高中数学竞赛专题6 数列（附解析）

这是一份高中数学竞赛专题6 数列（附解析），共36页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

【高中数学竞赛专题大全】
竞赛专题6 数列
（50题竞赛真题强化训练）
一、填空题
1．（2020·江苏·高三竞赛）已知正实数，，满足，则的最小值为__________．
【答案】10
【解析】
【详解】
解析：易知恒等式，而
，
当且仅当，时，等号成立．
故答案为：10.
2．（2021·全国·高三竞赛）已知，则的最大值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】
，当且仅当时取到等号．
故答案为：.
3．（2021·全国·高三竞赛）已知正实数满足，则的最小值为________．
【答案】##0.5
【解析】
【详解】
由柯西不等式知

，
且，所以，
且当时取到等号．
故答案为：.
4．（2021·全国·高三竞赛）实数a､b满足，则的最大值是___________.
【答案】
【解析】
【详解】
解析：不妨设，则：

，
当且仅当时等号成立，
故的最大值为，
故答案为：.
5．（2021·全国·高三竞赛）已知圆与轴相交于两点，抛物线与圆相交于两不同的点，则梯形面积的最大值是___________.
【答案】
【解析】
【详解】
解析：设点，则梯形的面积为，
而消元，可得面积为，
故，当且仅当时等号成立，
故面积最大值为.
故答案为：.
6．（2020·浙江·高三竞赛）设，则__________.
【答案】.
【解析】
【详解】
设，则，
所以.
设给定的正实数，，
令，解得，，所以.
则，
当且仅当 ，时等号均成立，
故的最大值为,
故答案为：.
7．（2021·全国·高三竞赛）设满足，则的最大值是___________.
【答案】
【解析】
【详解】
取，使.
由于，
所以


.
最大值为.
故答案为：.
8．（2021·全国·高三竞赛）设n是给定的正整数，是非负实数，，则的最小值是___________.
【答案】
【解析】
【详解】
先证明，①
事实上，两边平方后，化简可得上述不等式等价于
，②
由于，于是②式成立，所以①成立.
类似可证明
最后可得.③
当时，③中的“”即为“”.
所以最小值为.
故答案为：.
9．（2021·浙江·高三竞赛）已知，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】
因为

.
当，时，取得最小值.
故答案为：.
10．（2021·浙江·高三竞赛）使得对一切正实数，恒成立的最大实数为______.
【答案】9
【解析】
【分析】
【详解】
不妨设,则有,
令,则有.
则有,
整理得.
即有,
则恒成立,则有.
故答案为：9.
11．（2021·浙江·高三竞赛）若，则函数的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】
令，
,
当且仅当即时取等号.
故答案为：.
12．（2021·全国·高三竞赛）已知等腰直角的三个顶点分别在等腰直角的三条边上，记、的面积分别为、，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】
（1）当的直角顶点在的斜边上，如图1所示，则P，C、Q，R四点共圆，，所以．
在、中分别应用正弦定理得．
又，故，即R为的中点．
过R作于H，则，
所以，此时的最小值为．

（2）当的直角顶点在的直角边上，如图2所示．
设，
则．
在中，，在中，
，
由正弦定理，，因此．
这样，，
当且仅当时取等号，此时的最小值为．
故答案为：.
13．（2021·全国·高三竞赛）已知非负实数x、y、z满足，则的最小值为__________．
【答案】3
【解析】
【分析】
【详解】
设，则．又因为，
所以，．
点在圆心为，半径为2的圆上运动，
结合几何意义和，知，当时，有最小值3，
且当时等号成立．
故答案为：3.
14．（2021·全国·高三竞赛）已知两个非零向量满足，则的最大值是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】
设，则．则：




.
当且仅当，即时，等号成立．即最大值为.
故答案为：.
15．（2021·全国·高三竞赛）设三个不同的正整数成等差数列，且以为三边长可以构成一个三角形，则的最小可能值为________.
【答案】10
【解析】
【分析】
【详解】
设为正整数，由于以为三边长可以构成一个三角形，
则，
所以，
于是，即有.
故答案为：10.
16．（2021·全国·高三竞赛）设，且满足，则的最大值为_________．
【答案】12
【解析】
【分析】
【详解】
注意到，
解得，
而时取到最大值12．
故答案为：12.
17．（2021·全国·高三竞赛）设正实数满足，则最大值为_________．
【答案】
【解析】
【详解】
解析：最大值为．
记，则，故，即，对,
求和，并结合算术-几何平均不等式，
有，
故，等号当时取到．
所以原式的最大值为．
故答案为：.
18．（2021·浙江·高三竞赛）一条直线上有三个数字，，，数字位于，之间，称数值为该直线的邻差值.现将数字1~9填入的格子中，每个数字均出现，过横向三个格子､竖向三个格子及对角线三个格子共形成8条直线.则这8条直线的邻差值之和的最小值为______，最大值为______.
【答案】     36     60
【解析】
【分析】
【详解】
如图1,这8条直线的邻差值之和：
,
利用局部调整法,当时，有最小值.
当如图2排列时，有最大值.
故答案为：36,60.

