2020回族自治区银川一中高二下学期期末考试数学（文）试卷含答案

银川一中2019/2020学年度（下）高二期末考试

数学试卷(文科)

                              命题人：

一、选择题（本大题共12小题，共60分）

1．已知集合，则集合中元素的个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

2．设，则“”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3．函数                       的定义域为（   ）

A．(-2,1)           B. [-2,1]        C.                   D. (-2,1]

4．已知命题p：若a>|b|，则a2>b2；命题q：都有x2+x+1>0．下列命题为真命题的是(    )

A． B． C． D．

5．若偶函数在区间上是增函数，则(    )

A.  B.
C.   D.

6．函数                的零点所在的一个区间是（    ）

 A.（-2,-1）     B.（-1,0）     C.（0,1）     D.（1,2）

7．若        且满足                       的最小值是（   ）

A．               B.              C. 6       D. 7

8．函数                 的部分图象大致是（   ）

A. B. C.  D.

9．函数                    的单调递增区间是

A．             B.             C.           D.

10．当          时，          ，则   的取值范围是（   ）

A．             B.             C.       D.

11．已知                       ，若a,b,c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，

则       的取值范围为(    )

A. (1,15) B. (10,15) C. (15,20) D. (10,12)

12．已知定义在R上的函数满足，且在上是增函数，

不等式对于恒成立，则a的取值范围是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13．已知且，那么                 ．

14．在极坐标系中，点到直线的距离为                  ．

15．已知不等式                 对一切      恒成立，则实数m的取值范围

为                     ．

16．已知函数f(x)＝其中m＞0.若存在实数b，使得关于x的

方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是                 ．

三、解答题(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)

17．(本小题满分10分)

已知：.

（1）判断此函数的奇偶性;

（2）若，求的值.

18．(本小题满分12分)

已知函数．

（1）求不等式f(x)＜3的解集；

（2）若，，且，求证：．

19．(本小题满分12分)

在直角坐标系     中，直线的参数方程为（为参数）.再以原点为极点，以正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系     有相同的长度单位.在该极坐标系中圆的方程为.

（1）求圆的直角坐标方程；

（2）设圆C与直线交于点、，若点的坐标为，求的值.

20．(本小题满分12分)

在极坐标系中，O为极点，点在曲线上，直线l过点且与垂直，垂足为P．

（1）当时，求及l的极坐标方程；

（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．

21．(本小题满分12分)

设，且.

（1）证明：；

（2）求的最小值.

22．(本小题满分12分)

已知定义在R上的奇函数f(x)，在x∈（0，1）时， f(x) = 且f(－1) = f(1).

（1）求f(x)在x∈［－1，1］上的解析式；

（2）证明：当x∈(0，1)时,f(x)＜；

（3）若x∈（0，1），常数，解关于x的不等式f(x)＞.

高二文科期末试卷参考答案

一、选择题（本大题共12小题，共60分）

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13.-26     14.2    15..

16.m＞3.

解析：作出f(x)的图象如图所示．当x＞m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，

∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则4m－m2＜m，即m2－3m＞0.又m＞0，解得m＞3.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.已知：.

（1）判断此函数的奇偶性; （2）若，求的值.

答案：（1）由，且  

知

所以此函数的定义域为：（-1，1）

又

由上可知此函数为奇函数.

（2）由知得

    且  解得    所以的值为：

18.已知函数．

（1）求不等式f(x)＜3的解集

（2）（2）若，，且，求证：．

解：（1）(-1,5)． 

（2），因为，，，，所以，，由题意知，因为，所以，当且仅当
即时等号成立，所以．  

19. 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.再以原点为极点，以正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位.在该极坐标系中圆的方程为.

（1）求圆的直角坐标方程；

（2）设圆C与直线交于点、，若点的坐标为，求的值.

（1）由极坐标与直角坐标互化公式得

圆的直角坐标方程式为

（2）直线l参数方程

代入圆方程得：

设、对应的参数分别为、，则，

于是.

20. 在极坐标系中，O为极点，点在曲线上，直线l过点且与垂直，垂足为P．

（1）当时，求及l的极坐标方程；

（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．

【答案】（1），l的极坐标方程为；（2）．

【解析】（1）因为在C上，当时，．

由已知得．

设为l上除P的任意一点．在中，，

经检验，点在曲线上．所以，l的极坐标方程为．

（2）设，在中， 即．

因为P在线段OM上，且，故的取值范围是．

所以，P点轨迹的极坐标方程为．

21.设，且.

（1）证明：；

（2）求的最小值.

【解析】（1）证明：因为，

当且仅当时，等号成立，

又∵，∴；(5分)

（2）由（1）知：，

当且仅当且即、时，等号成立，

所以有最小值.(10分)

22,已知定义在R上的奇函数f(x)，在x∈（0，1）时， f(x)= 且f(－1)=f(1).

（1）求f(x)上x∈［－1，1］上的解析式；

（2）证明在x∈（0，1）时f(x)＜；

（3）若x∈（0，1），常数，解关于x的不等式f(x)＞.

（1）∵f（x）是R上的奇函数且x(0,1)时，f(x)=，

∴当x（－1，0）时，f（x）= －f（－x）= =－.……………1分

又由于f(x)为奇函数,∴f（0）=－f（－0）,  ∴f（0）=0, ……………2分

又f（－1）=－f（1）,  f（－1）=f（1）, ∴f（－1）=f（1）=0.………3分

－，   x∈（－1，0）；

综上所述，当x∈［－1，1］时，f（x）=    ，     x∈（0，1）；………4分

0，                                        x∈

(2)当x∈（0，1）时，f（x）==（），……………5分

≥2，当且仅当=，即x=0取等号.………………6分

∵x∈（0，1）， ∴不能取等号，∴＞2.∴f（x）＜.…………8分

(3)当∈()时, ∈（），f（x）＞，即－+1＜0，……9分

设t=∈(1,2)，不等式变为t2－t+1＜0，∵∈()  ∴△=2－4＞0，

∴＜t＜.………………10分

而当∈()时，－1=＜0，且1＜＜2，

∴1＜t＜, 即0＜x＜.

综上可知，不等式f（x）＞的解集是（0，）. …………………12分