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2020泸县四中高三三诊模拟考试数学(文)试题含答案
展开2020年春四川省泸县第四中学高三三诊模拟考试
文科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷 选择题(60分)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 ,则复数在复平面内对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知集合,则满足的集合的个数是
A.4 B.3 C.2 D.1
3.若实数满足则的最小值是
A. B. C. D.
4.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题中,甲所得为
A.钱 B.钱 C.钱 D.钱
5.定义运算,则函数的大致图象是
A.B.C.D.
6.已知,且是第四象限角,则的值是
A. B. C. D.
7.已知圆:,定点,直线:,则“点在圆外”是“直线与圆相交”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
8.在边长为4的正方形ABCD内部任取一点M,则满足为锐角的概率为
A. B. C. D.
9.函数在单调递减,且为奇函数.若,则满足的的取值范围是
A. B. C. D.
10.函数的图象向右平移个单位后关于原点对称,则函数在上的最大值为
A. B. C. D.
11.已知双曲线:的焦距为,焦点到双曲线的渐近线的距离为,则双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
12.已知,则,不可能满足的关系是
A. B. C. D.
第II卷 非选择题(90分)
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知函数在处取得极值,则的值为___________.
14.已知向量,,则在方向上的投影为___________.
15.若过点且斜率为的直线与抛物线的准线相交于点,与的一个交点为,若,则____.
16.如图,正方体的棱长为1,线段上有两个动点,且,现有如下四个结论:;平面;三棱锥的体积为定值;异面直线所成的角为定值,其中正确结论的序号是______.
三.解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考
题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(12分)在中,,,.
(I)求角 (II)设为的中点,求中线的长.
18.(12分)在某外国语学校举行的(高中生数学建模大赛)中,参与大赛的女生与男生人数之比为,且成绩分布在,分数在以上(含)的同学获奖.按女生、男生用分层抽样的方法抽取人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图如图所示.
(Ⅰ)求的值,并计算所抽取样本的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(Ⅱ)填写下面的列联表,并判断在犯错误的概率不超过的前提下能否认为“获奖与女生、男生有关”.
| 女生 | 男生 | 总计 |
获奖 |
|
| |
不获奖 |
|
|
|
总计 |
|
| |
|
|
|
|
附表及公式:
其中,.
19.(12分)四棱锥中,平面,,,为的中点,,过点作于.
(1) 求证:;
(2) 求三棱锥的体积.
20.(12分)已知为圆上一点,过点作轴的垂线交轴于点,点满足
(I)求动点的轨迹方程;
(II)设为直线上一点,为坐标原点,且,求面积的最小值.
21.(12分)已知函数,,且点处取得极值.
(Ⅰ)若关于的方程在区间上有解,求的取值范围;
(Ⅱ)证明:.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
已知曲线C的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是:(是参数).
(Ⅰ)若直线l与曲线C相交于A、B两点,且,试求实数m值.
(Ⅱ)设为曲线上任意一点,求的取值范围.
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
已知函数,.
(Ⅰ)若不等式对恒成立,求正实数的取值范围;
(Ⅱ)设实数为(Ⅰ)中的最大值.若正实数,,满足,求的最小值.
2020年春四川省泸县第四中学高三三诊模拟考试
文科数学参考答案
1.A 2.A 3.B 4.B 5.A 6.B 7.C 8.A 9.D 10.B 11.A12.C
13.1 14.1 15. 16.
17.(1)∵,∴. 分
由正弦定理,即. 分
得,∵,∴为钝角,为锐角,故. 分
(2∵∴.由正弦定理得,即得. 分
在中由余弦定理得:,∴. 分
18.解:(Ⅰ), 分
. 分
(Ⅱ)由频率分布直方图知样本中获奖的人数为,不获奖的人数为,
列联表如下:
| 女生 | 男生 | 总计 |
获奖 | |||
不获奖 | |||
总计 |
因为, 分
所以在犯错误的概率不超过的前提下能认为“获奖与女生,男生有关.”
19.(I)证明:取的中点,连接,因为是的中点,
,
故,
四边形CDEM为平行四边形, 分
,,
所以 分
(II)过C作交AB于N点,因为平面
,,所以CN为点C到面PEF的距离
而
在直角中,,,
AP=5,, 分
, 分
三棱锥的体积 分
20.解:(1) 设,由题意得:,由,
可得点是的中点,故,所以,又因为点在圆上,
所以得,故动点的轨迹方程为. 分
(2)设,则,且,当时,,此时;当时,因为,即故,,
,①, 分
代入①
设 因为恒成立,在上是减函数, 分
当时有最小值,即,综上:的最小值为 分
21.解:(Ⅰ)∵, ∴
∵函数在点处取得极值, 分
∴,即当时,∴,则得.经检验符合题意 2分
∵,∴, ∴.
令, 则. 分
∴当时,随的变化情况表:
| 1 | (1,2) | 2 | (2,3) | 3 |
|
| + | 0 | - |
|
|
| ↗ | 极大值 | ↘ |
|
计算得:,,,
所以的取值范围为. 6分
(Ⅱ)证明:令,
则,
令,则,
函数在递增,在上的零点最多一个
又,,存在唯一的使得, 9分
且当时,;当时,.
即当时,;当时,.
在递减,在递增,从而.
由得即,两边取对数得:,,
,从而证得. 12分
考点:1.函数的极值与最值;2.导数的应用;3.函数的单调性.
22.解:(Ⅰ)曲线C的极坐标方程是化为直角坐标方程为:
直线的直角坐标方程为:
圆心到直线l的距离(弦心距)圆心到直线的距离为 :
或 5分
(Ⅱ)曲线的方程可化为,其参数方程为
为曲线上任意一点,
的取值范围是 10分
23.(1),当且仅当时等号成立,
,解得,正实数的取值范围为. 分
(2)由(1)知,,即.
,,
,
当且仅当时取得最小值为8. 分
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