19．（2021·全国·高三竞赛）已知正整数，且，设正实数满足，则的最小值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】
令．
由题设可得，于是：
，
，
……
，
将上述各式利用均值不等式得：
，
，
……
，
再把上述个不等式相乘，得
，
即．
由于，故，
当且仅当时上式等号成立．
故答案为：.
二、解答题
20．（2021·全国·高三竞赛）求所有的正实数，使得存在实数满足．
【答案】
【解析】
【详解】
设，则不等式化为．
当时，；
当时，；当时，．
因此不等式可化为．
设，考虑在1和之间恒小于零，则，
故，
解得．所以的取值范围是．
21．（2021·全国·高三竞赛）设m为正整数，且，求所有的实数组，使得，对所有成立．
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】
第一步化简原式，第二步利用不等式即可得到或，这两种情况是对称的，不妨证明的时候成立，所以原式成立.
【详解】
由已知 ，得 ，故全相等．
注意到若实数满足，则，即．因此，．
设中有，个b，则有，且
，
即．
由不等式，若，
，
因此必取等，即或，这两种情况是对称的，不妨，则
，
知，则．
若，则，即．
若，则，即．
综上可知，要么1个个；要么全是．
22．（2021·全国·高三竞赛）求最大的正实数，使得对任意正整数n及正实数，均有．
【答案】的最大值为3．
【解析】
【分析】
先取，通过对其求和可得的范围，再利用放缩法可得，最后求出最大的正实数的值.
【详解】
一方面，取，得

即
．
令，得．
另一方面对正实数x，y有，故
，
，
，
……
．
以上各式相加，得
．
故时，原不等式恒成立．综上，的最大值为3．
23．（2021·全国·高三竞赛）已知证明：存在，使得.
【答案】证明见解析
【解析】
【详解】
不妨，设，
当时，因为，
即，当且仅当时，等号成立.
故，所以存在，使得，即.
所以存在，使得.
24．（2020·浙江·高三竞赛）设非负实数，，，证明：.
【答案】证明见解析
【解析】
【详解】
证 设，
问题等价于证明：，
当时，不等式显然成立；
故即证：，其中.
而.
设，探究与在的大小，
即比较与在的大小，
.
注意
，
所以命题得证.
25．（2021·全国·高三竞赛）已知正实数a、b、c，满足，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【详解】
由于齐次，不妨令，则．
记


．
又由基本不等式可得，故，
故，所以，因此．
26．（2021·全国·高三竞赛）求所有实数p，使得对任意实数a､b均有.
【答案】p的取值范围是.
【解析】
【详解】
易见a､b同号.
令，则，所以.
令，则，所以.
下面说明当时，原不等式成立.
若，则，所以原不等式成立.
若，则.
因为，
以及.
又因为，所以.
于是原不等式也成立.
综上所述，p的取值范围是.
27．（2021·全国·高三竞赛）求c的最大值，使得对任意的正实数x、y、z，均有，其中“”表示轮换对称求和．
【答案】．
【解析】
【分析】
【详解】
注意到，由不等式的轮换对称性，不妨设x最小，则，其中．所以，原式等价于：
，
化简得．
由，且x可无限接近于0，得，对成立．
又，为了求c的最大值，可不妨设．
令，，
设，
则，
所以在上严格单调递增．
而，
解得，所以在上单调递减，在上单调递增．
故，
所以，c的最大值为．
28．（2021·全国·高三竞赛）求所有实数满足：．
【答案】，其中．
【解析】
【分析】
【详解】
记，不妨，
于是有．
平方整理得，
于是有，
所以．
相应的．
由，即，符合假设．
由，即，又，符合假设．
综上，，其中．
29．（2021·全国·高三竞赛）已知是正实数，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
【详解】
要证明原不等式，只要证明，
即证，
只需证明．
记，则只需证明，
即证，
即证                       （*）
注意到，所以，
所以，
即（*）成立，所以原命题成立．
30．（2021·全国·高三竞赛）已知，求证：.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
【详解】
构造一次函数.
根据一次函数的单调性，只需证明和.
因为，
由题设，，所以，
所以.
又因为.
综上，原不等式成立.
31．（2021·全国·高三竞赛）已知函数，记的最大值为．当b、c变化时，求的最小值．
【答案】．
【解析】
【分析】
【详解】
因为对任意的，所以取，0，得：

