2021内蒙古集宁一中（西校区）高二上学期第一次月考数学（理）试题含答案

这是一份2021内蒙古集宁一中（西校区）高二上学期第一次月考数学（理）试题含答案

集宁一中西校区2020-2021学年第一学期第一次月考高二年级理科数学试题本试卷满分150分，考试时间为120分钟出题人：孙鑫第Ⅰ卷 （选择题 共60分）选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是最符合题意的。每小题5分， 共60分。）1．已知向量，，，则（ ）A． B． C．0 D．12．若向量，，，满足条件，则x等于（ ）A．6 B．2 C．4 D．33．设非零向量，满足，则（ ）A．⊥ B．C．// D．4．如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ）A． B． C． D．5．如图，在中，，，分别是边，，上的中线，它们交于点，则下列各等式中不正确的是（ ）A． B．C． D．6．在中，，则的形状为（ ）．A．钝角三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．不确定7．已知平面上的非零向量，，，下列说法中正确的是（ ）①若，，则；②若，则；③若，则，；④若，则一定存在唯一的实数，使得.A．①③ B．①④ C．②③ D．②④8．下面函数中为偶函数的是（ ）A． B． C． D．9．函数的单调递增区间为（ ）A．， B．，C．， D．，10．为得到的图象，只需要将的图象（ ）A．向左平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向右平移个单位11．已知是，夹角为的两个单位向量，则与的夹角是( )A． B． C． D．12．在中，，，为所在平面上任意一点，则的最小值为（ ）A．1 B． C．－1 D．-2 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知向量，，，则________.14．已知，则向量在方向上的投影为_________.15．已知O为坐标原点，在x轴上求一点P，使有最小值，则P点的坐标为__________16．设x∈（0，π），则f（x）=cos2x+sinx的最大值是 ．三、 解答题、(本大题共6小题满分70分)17．写出函数的振幅、周期、初相，并求出此函数的单调递增区间和对称轴.18．（1）化简：；（2）设两个非零向量与不共线.如果，，，求证：、、三点共线.19．如图，平行四边形ABCD中，已知，，设，，（1）用向量和表示向量，；（2）若，，求实数x和y的值.20．已知，且与不共线.（1）当向量与互相垂直时，求的值；（2）当与的夹角为时，求的模.21．已知，其中是的一个内角.（1）求的值；（2）判断是锐角三角形还是钝角三角形；（3）求的值.22．如图，在中，是边的中点，是边上靠近点的一个三等分点，与交于点.设，.（1）用，表示.（2）过点的直线与边，分别交于点，.设，，求的值.参考答案1．A【解析】【分析】由向量共线，列出方程求解，即可得出结果.【详解】因为向量，，，所以，解得.故选：A.【点睛】本题主要考查由向量共线求参数，熟记向量共线的坐标表示即可，属于基础题型.2．B【解析】【分析】求出向量数量积的坐标表示，可解得．【详解】由题意，，解得．故选：B．【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，属于基础题．3．A【解析】【分析】由向量加法与减法的几何意义求解.【详解】因为非零向量，满足，所以以非零向量，的模长为边长的平行四边形是矩形，所以⊥.故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量加法与减法的几何意义，属于基础题.4．C【解析】【分析】平面内三点共线的充要条件为：存在实数，使，且.求得，从而可得结果.【详解】由，可得，所以，又三点共线，由三点共线定理，可得：，，故选C.【点睛】本题主要考查平面向量共线定理的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.5．C【解析】【分析】根据平面共线定理、平面向量加法的几何意义，结合三角形重心的性质进行判断即可.【详解】因为，，分别是边，，上的中线，它们交于点，所以点是的重心.选项A：因为点是的重心，所以，因此，所以本选项正确；选项B：因为是边上的中线，所以，又因为点是的重心，所以有，因此，所以本选项正确；选项C：因为点是的重心，所以，因此，所以本选项不正确；选项D：因为是边上的中线，点是的重心，所以有，因此本选项正确.故选：C【点睛】本题考查了三角形重心的性质，考查了平面向量共线定理和平面向量加法的几何意义，属于基础题.6．B【解析】【分析】根据向量运算可知三角形中中线与垂线重合，可知三角形为等腰三角形，即可确定三角形形状.【详解】因为，所以，即，所以在中，与边上的中线垂直，则，同理，，所以，是等边三角形．故选：B【点睛】本题主要考查了向量的数量积，向量垂直，考查了运算能力，属于中档题.7．B【解析】【分析】根据向量共线定理判断①④，由模长关系只能说明向量，的长度关系判断②，举反例判断③.【详解】对于①，由向量共线定理可知，，则存在唯一的实数，使得，，则存在唯一的实数，使得，由此得出存在唯一的实数，使得，即，则①正确；对于②，模长关系只能说明向量，的长度关系，与方向无关，则②错误；对于③，当时，由题意可得，则，不能说明，，则③错误；由向量共线定理可知，④正确；故选：B.