2020莆田第一联盟体高三上学期期末联考数学（理）试题含答案

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莆田市第一联盟体2019-2020学年上学期高三联考试卷 理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号和座位号填写在答题卡上；2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上；3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效；4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z满足，则|z|＝（　　）A． B．3 C．5 D．252．设集合，N＝{x|≥4}，则M∩N（　　）A． B． C．[2，3] D．[2,3）3．在等比数列{an}中，，，则（　　）A．6 B．7 C．8 D．154．已知角的始边与轴非负半轴重合，终边过点，则的值为（ ）A． B. C. D．5. 某三棱锥的三视图如图所示，已知它的体积为，则图中的值为（　　）A． 2 B. C. 1 D．6．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征.如函数的图像大致是（ ）A． B． C． D．7．在梯形中，，若，则的值为（ ）A． B. C. D． 08．设，则（　　）A． B. C. D． 9．关于函数有下述四个结论： = 1 \* GB3 ①的图象关于轴对称；  = 2 \* GB3 ②在有3个零点； = 3 \* GB3 ③的最小值为；  = 4 \* GB3 ④在区间单调递减.其中所有正确结论的编号是( )A． = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ② B． = 1 \* GB3 ① = 3 \* GB3 ③ C． = 1 \* GB3 ① = 4 \* GB3 ④ D． = 3 \* GB3 ③ = 4 \* GB3 ④10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线斜率为（　　）A． B． C． D． 11．2019年11月18日国际射联步手枪世界杯总决赛在莆田市综合体育馆开幕，这是国际射联步手枪世界杯总决赛时隔10年再度走进中国。为了增强趣味性，并实时播报现场赛况，我校现场小记者李明和播报小记者王华设计了一套播报转码法，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文→明文（解密），已知加密的方法是：密码把英文的明文（真实文）按字母分解，其中英文的a，b，c，…，z的26个字母（不论大小写）依次对应1，2，3，…，26这26个自然数,通过变换公式：，将明文转换成密文，如，即变换成；，即变换成．若按上述规定，若王华收到的密文是ukweat，那么原来的明文是（　　）A．fujian B．puxian C．putian D．fuxian 12．函数满足，,若恒成立,则的取值范围为（　　）A． B． C． D．二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若向量和垂直，则_______．14．已知满足，则的取值范围为_________.15．已知直线：与抛物线相交于不同的两点，为 的中点，线段AB的垂直平分线线交轴于点，则的长为 .16．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，动点P在对角线BD1上，过点P作垂直于BD1的平面α，记平面α截正方体得到的截面多边形（含三角形）的周长为y＝f（x），设BP＝x，x∈（0，）.（Ⅰ）下列说法中，正确的编号为　 　． = 1 \* GB3 ①截面多边形可能为四边形；  = 2 \* GB3 ②； = 3 \* GB3 ③函数的图象关于对称.（Ⅱ）当时,三棱锥的外接球的表面积为　 　．三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．（本小题12分）在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.（1）求A；（2）已知，点D在AB上，且，若的面积为，求线段的长．18．（本小题12分）在正项数列{an}中，已知，且.（1）证明：数列{bn}是等差数列；（2）设{bn}的前n项和为Sn，证明：．19．（本小题12分）如图：已知正方形ABCD的边长为，沿着对角线将△ACD折起,使D到达P的位置，且．（1）证明：平面⊥平面；（2）若M是的中点，点N在线段PA上，且满足直线MN与平面PAB所成角的正弦值为，求的值． 图（1） 图（2） 20．（本小题12分）已知：椭圆的右焦点为，为上顶点，为坐标原点，若的面积为2，且椭圆的离心率为.求椭圆的方程；直线交椭圆于两点，当为的垂心时，求的面积.21．（本小题12分）已知函数，.讨论的单调性；当时，记的最小值为，证明：.（二）选考题：共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程](本小题10 分)已知曲线的参数方程为，在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.设点的极坐标为.（1）求曲线的极坐标方程；（2）若过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点，求的值.23.[选修4—5：不等式选讲]（本小题10分）已知函数，，且的解集为.（1）求的值；（2）若都为正数，且，证明：.莆田市第一联盟体2019-2020学年上学期高三联考参考答案 理科数学第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．