2021磐安县二中高二上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2021磐安县二中高二上学期期中考试数学试题含答案，共12页。

命题人：王晶 审核人：孔巧燕 时间：2020年 11 月
考生须知：
1.本试题卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2.考生答题前,须将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卡上。
3.选择题的答案必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净。
4.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应区域内，作图时可先使用 2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效。
选择题部分
选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分）
1．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )
A．16π B．20π C．24π D．32π
2.如图所示的直观图的平面图形ABCD是( )
A．任意梯形 B．直角梯形 C．任意四边形 D．平行四边形
3.设是两条不同的直线,是两个不同的平面 ( )
A. B.
C. D.
4．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋meq \(AB,\s\up6(→))－neq \(AA1,\s\up6(→))，则的值分别为( )
A.eq \f(1,2)，－eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2)，－eq \f(1,2) C．－eq \f(1,2)，eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)，eq \f(1,2)
5．在正三棱柱中，若AB＝eq \r(2)BB1，则AB1与C1B所成角的大小为( )
A．60° B．90° C．105° D．75°
6．若平面α的法向量为n，直线l的方向向量为a，直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是( )
A．cs θ＝eq \f(n·a,|n||a|) B．cs θ＝eq \f(|n·a|,|n||a|)
C．sin θ＝eq \f(n·a,|n||a|) D．sin θ＝eq \f(|n·a|,|n||a|)
7．若两点，当|eq \(AB,\s\up6(→))|取最小值时，的值等于( )
A．19 B．－eq \f(8,7) C.eq \f(8,7) D.eq \f(19,14)
8．已知正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )
A.eq \f(2,3)B.eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(\r(2),3) D.eq \f(1,3)
9.如图所示，在四面体P—ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，那么二面角B—AP—C的余弦值为( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(\r(7),7) D.eq \f(5,7)
10.如图所示，在直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(2\r(3),3) C.eq \r(3) D．2eq \r(3) 9题图 10题图
非选择题部分
二、填空题（本大题共8小题,共40分，每题5分）
11．若a＝(2x，1，3)，b＝(1，－2y，9)，且a与b为共线向量，则x＝________，y＝________.
12.若a＝(2，－3,5)，b＝(－3,1，－4)，则|a－2b|＝________.
13．平面α的法向量为(1,0，－1)，平面β的法向量为(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为________．
14.如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥F-ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2,则V1∶V2= .
15．△ABC的三个顶点坐标分别为A(0，0，eq \r(2))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)， \r(2)))，
C(－1，0, eq \r(2))，则角A的大小为________．
16. 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2eq \r(3)，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是________．
17.如图，在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2；给出以下结论：①eq \(SA,\s\up6(→))＋eq \(SB,\s\up6(→))＋eq \(SC,\s\up6(→))＋eq \(SD,\s\up6(→))＝0；②eq \(SA,\s\up6(→))＋eq \(SB,\s\up6(→))－eq \(SC,\s\up6(→))－eq \(SD,\s\up6(→))＝0；③eq \(SA,\s\up6(→))－eq \(SB,\s\up6(→))＋eq \(SC,\s\up6(→))－eq \(SD,\s\up6(→))＝0；④eq \(SA,\s\up6(→))·eq \(SB,\s\up6(→))＝eq \(SC,\s\up6(→))·eq \(SD,\s\up6(→))；⑤eq \(SA,\s\up6(→))·eq \(SC,\s\up6(→))＝0，其中正确结论的序号是________．

14题图 17题图 18题图
18．如图所示，已知正四面体ABCD中，AE＝eq \f(1,4)AB，CF＝eq \f(1,4)CD，则直线DE和BF所成角的余弦值为________．
三、解答题（本大题共4小题,共60分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）
19.(本小题满分15分)
已知某几何体的俯视图是矩形(如图),正视图是一个底边长为8,高为4的等腰三角形,侧视图是一个底边长为6,高为4的等腰三角形.
（1）求该几何体的体积V;（2）求该几何体的侧面积S.

20．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，
(1)证明：平面PQC⊥平面DCQ；
(2)证明：PC∥平面BAQ.
21.如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，.试确定使得直线AP与平面BDD1B1所成的角为60°.

