2021安徽省皖北名校高二下学期第一次联考数学（理）试题含答案

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皖北名校2020~2021学年高二下第一次联考数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.命题“，”的否定是（ ）A.， B.，C.， D.，2.在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为16，则乙组数据的平均数为（ ）A.12 B.10 C.8 D.63.已知函数，则（ ）A. B. C. D.4.已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线交于点P，则的面积为（ ）A.9 B.16 C.20 D.255.蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x（每分钟鸣叫的次数）与气温y（单位：℃）存在着较强的线性相关关系.某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y关于x的线性回归方程，则当蟋蟀每分钟鸣叫56次时，该地当时的气温预报值为（ ）A.33℃ B.34℃ C.35℃ D.35.5℃6.在正方体中，已知M是的中点，则与平面所成角的余弦值为（ ）A. B.C. D.7.下图显示的是欧阳修的《卖油翁》中讲述的一个有趣的故事，现模仿铜钱制作一个半径为2cm的圆形铜片，中间有边长为1cn的正方形孔.若随机向铜片上滴一滴水（水滴的大小忽略不计），则水滴正好落入孔中的概率是（ ）A. B. C. D.8.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图，给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为2，则输出v的值为（ ）A.6 B.14 C.16 D.389.已知函数在处有极值，则等于（ ）A.1 B.2C.3 D.410.已知椭圆的右焦点为F，B为上顶点，O为坐标原点，直线交椭圆于点C（点C位于第一象限），若与的面积相等，则该椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D.11.“”是“”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件12.已知函数，若对任意，恒成立，则a的取值范围为（ ）A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.函数的图象在点处的切线方程是______.14.如图，二面角为135°，，，过A，B分别作l的垂线，垂足分别为C，D，若，，，则的长度______.15.过抛物线的焦点F作斜率为2的直线l与抛物线C交于A，B两点，若（O为坐标原点）的面积等于，则______.16.已知双曲线的左焦点为F，过F且与C的一条渐近线垂直的直线l与C的右支交于点P，若A为的中点，且（O为坐标原点），则C的离心率为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分10分）已知函数在区间上不是减函数；，.（1）若“p且q”为真，求实数a的最大值；（2）若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数a的取值范围.18.（本小题满分12分）（1）证明：；（2）证明：；（3）比较与的大小，无需说明理由.19.（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，，，，且.（1）求证：平面平面；（2）设二面角的大小为，求的值.20.（本小题满分12分）一机构随机调查了某小区100人的月收入情况，将所得数据按，，，，，（单位：元）分成六组，并且作出如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；（2）根据题目分组情况，按分层抽样的方法在，，三组中抽取6人，再从这6人中抽取2人，求至少有一人收人在的概率.21.（本小题满分12分）以抛物线的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知，.（1）求抛物线C的方程；（2）过的直线l交抛物线C于不同的两点P，Q，交直线于点G（Q在之间），直线交直线于点H.是否存在这样的直线l，使得（F为C的焦点）?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.22.（本小题满分12分）已知，是椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆C交于P，Q两点，R为P，Q的中点，直线的斜率为-1.