钟）        2020.05

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分．在每小题所给的A.B.C.D.四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑.

1.直线x -y +1 = 0 倾斜角的大小是（B）

A．　　　B．　　　C．　　D．　 

2.点（1,2）到直线的距离为（ B ）

A.1　　    B．2　　　  C．3　　   D．4　

3.已知满足tan(＋，则tan=（　A　）

A．－　　　B．　　　C．2　　D． 2

4.已知直线与直线互相平行，则实数的值为（ A  ）

A．﹣3            B．           C．2              D．﹣3或2

5.已知 m, n 表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是(   C  )

A. 若 m // , n // ,则 m // n   B. 若 m ， mn ，则 n //

C. 若 m , n ，则 m n   D. 若 m // ， mn ，则 n

6.已知、β均为锐角，满足sinα＝，cosβ＝，则（B）

A．　　　      B．　　      　C．　　          D．　 

7. 若圆心坐标为（2，-1）的圆被直线截得的弦长为，则圆的方程为（   A ）

A．        B．

C．        D．

8.如果tan＝，那么cosα的值是 （  B    ）

A.    B.                  C.－      D.－

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共计20分．在每小题所给的A.B.C.D.四个选项中，有多项是正确的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑.

9.下列各式中，值为的是(　CD　)

A．sin 15°cos 15°      B．cos2－sin2

C.       D.

10.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点．有下列结论，其中正确的是(　AD　)

A．EF与BB1垂直

B．EF与平面BCC1B1垂直

C．EF与C1D所成的角为45°

D．EF∥平面A1B1C1D1

11.已知α，β是平面，m，n是直线.下列命题中正确的是                    （ACD ）

A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α B．若m∥α，α∩β=n，则m∥n

C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β D．若m⊥α，，则α⊥β

12.若圆x2＋y2＝r2(r>0)上恰有相异两点到直线4x－3y＋25＝0的距离等于1，则r可以取值(　ABC　)

A.     B．5     C.     D．6

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．只要求写出最后结果，并将正确结果填写到答题卡相应位置．

13.求值：          

14.在正方体 ABCD -A1B1C1D1 中， M ， N 分别为棱 AD ， D1D 的中点，则异面直线MN 与AC 所成的角大小为    600                  ．

15.设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A，ω，φ为常数且A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，若（），则的值为　   　．

16.在平面直角坐标系中，点，，从直线上一点向圆引两条切线，切点分别为，则直线过定点，定点坐标为___________.

四、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本题满分10分）

已知点A(4，1)，B(﹣6，3)，C(3，0)．

（1）求△ABC中BC边上的高所在直线的方程；

（2）求过A，B，C三点的圆的方程．

（1）……4分

（2）……10分

18．（本题满分12分）

如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，BD交AC于点E，F

是线段PC中点，G为线段EC中点．

（1）求证：FG//平面PBD；

（2）求证：BD⊥FG．

证明：（Ⅰ）连接PE，G、F为EC和PC的中点，

∴FG∥PE，FG⊄平面PBD，PE⊂平面PBD，

∴FG∥平面PBD…（5分）

（Ⅱ）∵菱形ABCD，∴BD⊥AC，

又PA⊥面ABCD，BD⊂平面ABCD，

∴BD⊥PA，

∵PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，且PA∩AC＝A，

∴BD⊥平面PAC，FG⊂平面PAC，

∴BD⊥FG…（12分）

19．（本题满分12分）

已知α∈，且sin ＋cos ＝.

(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－，β∈，求cos β的值．

【解答】解：（1）∵α∈（，π），且sin+cos＝，两边平方可得：1+sinα＝，∴sinα＝，可得：cosα＝﹣＝﹣．…（5分）

（2）∵由（1）可得：sin α＝，cosα＝﹣．

∵＜α＜π，＜β＜π，∴﹣＜α﹣β＜，

又sin（α﹣β）＝﹣，得cos（α﹣β）＝，

∴cos β＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）＝﹣×+×（﹣）＝﹣．…（12分）

20．（本题满分12分）

如图,在三棱锥中,平面⊥平面,,分别是,

的中点.

求证:(1)∥平面 (2)平面⊥平面.

【解答】证明：（1）在△APC中，因为E，F分别是PA，AC的中点，

所以EF∥PC，

又PC⊂平面PAC，EF⊄平面PAC，

所以EF∥平面PBC；      …（5分）

（2）因为AB＝BC，且点F是AC的中点，

所以BF⊥AC，

又平面ABC⊥平面PAC，平面ABC∩平面PAC＝AC，BF⊂平面ABC，

所以BF⊥平面PAC，

因为EF⊂平面BEF，

所以平面BEF⊥平面PAC．…（12分）

21．（本题满分12分）

如图，OPQ是半径为2，圆心角为的扇形，点A在弧上（异于点P，Q），过点

A作AB⊥OP，AC⊥OQ，垂足分别为B，C，记∠AOB＝，四边形ACOB的面积为S．

（1）求S关于的函数关系式；

（2）当为何值时，S有最大值，并求出这个最大值．

解：（1）因为AB⊥OP，所以在Rt△OAB中，AB＝OAsinθ＝2sinθ，OB＝OAcosθ＝2cosθ，

，…………………………（2分）

因为，所以；

同理：；…………（4分）

从而S关于θ的解析式为

S＝S△ABO+S△ACO＝sin2θ+sin（﹣2θ），（0＜θ＜）；…（6分）（不写定义域扣1分）

（2）化简函数

＝

＝

＝

＝

＝，………………………………………（10分）

因为，所以，

故当，即时S有最大值，最大值为．

答：当θ为时，面积S有最大值，最大值为．……………………（12分）

22．（本题满分12分）

已知圆C经过A(﹣2，0)，B(1，)两点，且圆心C在直线l1：y＝x上．

（1）求圆C的方程；

（2）已知过点P(1，2)的直线l2与圆C相交截得的弦长为，求直线l2的方程；

（3）已知点M(1，1)，在平面内是否存在异于点M的定点N，对于圆C上的任意动

点Q，都有为定值?若存在求出定点N的坐标，若不存在说明理由．

解：（1）因为圆C经过A（﹣2，0），B（1，）两点，且圆心C在直线l1：y＝x上，

设圆C：x2+y2+Dx+Ey+F＝0，

所以（﹣2）2﹣2D+F＝0，12+（）2+D+E+F＝0，﹣＝﹣，

所以D＝E＝0，F＝﹣4．

所以圆C：x2+y2＝4．…………………………（3分）

（2）当斜率不存在的时候，x＝1，弦长为2，满足题意；…………………………（4分）

当斜率存在的时候，设l2：y﹣2＝k（x﹣1），即kx﹣y+2﹣k＝0，

＝1，k＝，

所以直线l2的方程为：x＝1或3x﹣4y+5＝0．…………………………（6分）

（3）设Q（x0，y0），N（m，n），且x02+y02＝4．

＝＝，………（8分）

因为为定值，设＝λ，

化简得：（2λ﹣2m）x0+（2λ﹣2n）y0+m2+n2+4﹣6λ＝0，与Q点位置无关，

所以，…………………………（10分）

解得m＝n＝1或m＝n＝2．

所以定点为（2，2）．…………………………（12分）