2020泰州高三下学期调研测试数学试题含附加题含答案

这是一份2020泰州高三下学期调研测试数学试题含附加题含答案

江苏省泰州市2019—2020学年度第二学期调研测试高三数学试题第I卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A＝{l，2}，B＝{2，4，8}，则AB＝ ．2．若实数x，y满足x＋yi＝﹣1＋(x﹣y)i（i是虚数单位），则xy＝ ．3．如图是容量为100的样本的频率分布直方图，则样本数据落在区间[6，18)内的频数为 ．4．根据如图所示的伪代码，可得输出的S的值为 ．5．若双曲线(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 ．6．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，这两次出现向上的点数分别记为x，y，则的概率是 ．7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝4x上一点P到焦点F的距离是它到y轴距离的3倍，则点P的横坐标为 ．8．我国古代数学名著《增删算法统宗》中有这样一首数学诗：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”它的大意是：有人要到某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都是前一天的一半，一共走了六天到达目的地．那么这个人第一天走的路程是 里．9．若定义在R上的奇函数满足，，则＋＋ 的值为 ．10．将半径为R的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，若圆锥的体积为，则R＝ ．11．若函数只有一个零点，则实数a的取值范围为 ．12．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(，)，B(，)在圆O：上，且满足，则的最小值是 ．13．在锐角△ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，若，，且，，则实数的值为 ．14．在△ABC中，点D在边BC上，且满足AD＝BD，3tan2B﹣2tanA＋3＝0，则的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P— ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝AC，点D，E，F分別是AB，AC，BC的中点．（1）求证：BC∥平面PDE；（2）求证：平面PAF ⊥平面PDE．16．（本小题满分14分）已知函数，xR ．（1）求函数的最大值，并写出相应的x的取值集合；（2）若，(，)，求sin2的值．17．（本小题满分14分）某温泉度假村拟以泉眼C为圆心建造一个半径为12米的圆形温泉池，如图所示，M，N是圆C上关于直径AB对称的两点，以A为四心，AC为半径的圆与圆C的弦AM，AN分别交于点D，E，其中四边形AEBD为温泉区，I、II区域为池外休息区，III、IV区域为池内休息区，设∠MAB＝．（1）当时，求池内休息区的总面积（III和IV两个部分面积的和）；（2）当池内休息区的总面积最大时，求AM的长．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆M：(a＞b＞0)的左顶点为A，过点A的直线与椭圆M交于x轴上方一点B，以AB为边作矩形ABCD，其中直线CD过原点O．当点B为椭圆M的上顶点时，△AOB的面积为b，且AB＝．（1）求椭圆M的标准方程；（2）求矩形ABCD面积S的最大值；（3）矩形ABCD能否为正方形？请说明理由．19．（本小题满分16分）定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“YZ函数”．（1）判断函数是否为“YZ函数”，并说明理由；（2）若函数(mR)是“YZ函数”，求实数m的取值范围；（3）已知，x(0，)，a，bR，求证：当a≤﹣2，且0＜b＜1时，函数是“YZ函数”．20．（本小题满分16分）已知数列，，满足，．（1）若数列是等比数列，试判断数列是否为等比数列，并说明理由；（2）若恰好是一个等差数列的前n项和，求证：数列是等差数列；（3）若数列是各项均为正数的等比数列，数列是等差数列，求证：数列是等差数列．第II卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A．选修4—2：矩阵与变换已知列向量在矩阵M＝对应的变换下得到列向量，求．B．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，点P为曲线C上任一点，求点P到直线l距离的最大值．C．选修4—5：不等式选讲已知实数a，b，c满足a＞0，b＞0，c＞0，，求证：．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在多面体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ADE是等腰直角三角形，且∠ADE＝，EF⊥平面ADE，EF＝1．