【点睛】本题主要考查了向量共线定理以及向量的定义，属于中档题.8．C【解析】【分析】利用函数奇偶性的逐项判断各选项中函数的奇偶性，可得出结论.【详解】对于A选项，设，该函数的定义域为，，所以，函数为奇函数；对于B选项，设，该函数的定义域为，，所以，函数为奇函数；对于C选项，设，该函数的定义域为，，所以，函数为偶函数；对于D选项，设，则，，则，，所以，函数为非奇非偶函数.故选：C.【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，涉及函数奇偶性定义以及特殊值法的应用，考查推理能力，属于基础题.9．A【解析】【分析】根据正弦型函数的单调性进行求解即可.【详解】当，时，函数单调递增，即当，时，函数单调递增.故选：A【点睛】本题考查了正弦型函数的单调增区间，属于基础题，考查了数学运算能力.10．D【解析】试题分析：因为，所以为得到的图象，只需要将的图象向右平移个单位；故选D．考点：三角函数的图像变换．11．B【解析】【分析】求出，根据向量夹角公式，即可求解.【详解】，，设的夹角为，.故选:B,【点睛】本题考查向量的夹角、向量的模长、向量的数量积，考查计算能力，属于中档题.12．C【解析】【分析】以为建立平面直角坐标系，设，把向量的数量积用坐标表示后可得最小值．【详解】如图，以为建立平面直角坐标系，则，设，，，，，∴，∴当时，取得最小值．故选：C．【点睛】本题考查向量的数量积，解题方法是建立平面直角坐标系，把向量的数量积转化为坐标表示．13．5【解析】【分析】本题首先可以根据得出，然后根据得出，最后通过化简即可得出结果。【详解】因为，所以，因为，所以，即，。【点睛】本题考查向量的模以及向量的运算，考查向量的模的求法，若，则，考查计算能力，是简单题。14．【解析】【分析】根据向量的数量积的坐标运算，求得，结合向量的投影的概念，即可求解.【详解】由向量，可得，所以向量在方向上的投影数列为.故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，以及向量的投影的概念，其中解答中熟记向量的投影的概念，以及向量的数量积的坐标运算公式是解答的关键，着重考查运算与求解能力.15．【解析】【分析】设点的坐标，计算并把结果利用二次函数的性质，配方求出其取最大值时的条件．【详解】设，所以，当时， 有最小值，此时故答案为：【点睛】本题考查两个向量的数量积公式的应用，二次函数取最大值的条件．属于基础题.16．【解析】试题分析：由题意利用正弦函数的值域，二次函数的性质，求得函数f（x）取得最大值．解：∵f（x）=cos2x+sinx=1﹣sin2x+sinx=﹣+，故当sinx=时，函数f（x）取得最大值为，故答案为．考点：三角函数的最值．17．；；；单调递增区间：，（）；对称轴：，（），【解析】【分析】本题先求，，，再根据图象与性质求单调递增区间与对称轴.【详解】解：∵ 函数的解析式为：，∴ ，，，∵ 当，（）时，单调递增，∴ 当，（）即，（）时，单调递增，∴ 函数的单调递增区间：，（），∵ 的对称轴是：，（），∴ 的对称轴是：，（）即，（），【点睛】本题考查的图象与性质，是基础题.18．（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）进行向量的数乘运算即可；（2）根据，进行向量的数乘运算即可得出，从而得出共线，进而得出、、三点共线.【详解】（1）原式；（2），，又、有公共点，、、三点共线.【点睛】本题考查了向量的数乘运算，向量加法的几何意义，共线向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题.19．（1）；；（2）.【解析】【分析】（1）用平面向量的线性运算整理可得：，，代入已知向量即可得到.（2）用平面向量的线性运算整理可得：，结合题干条件，可得到等式，解等式即可.【详解】解：（1）（2）因为.即因为与不共线，从而，解得【点睛】本题考查平面向量的线性运算，考查向量的基底表示，考查学生的运算能力、转换能力以及思维能力，属于中档题.20．（1），（2）【解析】【分析】（1）利用向量垂直的性质求出的值；（2）由，再利用向量的数量积公式求解即可【详解】解：（1）因为，且与不共线，向量与互相垂直，所以，解得，（2）当与的夹角为时，，【点睛】此题考查向量模的求法，考查平面向量数量积运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.21．（1）；（2）钝角三角形；（3）.【解析】【分析】（1）对两边平方即可得到答案.（2）根据和的范围即可得到答案.（3）首先计算得到，联立方程组，得到，再利用同角三角函数商数关系即可得到答案.【详解】（1）因为，所以，解得.（2）因为是的一个内角，所以，即，为钝角三角形.（3）因为，且，所以.因为，解得.所以.【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系，同时考查了三角形形状的判定，属于简单题.22．（1）（2）【解析】【分析】（1）设，利用，，三点共线和，，三点共线可以得出的两个方程，然后解出即可（2）利用，共线即可推出【详解】（1）设，则，∵，，三点共线，∴，共线，从而.①又，，三点共线. ∴，共线，同理可得.②联立①②，解得，故.（2）∵，，且，共线，∴，整理得.【点睛】1.平面向量共线定理：若与共线且，则存在唯一实数使得2.平面向量基本定理：若，是平面内两个不共线的向量，则对于平面中的任一向量，使的实数，存在且唯一.