22.如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA＝AD＝2，M、N分别是AB、PC的中点．
(1)求二面角P—CD—B的大小；
(2)求点P到平面MND的距离．
1.C 正四棱柱的底面积为4，正四棱柱的底面的边长为2，正四棱柱的底面的对角线为2eq \r(2)，正四棱柱的对角线为2eq \r(6).而球的直径等于正四棱柱的对角线，即2R＝2eq \r(6)，R＝eq \r(6)，S球＝4πR2＝24π.
2.B AB∥Oy，AD∥Ox，故AB⊥AD.又BC∥AD且BC≠AD，所以为直角梯形．
3.C 对A若m⊥n,n∥α,则m⊂α或m∥α或m⊥α,故A选项错误;
对B若m∥β,β⊥α,则m⊂α或m∥α或m⊥α,故B选项错误;
对C若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥α,故C选项正确;
4.A 由于eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(DD1,\s\up6(→)))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AA1,\s\up6(→))，所以m＝eq \f(1,2)，n＝－eq \f(1,2)，.
5．B
建立如图所示的空间直角坐标系，设BB1＝1，则A(0,0,1)，B1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)，\f(\r(2),2)，0))，C1(0，eq \r(2)，0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)，\f(\r(2),2)，1)).
∴eq \(AB1,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)，\f(\r(2),2)，－1))，eq \(C1B,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)，－\f(\r(2),2)，1))，
∴eq \(AB1,\s\up6(→))·eq \(C1B,\s\up6(→))＝eq \f(6,4)－eq \f(2,4)－1＝0，即AB1与C1B所成角的大小为90°.]
6．D [若直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量与该平面的法向量所成的角为β，则θ＝β－90°或θ＝90°－β，cs β＝eq \f(n·a,|n||a|)，∴sin θ＝|cs β|＝eq \f(|n·a|,|n||a|).]
7．C [eq \(AB,\s\up6(→))＝(1－x,2x－3，－3x＋3)，
则|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(1－x2＋2x－32＋－3x＋32)
＝eq \r(14x2－32x＋19)＝eq \r(14\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(8,7)))2＋\f(5,7)).
故当x＝eq \f(8,7)时，|eq \(AB,\s\up6(→))|取最小值．]
8.A 以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝2AB＝2，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，C1(0，1，2)，则eq \(DC,\s\up6(→))＝(0，1，0)，eq \(DB,\s\up6(→))＝(1，1，0)，eq \(DC1,\s\up6(→))＝(0，1，2)．设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥eq \(DB,\s\up6(→))，n⊥eq \(DC1,\s\up6(→))，所以有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝0，,y＋2z＝0，))令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2，1)．设CD与平面BDC1所成的角为θ，则sin θ＝|cs〈n，eq \(DC,\s\up6(→))〉|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(n·\(DC,\s\up6(→)),|n||\(DC,\s\up6(→))|)))＝eq \f(2,3).
9．C 作BD⊥AP于D，作CE⊥AP于E，设AB＝1，则易得CE＝eq \f(\r(2),2)，EP＝eq \f(\r(2),2)，PA＝PB＝eq \r(2)，可以求得BD＝eq \f(\r(14),4)，ED＝eq \f(\r(2),4).∵eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(EC,\s\up6 (→))，
∴eq \(BC,\s\up6(→))2＝eq \(BD,\s\up6(→))2＋eq \(DE,\s\up6(→))2＋eq \(EC,\s\up6 (→))2＋2eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(DE,\s\up6(→))＋2eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(EC,\s\up6 (→))＋2eq \(EC,\s\up6 (→))·eq \(BD,\s\up6(→)).
∴eq \(EC,\s\up6 (→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝－eq \f(1,4)，∴cs〈eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(EC,\s\up6 (→))〉＝－eq \f(\r(7),7)，即二面角B—AP—C的余弦值为eq \f(\r(7),7).]
10．B
建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1,0)，E(1,0,0)，D(0，－1,2)，C(0,1,2)．
eq \(AD,\s\up6(→))＝(0,0,2)，eq \(AE,\s\up6(→))＝(1,1,0)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(0,2,2)，设平面ACE的法向量n＝(x，y，z)，
则即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝0；,2y＋2z＝0.))
令y＝1，∴n＝(－1,1，－1)．故点D到平面ACE的距离d＝＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(－2,\r(3))))＝eq \f(2\r(3),3).]
eq \f(1,6) －eq \f(3,2) 由题意得eq \f(2x,1)＝eq \f(1,－2y)＝eq \f(3,9)，∴x＝eq \f(1,6)，y＝－eq \f(3,2).