5 ； 14． ；15． ； 16．（Ⅰ）②  = 3 \* GB3 ③ 　；（Ⅱ）三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．（12分）在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.（1）求A；（2）已知，点D在AB上，且，若的面积为，求线段的长．. …………………. ………………….1分 , …………………. ………………….2分 …………………. ………………….3分 …………………. ……………4分又,,,且A（0，, …………………………….……..5分， ……………………………..……..6分,,且 …………………. ……………… 7分bcsinA=,即 …………………..….………8分 ……………………..…………9分 ………………………………10分 ………………………..……12分18．（12分）在正项数列{an}中，已知，且.（1）证明：数列{bn}是等差数列；（2）设{bn}的前n项和为Sn，证明：．（1）数列是公差为2的等差数列 ………………………..……..1分1, …………………………….…..2分 …………………………….…..3分) …………………………….…..4分数列是等差数列 ………………………………....5分（2）由（1）可得∴Sn＝＝n（n+2） ………………………………....6分∴＝（﹣）， …………………………………..8分∴+++…+＝[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣）]＝（1+﹣﹣）＝﹣（+）＜ ……………………………….12分19．（12分）已知正方形ABCD的边长为，沿着对角线将△ACD折起,使D到达P的位置，且．（1）证明：平面⊥平面；（2）若M是的中点，点N在线段PA上，且满足直线MN与平面PAB所成角的正弦值为，求的值．解：（1）取AC的中点O，连接OP，OB，∵PA＝PC且O为AC的中点，∴OP⊥AC；同理，OB⊥AC． …………..2分∴AC⊥平面POB，则有∠POB为平面P﹣AC﹣B的平面角， …………..3分又∵在△POB中，OP＝OB＝1，BP＝，则有OP2+OB2＝BP2∴∠POB＝90°∴平面PAC⊥平面ABC ………………..…..5分（2）由（1）可知，OP⊥平面ABC，则有OP⊥OC，OP⊥OB，又OB⊥OC，则以 为原点，所在直线为轴建立如上空间直角坐标系．…….…….6分则有，OA＝OB＝OC＝OP＝1，∴A（﹣1，0，0），B（0，1，0），C（1，0，0），P（0，0，1）， ……..……..7分∵M是PC的中点，∴M，又设，则则N点的坐标为（-，∴，0 , ……..……..8分设平面PAB的一个法向量为，则有，∴取 ……………... 9分∵直线MN与平面PAB所成角的正弦值为，解得 ……………11分故 …………………..12分20．（12分）20．（12分）已知：椭圆的右焦点为，为上顶点，为坐标原点，若的面积为2，且椭圆的离心率为.求椭圆的方程；直线交椭圆于两点，当为的垂心时，求的面积.解（1）：依题意可知，， 则，且 …………..2分 可得：， …………..3分 所以椭圆的方程为：. …………..4分（2）：为的垂心，， 由（1）知， 设直线方程为， …………..5分 联立得， 可得，即， 且可得， …………..6分 …………..7分 即 解得或， …………..8分当时，三点共线（舍去），， …………..9分此时 …………..10分点到直线的距离 …………..11分 …………..12分21．（12分）已知函数，.(1)讨论的单调性；(2)当时，记的最小值为，证明：.解(1):的定义域为, 又, …………..2分 当时,在上单调递减; 当时,若在上单调递减; …………..3分 若在上单调递增. ………….4分(2):,由(1)知: …………..5分 令, 设, 由于恒成立, 故可知在上单调递减, ……………. .6分 又, ……………..7分 可知存在使得, ……………..8分时,为增函数; 时,为减函数,即当时,取得最大值, ……………. .9分 ……………..10分 又, ……………. .12分（二）选考题：共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程](10 分)已知曲线的参数方程为，在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.设点的极坐标为.（1）求曲线的极坐标方程；（2）若过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点，求的值.解：（1）曲线C的普通方程为： QUOTE , ……………..2分将曲线上的点按坐标变换 QUOTE 得到，代入得 QUOTE 的方程为：. ……………..4分化为极坐标方程为： ……………..5分(2)点在直角坐标的坐标为 ， ……………..6分因为直线过点且倾斜角为，设直线的参数方程为 QUOTE （为参数）， ……………..8分代入得：. QUOTE 设两点对应的参数分别为，则，. ……………..9分所以. ……………..10分23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数，，且的解集为.（1）求的值；（2）若都为正数，且，证明：.【解析】（1）由得 QUOTE 得 ……………..2分因为 QUOTE 的解集为， ……………..4分所以 ……………..5分由（1）得 QUOTE ， ……………..6分当且仅当时，等号成立 ……………..9分 QUOTE 所以 QUOTE 成立 …………..10分123456789101112CDBBCADDCACA