2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学3

2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练（2）

数学科试题

注意事项：

1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知为虚数单位，复数的共扼复数在复平面内对应的点位于（　　）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 现有橡皮泥制作的表面积为的球，若将其重新制作成体积不变，高为1的圆锥，则圆锥的母线长为（   ）

A.  B. 2 C.  D. 1

4. 已知角的终边上一点P的坐标为，则角的最小正值为（   ）

A.  B.  C.  D.

5. 如图是民航部门统计的年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（   ）

A. 深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高

B. 深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降

C. 平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门

D. 平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州

6. 已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数a的值是（   ）

A.  B.  C.  D.

7. 抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于（   ）

A. 2 B.  C.  D. 4

8. 已知，则（    ）

A.  B.  C. a<c<b

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9. 设，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知双曲线，则（    ）

A. 双曲线的焦点在轴上

B. 双曲线的焦距等于

C. 双曲线的焦点到其渐近线的距离等于

D. 双曲线的离心率的取值范围为

11. 已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A. 若对于任意的，都有成立，则

B. 若对于任意的，都有成立，则

C. 当时，若在上单调递增，则的取值范围为

D. 当时，若对于任意的，函数在上至少有两个零点，则的取值范围为

12. 在数列中，对于任意的都有，且，则下列结论正确的是（    ）

A. 对于任意的，都有

B. 对于任意的，数列不可能为常数列

C. 若，则数列为递增数列

D. 若，则当时，

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 若，，则___________.

14. 拋物线焦点为F，点为C上一点，若，则___________.

15. 的展开式中常数项为___________.

16. “物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二.问物几何？”它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的.大衍求一术（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题.已知问题中，一个数被除余，被除余，被除余，则在不超过的正整数中，所有满足条件的数的和为___________.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积.

(1)求角A的值；

(2)延长AC至点D，使得CD＝AC，且BD＝2BC，若c＝6，求△ABC的周长.

18．如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，，O分别是上、下底面圆的圆心，EF是底面圆的一条直径，DE＝DF.

(1)证明：EF⊥AB；

(2)若，求平面BCF与平面CDE所成锐二面角的余弦值.

19．为了让人民群众过一个欢乐祥和的新春佳节，某地疫情防控指挥部根据当地疫情防控工作部署，安排4名干部和三个部门（A，B，C）的16名职工到该地的四个高速路口担任疫情防控志愿者，其中16名职工分别是A部门8人，B部门4人，C部门4人.

(1)若从这16名职工中选出4人作为组长，求至少有2个组长来自A部门的概率；

(2)若将这4名干部随机安排到四个高速路口（假设每名干部安排到各高速路口是等可能的，且各位干部的选择是相互独立的），记安排到第一个高速路口的干部人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.

20．设数列的前n项和为，，．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，若数列是递增数列，求t的取值范围．

21．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，椭圆C的离心率小于.点P在椭圆C上，，且面积的最大值为.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)点M（1，1），A，B是椭圆C上不同的两点，点N在直线l：上，且，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

22．已知函数.

(1)当m＝1时，求f（x）在[1，e]上的值域；

(2)设函数f（x）的导函数为，讨论零点的个数.

2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练（2）

数学科试题答案及评分标准

1.【详解】由，故，，

故选：B

2.【详解】∵，故，

 ∵   ∴在第二象限，故选B

3.【详解】表面积为的球半径为1，其体积为，而圆锥的高，

设圆锥的母线长为，则有圆锥底面圆半径，圆锥体积为，

依题意，，而，解得，所以圆锥的母线长为.故选：A

4.【详解】因为，，

所以角的终边在第四象限，根据三角函数的定义，可知

，故角的最小正值为．故选：D．

5.【详解】从折线图看，深圳的涨幅最接近，从条形图看，北京的平均价格最高，故A正确；

从折线图看，深圳和厦门的涨幅均为负值，故B正确；

从折线图看，平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、南京，故C错误；

从条形图看，平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州，故D正确.故选：C.

6.【详解】由题知圆的标准方程为，

则圆心坐标为，半径，

圆截直线所得弦的长度为4，

，解得.故选：C.