12.eq \r(258) 解析 ∵a－2b＝(8，－5,13)，∴|a－2b|＝eq \r(82＋－52＋132)＝eq \r(258).
13.eq \f(π,3)或eq \f(2π,3) 解析 设n1＝(1,0，－1)，n2＝(0，－1,1)，
则cs〈n1，n2〉＝eq \f(1×0＋0×－1＋－1×1,\r(2)·\r(2))＝－eq \f(1,2)，
∴〈n1，n2〉＝eq \f(2π,3).因平面α与平面β所成的角与〈n1，n2〉相等或互补，所以α与β所成的角为eq \f(π,3)或eq \f(2π,3).
14.1∶24 解析:因为D,E分别是AB,AC的中点,所以S△ADE∶S△ABC=1∶4.
又F是AA1的中点,所以A1到底面的距离H为F到底面距离h的2倍,即三棱柱A1B1C1-ABC的高是三棱锥F-ADE高的2倍,所以V1∶V2= QUOTE =1∶24.
30 【解析】 eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0))，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1，0，0)，则cs A＝eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\(AB,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))|))＝eq \f(\f(\r(3),2),1×1)＝eq \f(\r(3),2)，故角A的大小为30°.
16.2eq \r(3) 解析：设正三棱柱的底面边长为a，利用体积为2eq \r(3)，很容易求出这个正三棱柱的底面边长和侧棱长都是2，所以底面正三角形的高为eq \r(3)，故所求矩形的面积为2eq \r(3).
17.③④. 【解析】 容易推出：eq \(SA,\s\up6(→))－eq \(SB,\s\up6(→))＋eq \(SC,\s\up6(→))－eq \(SD,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝0，所以③正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以eq \(SA,\s\up6(→))·eq \(SB,\s\up6(→))＝2×2cs∠ASB，eq \(SC,\s\up6(→))·eq \(SD,\s\up6(→))＝2×2cs∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是eq \(SA,\s\up6(→))·eq \(SB,\s\up6(→))＝eq \(SC,\s\up6(→))·eq \(SD,\s\up6(→))，因此④正确；
18.eq \f(4,13) 解析 因四面体ABCD是正四面体，顶点A在底面BCD内的射影为△BCD的垂心，所以有BC⊥DA，AB⊥CD.设正四面体的棱长为4，
则eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(DE,\s\up6(→))＝(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→)))·(eq \(DA,\s\up6 (→))＋eq \(AE,\s\up6(→)))＝0＋eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))·eq \(DA,\s\up6 (→))＋0
＝4×1×cs 120°＋1×4×cs 120°＝－4，
BF＝DE＝eq \r(42＋12－2×4×1×cs 60°)＝eq \r(13)，
所以异面直线DE与BF的夹角θ的余弦值为：cs θ＝＝eq \f(4,13).
19.解:
故几何体的侧面积S=2· QUOTE =40+24 QUOTE .
20. 如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.
(1)依题意有Q(1，1，0)，C(0，0，1)，P(0，2，0)，则eq \(DQ,\s\up6(→))＝(1，1，0)，eq \(DC,\s\up6(→))＝(0，0，1)，eq \(PQ,\s\up6(→))＝(1，－1，0)，所以eq \(PQ,\s\up6(→))·eq \(DQ,\s\up6(→))＝0，eq \(PQ,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝0，
即PQ⊥DQ，PQ⊥DC且DQ∩DC＝D.
故PQ⊥平面DCQ.
又PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.
(2)根据题意，eq \(DA,\s\up6(→))＝(1，0，0)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(0，0，1)，eq \(AQ,\s\up6(→))＝(0，1，0)，故有eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(AQ,\s\up6(→))＝0，所以eq \(DA,\s\up6(→))为平面BAQ的一个法向量．
又因为eq \(PC,\s\up6(→))＝(0，－2，1)，且eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝0，即DA⊥PC，且PC⊄平面BAQ，故有PC∥平面BAQ.
21解 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，P(0,1，m)，C(0,1,0)，
D(0,0,0)，
B1(1,1,1)，D1(0,0,1)．则eq \(BD,\s\up6(→))＝(－1，－1,0)，eq \(BB1,\s\up6(→))＝(0,0,1)，eq \(AP,\s\up6(→))＝(－1,1，m)，
eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1,1,0)．又由eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝0，eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BB1,\s\up6(→))＝0知，eq \(AC,\s\up6(→))为平面BB1D1D的一个法向量．设AP与平面BB1D1D所成的角为θ，
则sin θ＝|cs〈eq \(AP,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉|＝＝eq \f(2,\r(2＋m2)·\r(2)).
依题意得eq \f(2,\r(2＋2m2)·\r(2))＝sin 60°＝eq \f(\r(3),2)，解得m＝eq \f(\r(3),3).
故当m＝eq \f(\r(3),3)时，直线AP与平面BDD1B1所成角为60°.
22. (1)解 ∵PA⊥平面ABCD，由ABCD是正方形知AD⊥CD.
∴CD⊥面PAD，∴PD⊥CD.∴∠PDA是二面角P—CD—B的平面角．
∵PA＝AD，∴∠PDA＝45°，即二面角P—CD—B的大小为45°.
(2)设P到平面MND的距离为d.
由(2)知平面MND的法向量m＝(－2，－1,1)，
∵eq \(PD,\s\up6(→))·m＝(0,2，－2)·(－2，－1,1)＝－4，∴|eq \(PD,\s\up6(→))·m|＝4，
又|m|＝eq \r(－22＋－12＋12)＝eq \r(6)，∴d＝＝eq \f(4,\r(6))＝eq \f(2\r(6),3).
即点P到平面MND的距离为eq \f(2\r(6),3).