（1）求异面直线AE和DF所成角的余弦值；（2）求二面角B—DF—C的余弦值．23．（本小题满分10分）给定n(n≥3，n)个不同的数1，2，3，…，n，它的某一个排列P的前k(k，1≤k≤n)项和为，该排列P中满足的k的最大值为．记这n个不同数的所有排列对应的之和为．（1）若n＝3，求；（2）若n＝4l＋1，l，①证明：对任意的排列P，都不存在k(k，1≤k≤n)使得；②求(用n表示)．2019～2020学年度第二学期调研测试 高三数学答案一、填空题1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 二、解答题 15.（本题满分14分）证明：（1）在中，因为分别是的中点，所以， ……………2分因为，，所以． ……………6分（2）因为，，所以，在中，因为，分别是的中点，所以， ……………8分因为，所以，又因为，，所以， ……………12分因为，所以． ……………14分16.（本题满分14分）解：（1）因为，所以 ……………2分 ……………4分 当，即时，取最大值，所以的最大值为，此时的取值集合为．………7分（2）因为，则，即，因为，所以，则， ……………10分所以. ……………14分17.（本题满分14分）解：（1）在中，因为，，所以，，所以池内休息区总面积． ……………4分（2）在中，因为，，所以， ，由得， ……………6分则池内休息区总面积，； ……………9分设，，因为，又，所以，使得，则当时，在上单调增，当时，在上单调减，即是极大值，也是最大值，所以，此时． ……………13分答：（1）池内休息区总面积为；（2）池内休息区总面积最大时的长为．………14分 18.（本题满分16分）解：（1）由题意：，解得，所以椭圆的标准方程为． ……………4分（2）显然直线的斜率存在，设为且，则直线的方程为，即，联立得，解得，，所以，直线的方程为，即，所以，所以矩形面积，所以当且仅当时，矩形面积的最大值为．……………11分（3）若矩形为正方形，则，即，则 ，令，因为，又的图象不间断，所以有零点，所以存在矩形为正方形．……………16分 19.（本题满分16分）解：（1）函数是“YZ函数”，理由如下：因为，则，当时，；当时，，所以的极大值，故函数是“YZ函数”． ……………4分（2）定义域为， ，当时，，函数单调递增，无极大值，不满足题意；当时，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，所以的极大值为，由题意知，解得． ……………10分（3）证明： ，因为，，则，所以有两个不等实根，设为，因为，所以，不妨设，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减，所以的极大值为， ……………13分由得，因为，，所以．所以函数是“YZ函数”． ……………16分（其他证法相应给分）20.（本题满分16分）解：（1）设等比数列的公比为，则，当时，，数列不是等比数列， ……………2分当时，因为，所以，所以数列是等比数列． ……………5分（2）因为恰好是一个等差数列的前项和，设这个等差数列为，公差为，因为，所以，两式相减得，因为，所以，所以数列是等差数列． ……………10分（3）因为数列是等差数列，所以，又因为，所以，即 ，则，又因为数列是等比数列，所以，则，即，因为数列各项均为正数，所以， ……………13分则，即，又因为数列是等差数列，所以，即，化简得，将代入得，化简得，所以数列是等差数列． ……………16分（其他证法相应给分）数学Ⅱ（附加题）21. A． [选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）解：因为，所以，解得，……………4分设，则，即，解得， 所以， ……………8分所以. ……………10分 B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）解：由题：直线方程即为，由，得直线的直角坐标方程为，……………4分设点的坐标为，点到直线的距离，……………8分当，即时，取得最大值，此时点的坐标为. ……………10分C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）证明：由柯西不等式，得 ………………5分所以． ………………10分22.（本小题满分10分）解：因为平面平面,又，即，因为，， 平面,由四边形为边长为2的正方形,所以两两互相垂直．以为坐标原点，为一组基底建立如图所示的空间直角坐标系.………2分由平面且,（1）,，则,所以和所成角的余弦值为. ……………5分（2）,,设平面的一个法向量为，由 ,取,得,平面的一个法向量为,,由二面角的平面角为锐角,所以二面角的余弦值为.……10分23.（本小题满分10分）解：（1）的所有排列为，因为，所以对应的分别为，所以； ……………3分（2）（i）设个不同数的某一个排列为，因为，所以为奇数，而为偶数，所以不存在使得； ……………5分(ii) 因为，即，又由（i）知不存在使得，所以；所以满足的最大下标即满足 = 1 \* GB3 ①且 = 2 \* GB3 ②，考虑排列的对应倒序排列， = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②即，,由题意知，则； ……………8分又，这个不同数共有个不同的排列，可以构成个对应组合，且每组中，所以． ……………10分