7.【详解】解：抛物线的准线为，

双曲线的两条渐近线方程分别为：，，

设准线与这两条渐近线的交点分别为,则

则,

则准线与两条渐近线所围成的三角形的面积为 故选：C．

8.详解】，，

设，， 当时，

与相交于点和原点

时，

，即故选：D.

9．AC   10.ACD   11.ACD   12.ACD

【13题答案】

【答案】

【14题答案】

【答案】

【15题答案】

【答案】

【16题答案】

【答案】

17．(1)；

(2)

【解析】

【分析】

（1）化简即得解；

（2）设，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，解方程即得解.

(1)

解：由题得. 因为.

(2)

解：如图，设，

在中，由余弦定理得，（1）

在中，由余弦定理得，

即，（2），（1）（2）得 .

所以△ABC的周长为.

所以△ABC的周长为.

18．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）通过证明来证得平面，由此证得.

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面BCF与平面CDE所成锐二面角的余弦值.

(1)

由于是的中点，所以，

根据圆柱的几何性质可知，

由于，所以平面，

所以.

(2)

由（1）知，

根据圆柱的性质可知，

以为原点建立如图所示空间直角坐标系，

设，

则，

，

设平面的法向量为，

则，故可设，

同理可求得平面的法向量为，

设平面BCF与平面CDE所成锐二面角为，

则.

19．(1)

(2)分布列见解析，数学期望为

【解析】

【分析】

（1）根据古典概型的概率计算公式，计算出所求概率.

（2）利用二项分布的知识计算出分布列并求得数学期望.

(1)

从这16名职工中选出4人作为组长，求至少有2个组长来自A部门的概率为：

.

(2)

依题意可知且，

所以，

，

，

，

，

故分布列为：

数学期望.

20．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）由题意得到，两式相减化简得到，得到，再结合，得到数列是以3为首项，3为公比的等比数列，进而求得数列的通项公式；

（2）由（1）得到，得出，两式相减得到，根据题意得到，结合为奇数和n为偶数，两种情况讨论，结合单调性，即可求解.

(1)

解：因为数列的前n项和为，，，

当时，，

两式相减可得，

即，可得，即，

当时，，所以，所以，

所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，

所以，即，

所以数列的通项公式.

(2)

解：由，所以，可得，

则，

因为数列是递增数列，所以，即，

当为奇数时，，即，

又由，

所以数列单词递减，所以；

当n为偶数时，，即，

同理可得，数列单调递增，所以.

综上可得，实数t的取值范围为.

21．(1)

(2)是定值，定值为

【解析】

【分析】

（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的标准方程.

（2）设出直线的方程，分别与椭圆以及直线联立，求得三点坐标间的关系，由此计算出为定值.

(1)

，则，

当为上顶点或下顶点时，的面积最大，，

由解得.

所以椭圆的方程为.

(2)

由于，，所以四点共线，

由（1）得椭圆的方程为，故在椭圆内，

所以直线与椭圆必有两个交点，不妨设在之间，在的延长线上，

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，

，即,

，即.

由，得，

所以.

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

由消去并化简得，

.

由解得，

由，得，

所以

.

综上所述，为定值，且定值为.

22．(1)

(2)答案详见解析

【解析】

【分析】

（1）通过多次求导的方法判断出在区间上的单调性，由此求得在上的值域.

（2）令，对进行分类讨论，结合导数判断出零点个数.

(1)

当时，，

，′

所以在上递增，，

所以在上递增，，

所以在上递增，.

所以在上的值域.

(2)

，，

当时，，，即是的唯一零点.

当时，，结合的图象以及性质可知，

，在区间递减；

在区间递增，所以，故.

，，

所以在区间递减；在区间递增，

所以，所以在区间上有.

所以，没有零点.

当时：

令，

，

所以在上递增，

由与的图象可知，在区间上，存在唯一，使①，

即.

所以在区间递减；在区间递增，

所以当时，取得极小值也即是最小值，

由①得，所以；

由①得，

所以

，

当且仅当时等号成立.

所以当，即时，，则也即没有零点；

当，即时，也即有唯一零点.

当，即，，则也即有个零点.

综上所述：

当或时，有唯一零点；

当时，没有零点；

当，时，有个零点.

【点睛】

在利用导数求解函数单调性、极值、最值的过程中，若一次求导无法解决的，可考虑二次或多次求导来进行求解.求解过程中要注意导函数和原函数之间的关系.