2020肥东县高级中学高三5月调研考试数学（理）试题含答案

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2020届高三下学期5月调研 理科数学本试卷共23小题，满分150分，考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷 选择题（共60分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。) A. B. C. D. 2.复数,是虚数单位.若，则 （A）1 （B）-1 （C）0 （D）3.已知实数， ， ，则的最小值是 A. B. C. D. 4.已知将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则在上的值域为 A. B. C. D. 5.已知为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式的展开式中常数项的系数是 A. -20 B. 20 C. D. 606.已知椭圆的左、右焦点分别为，．也是抛物线的焦点，点为与的一个交点，且直线的倾斜角为，则的离心率为A. B. C. D. 7.函数的图象大致是 A. B. C. D. 8.下列说法中正确的是 ①“，都有”的否定是“，使”.②已知是等比数列，是其前项和，则，，也成等比数列.③“事件与事件对立”是“事件与事件互斥”的充分不必要条件.④已知变量，的回归方程是，则变量，具有负线性相关关系.A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ③④9.已知的三个内角的对边分别为，若，且，则的面积的最大值为 A. B. C. D. 10.函数，图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中，则的最小值是 A. 6 B. 7 C. 8 D. 911.已知直三棱柱中， ， ， ，则异面直线与所成角的余弦值为 A. B. C. D. 12.已知 ，当 时，的大小关系为 A. B. C. D. 第II卷 非选择题（共90分）二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 14.已知实数满足不等式组，则是最小值为 _____.15.已知双曲线的离心率为，左焦点为，点（为半焦距）. 是双曲线的右支上的动点，且的最小值为.则双曲线的方程为_____.16.边长为2的等边的三个顶点， ， 都在以为球心的球面上，若球的表面积为，则三棱锥的体积为__________．三、解答题(本大题共6小题,共70分。其中22、23为选考题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)17. （本题满分12分）已知数列{}、{}满足＋＝，数列{}的前n项和为．（1）若＝，且数列{}为等比数列，求a1的值；（2）若＝，且S71＝2088，S2018＝1880，求a1，a2的值．18. （本题满分12分）如图所示，正三棱柱的底面边长为2， 是侧棱的中点.（1）证明:平面平面；（2）若平面与平面所成锐角的大小为，求四棱锥的体积.19. （本题满分12分）某省高考改革方案指出：该省高考考生总成绩将由语文数学英语3门统一高考成绩和学生从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门等级性考试科目中自主选择3个，按获得该次考试有效成绩的考生(缺考考生或未得分的考生除外)总人数的相应比例的基础上划分等级，位次由高到低分为A、B、C、D、E五等21级，该省的某市为了解本市万名学生的某次选考化学成绩水平，统计在全市范围内选考化学的原始成绩，发现其成绩服从正态分布 ，现从某校随机抽取了名学生，将所得成绩整理后，绘制出如图所示的频率分布直方图.（1）估算该校名学生成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现从该校名考生成绩在的学生中随机抽取两人，该两人成绩排名（从高到低）在全市前名的人数记为，求随机变量的分布列和数学期望.参考数据：若，则，，.20. （本题满分12分）如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线的准线与轴交于点,过点的直线与抛物线交于两点, 设到准线的距离.（1）若,求抛物线的标准方程；（2）若,求证：直线的斜率的平方为定值.21. （本题满分12分）已知，函数在点处与轴相切（1）求的值，并求的单调区间；（2）当时，，求实数的取值范围。22. （本题满分10分）在极坐标系中，曲线C1：ρsin2θ=4cosθ．以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy，曲线C2的参数方程为： ，（θ∈[﹣ ， ]），曲线C： （t为参数）． （Ⅰ）求C1的直角坐标方程；（Ⅱ）C与C1相交于A，B，与C2相切于点Q，求|AQ|﹣|BQ|的值．23. （本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数的一个零点为2.（1）求不等式的解集；（2）若直线与函数的图象有公共点，求的取值范围.参考答案1.B【解析】求解函数的定义域可得： ，则求解指数不等式可得： ，结合交集的定义可得： .