（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C分别相交于A，B两点，且与圆相交于G，H两点，求的取值范围.皖北名校2020~2021学年高二下第一次联考·数学试卷（理科）参考答案、提示及评分细则1.D 全称命题的否定是特称命题，改成，改成.故选D.2.A 由甲组数据的众数为16，得，乙组数据的平均数为.3.C ，所以，所以，所以，所以.故选C.4.B 根据题意，得为以为斜边的直角三角形，所以①，②，由得，所以的面积为.故选B.5.B 由题意，得，，则；当时，.故选B.6.D 以，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2，则，，，显然平面，所以是平面的一个法向量，所以与平面所成角的正弦值为，故所求角的余弦值为.故选D.7.D 铜片的面积，中间方孔的面积为，所求概率为.8.C 程序运行过程如下：，；，；，；，，跳出循环，输出v的值为16.故选C.9.B ，由题意知，即，所以，所以.故选B.10.A 根据题意作出图象如下：由如图可知点，.联立解得或所以点C的坐标为.因为，，所以根据直线截距式方程可得直线的方程为，即.因为与面积相等，所以线段的中点在直线上，所以，，则该椭圆的离心率.故选A.11.B 由，得，所以，令，则，因为函数为上的单调递增函数，所以；反之则不然.故选B.12.A 由题意知函数在上单调递增，因为，所以转化为在上恒成立，因为，所以在上恒成立，即转化为，令，则，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以.故选A.13. 因为，所以切线的斜率为，又，故所求切线方程是，即.14.3 因为，，，所以，又因为二面角为135°，所以，所以.15.2 抛物线C的焦点，设直线l的方程为，代入抛物线C方程，得.设，，则，，所以的面积为.解得.16. 设C的右焦点为，不妨设直线l与渐近线交于点B.在直角三角形中，由点到直线的距离，得，再结合，得；由为的中位线，得，再由双曲线的定义，得，从而，.在直角三角形中，，化简，得，所以.17.解：当p为真时，函数在区间上不是减函数，所以，解得.当q为真时，关于x的不等式有解，所以，解得.（1）若“p且q”为真，则且，所以.所以若“p且q”为真，实数a的最大值是4.（2）若“p或q”为真，“p且q”为假，则p与q一真一假.当p真q假时，且，解得；当p假q真时，且，解得.综上，所求实数a的取值范围是.18.证明：（1）令，则.令得，，令得，所以在单调递减，上单调递增..所以，即.所以.（2）令，则.令得，，令得，所以在单调递增，上单调递减，所以，即，所以.（3）.由（1）得，所以（当且仅当时取等号）①.由（2）得，所以（当且仅当时取等号） ②因为①式与②式取等号的条件不同，所以.19.（1）证明：在中，，所以，即.因为，，，所以.所以，即.又，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）解：由题意知，四边形为菱形，且，则为正三角形.取的中点D，连接，则.以B为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，设平面的法向量为，且，，由得取，则.由四边形为菱形，得；又平面，所以.又，所以平面，所以平面的法向量为.所以.故.20.解：（1）由频率分布直方图知，中位数在，设中位数为x，则，解得.（2）收入在，，这三组的人数分别为10，15，5，所以按分层抽样的方法在各组抽取的人数分别2，3，1.记收入在的2人分别为，，收入在的3人分别为，，，收入在的1人为c，通过列举法可得从这6人中抽取2人的取法有，，，，，，，，，，，，，，，共15种，其中至少有一人收入在的取法有，，，，，，，，，，，，共12种，所以至少有一人收入在的概率为.21.解：（1）设圆的方程为，，可设，代入得，，代入，得.①，抛物线的准线方程为，可设，代入，得.②解①②得（舍去）.抛物线C的方程是.（2）C的焦点的坐标，显然直线l与坐标轴不垂直，设直线l的方程为，，.联立消去y得.由，解得，且.由韦达定理得，.方法一：直线的方程为，又，所以，所以，，直线与直线的斜率相等.又，.整理得，即，化简得，，即.，整理得，解得，经检验，符合题意.这样的直线l存在，且直线l的方程为或，即或.方法二：，，.整理得，，整理得.解得，经检验，符合题意.这样的直线l存在，且直线l的方程为或，即或.22.解：（1）在中，令，得右焦点的坐标是，所以.①设，，，则，，两式相减得，，，又的斜率为-1，所以，所以，所以.②解①②得所以椭圆C的方程为.（2）①若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为，易求A，B的坐标为，，G，H的坐标为，，所以，，.②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，，.联立消去y整理得，则，，所以.因为圆心到直线l的距离，所以，所以.因为，所以.综上，的取值范围是.x（次数/分钟）2030405060y（℃）2527.52932.536