本题选择B选项.2.D.【解析】试题分析：由题意得，，故选D．3.B【解析】∵， ， ∴ 当且仅当，即， 时取等号.故选B4.B【解析】因，故，因，故，则，所以，应选答案B。5.A【解析】模拟程序框图的运行过程，如下： ，是， ； ，是， ； ，是， ； ，否，退出循环，输出的值为二项式的展开式中的通项是，令，得常数项是，故选A.6.B【解析】由题意可得：c==．直线AF1的方程为：y=x+c．联立，解得A（c，2c），代入椭圆方程可得：，即，化为：e2+ =1，解出即可得出．详解：由题意可得：c==直线AF1的方程为y=x+c．联立，解得x=c，y=2c．∴A（c，2c），代入椭圆方程可得：，∴，化为：e2+=1，化为：e4﹣6e2+1=0，解得e2=3，解得e=﹣1．故答案为：B7.A【解析】由题意，所以函数为偶函数，图象关于轴对称，排除B、C；又由，排除D，故选A.8.D【解析】①“，都有”的否定是“，使”，该说法错误；②当数列的公比为-1时，可能是0，该说法错误.③对立一定互斥，互斥不一定对立，故“事件与事件对立”是“事件与事件互斥”的充分不必要条件，该说法正确.④ 则变量，具有负线性相关关系，该说法正确.综合可得：正确的说法是③④.本题选择D选项.9.B【解析】，由于为定值，由余弦定理得 ，即.根据基本不等式得，即，当且仅当时，等号成立. ，故选.10.C【解析】令对数的真数等于1，求得的值，可得函数的图象恒过定点A的坐标，根据点A在一次函数的图象上，可得，再利用基本不等式求得的最小值．解：对于函数，令，求得，，可得函数的图象恒过定点，若点A在一次函数的图象上，其中，则有，则，当且仅当时，取等号，故的最小值是8，故选：C．11.C【解析】如图所示,设分别为和的中点，则夹角为和夹角或其补角(因异面直线所成角为，可知，；作中点Q，则为直角三角形；∵，中，由余弦定理得，∴，∴；在中, ；在中，由余弦定理得又异面直线所成角的范围是，∴与所成角的余弦值为。故选C.12.B【解析】取，则.所以 .故选B.13.14.-13【解析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z＝2x+y对应的直线进行平移，可得当x＝y＝1时，z＝2x+y取得最小值．作出不等式组表示的平面区域：得到如图的阴影部分，由 解得B（﹣11，﹣2）设z＝F（x，y）＝x+y，将直线l：z＝x+y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最小值，∴z最小值＝F（﹣11，﹣2）＝﹣13．故答案为：﹣1315.【解析】由，可知，而的最小值为，结合离心率为2，联立计算即可。设双曲线右焦点为，则，所以，而的最小值为，所以最小值为，又，解得，于是，故双曲线方程为.16.【解析】设球半径为，则，解得．设所在平面截球所得的小圆的半径为，则．故球心到所在平面的距离为，即为三棱锥的高，所以．答案： 17.（1）； （2）.【解析】（1）依题意，，即；故当时，，，……，，将以上各式累加得，故，因为为等比数列，故；（2）依题意，，故 ①， ②，①+②得， ，数列是一个周期为6的周期数列，设，，则，，，，，，…… ，即数列的任意连续6项之和为0， 因为，故；因为，故；解得，， 即.18.解析：（1）如图①，取的中点， 的中点，连接，易知又，∴四边形为平行四边形，∴.又三棱柱是正三棱柱，∴为正三角形，∴.又平面，,而，∴平面.又，∴平面.又平面，所以平面平面（2）（方法一）建立如图①所示的空间直角坐标系，设，则，得即.所以.（方法二）如图②，延长与交于点,连接.∵, 为的中点，∴也是的中点, 又∵是的中点,∴.∵平面,∴平面.∴为平面与平面所成二面角的平面角.所以,∴. 19. 【解析】（1）（2）该校名考生成绩在的人数为而,则，所以，所以全市前名的成绩在分以上，上述名考生成绩中分以上的有人.随机变量,于是,,的分布列：所以数学期望.20.解析：（1）,设抛物线的焦点为,,即轴,, 即,得,所以抛物线的方程为.（2）设,直线的方程为,将直线的方程代入,消去得,由得.所以.,又,所以,所以,即直线的斜率的平方为定值.21.【解析】（Ⅰ）函数在点处与轴相切．，依题意，解得，所以．当时，；当时，．故的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）令，．则，令，则，（ⅰ）若，因为当时，，，所以，所以即在上单调递增．又因为，所以当时，，从而在上单调递增，而，所以，即成立．（ⅱ）若，可得在上单调递增．因为，，所以存在，使得，且当时，，所以即在上单调递减，又因为，所以当时，，从而在上单调递减，而，所以当时，，即不成立．综上所述，的取值范围是．22.解：（Ⅰ）∵x=ρcosθ，y=ρsinθ， 由ρsin2θ=4cosθ，得ρ2sin2θ=4ρcosθ，∴曲线C1的直角坐标方程为：y2=4x．（Ⅱ）设Q（cosθ，sinθ），（θ∈[﹣ ， ]），由题意知直线C的斜率k= ，所以 ，即 =tanθ=﹣ ，所以 ，故Q（ ，﹣ ）．取 ， ，不妨设A，B对应的参数分别为t1 ， t2 ． 把 ，代入y2=4x，化简得 ，即3t2﹣（8+2 ）t﹣8 =0，∵C与C1相交于A，B，∴△＞0，t1+t2= ．∴|AQ|﹣|BQ|=|t1+t2|= 23.（1）（2）【解析】（1）由， ，得，∴，∴或或，解得，故不等式的解集为.（2），作出函数的图象，如图所示，直线过定点，当此直线经过点时， ；当此直线与直线平行时， .故由图可知， .