则，
故，
则，所以，
此时可取，
此时．显然可以取到．
综上，的最小值为．
32．（2021·全国·高三竞赛）在平面内画出条直线，把平面分成若干个小区域，其中一些区域涂了颜色，且任何两个涂色区域没有公共边界（可以有公共顶点）.证明：涂色区域的个数不超过.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
讨论这条直线的位置关系，当所画直线均两两平行，当所有的直线不全平行时，当只有两条线为边界的区域的区界是两条射线.对每种关系进行一一讨论，即可证明.
【详解】
若所画直线均两两平行，则把平面分成个区域，当n为偶数时，涂色区域个数不超过；当n为奇数时，涂色区域个数不超过.且.
当所有的直线不全平行时，此时每条直线都被与之相交的直线分成了线段或射线，故没有边界为直线的区域.设边界的线（线段或射线）的条数为i的涂色区域有个，且边界上最多k条线.
只有两条线为边界的区域的区界是两条射线，每条射线只能作一次涂色区域的边界，n条直线上只有条射线，从而.
又每条直线至多分成了n段，n条直线至多分成段，且每段只能作一条涂色区域的边界，所以，于是涂色区域的个数
.
33．（2021·全国·高三竞赛）设n是一个大于等于3的正整数，当n满足什么条件时，对任意实数总成立：.
【答案】或
【解析】
【详解】
当且仅当或时成立.
设
，
首先给出反例：
时，，，不等式不成立.
时，，，不等式不成立.
或时不等式成立，理由如下：
时，设a､b､c是实数，即证：
显然成立.
时，设a､b､c､d､c是实数，即证：

式子是完全对称的，可设，那么，
.
因此，同理，
.
又，三个式子相加得证.
34．（2021·全国·高三竞赛）设函数有三个正零点，求的最小值.
【答案】
【解析】
【详解】
一方面，当时，方程，故此函数有三个相等的零点，此时，下面证明即为所求的最小值.
设方程的三个正实根分别为､､，
则由根与系数的关系可得.
故.
由知：，可得.①
又由知：，可得，
从而有，
故，解得，所以，即，
所以②
由①②可得
，其中，
设，则，
故在为减函数，故.
故.
35．（2021·全国·高三竞赛）证明：对每个大于1的奇数，是无理数.
【答案】证明见解析
【解析】
【详解】
假设存在大于1的奇数是有理数.
设，
则，.
下面证明：对任何正整数，且，①
时结论成立.
设，且，
由得：
.
设，则，且.
因此，①对一切正整数都成立，所以，
故，因此.
，所以或2的方幂，这与是大于1的奇数矛盾.
36．（2021·全国·高三竞赛）已知.求证：.
【答案】证明见解析
【解析】
【详解】
当时，，并且时，，
因此，对任意，存在唯一的，使得.
则有，所以.
同理，，
所以（其中充分大使得）



.
37．（2021·全国·高三竞赛）已知正实数a、b、c满足．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【详解】
证明：由，得
．
接下来只需要证明：，
其中，正实数a，b，c满足．
事实上，由柯西不等式，得：

．
而



．
所以．
故原不等式成立．
38．（2021·全国·高三竞赛）若数列，求证：存在无穷多个正整数n，使得，并确定是否存在无穷多个正整数n使得？（这里表示不超过x的最大整数）
【答案】证明见解析，存在无穷多个n，使.
【解析】
【详解】
用表示正整数i的正因数个数，
则.
所以若取，
则，
所以.
而
.
所以，于是，故存在无穷多个n使.
若取（p为质数，），
则，.
当时，
.
所以.
所以，于是.
故存在无穷多个n，使.
39．（2021·全国·高三竞赛）已知椭圆，点P、Q在椭圆C上，满足在椭圆C上存在一点R到直线、的距离均为，证明：．
【答案】证明见解析
【解析】
【详解】
设，，，
则根据题意，、是关于k的方程的两个实根，
该方程即，
于是．


，
原命题得证．
40．（2021·全国·高三竞赛）设x、y、z均为非负实数，且满足：，求的最大值与最小值．
【答案】；48．
【解析】
【详解】
由柯西不等式：
，
从而得到，将条件改写为，
利用，可知

从而，得到
，
进而，当时取到等号．
另一方面，，
得到，
故，
从而，
因为，
进而，
解得，故得到，
当时取到等号．
41．（2021·全国·高三竞赛）对每一个正整数，求最大的常数使得不等式对任意满足的实数成立．
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】
首先，我们证明；
若n为偶数，设，取，此时．
所以．
若n为奇数，设，取，
此时，．
所以，所以对均有．
下面我们证明满足条件，即．
又．
因为，所以．所以，得证．
所以的最大值为．
42．（2021·全国·高三竞赛）已知正实数满足．证明：．
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】
【详解】
当时，由平均值不等式知．
又，则，所以


．
当时，即证．
由于，所以

，
所以．
命题得证．
43．（2021·全国·高三竞赛）已知为正实数，且满足，求证：！．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
【详解】
设，则有，命题即证．
（1）若对于所有，有，则．
（2）若存在某一个，有.
设，则有，
则.
注意到，
故只需证，
即．
又因为，
故
因此命题成立．
44．（2021·全国·高三竞赛）设是连续个正整数组成的集合，求最小的正整数k，使得M的任何k元子集中都存在个数满足．
【答案】．
【解析】
【分析】
【详解】
记，任何一个以i为首项，2为公比的等比数列与A的交集设为．
一方面，由于M中个元的子集中不存在题设的个数，否则，而，矛盾．
故．
另一方面，时，题设满足.
若非如此，考虑以为首项，以2为公比的等比数列．其与M的交集的元素个数为个．
设M任何k元子集为T，则上述等比数列与M的交集中至少有个元素不在T中，而时，．
注意到所以，
可得与矛盾．
综上，所求k为．
45．（2021·全国·高三竞赛）设为正实数，求证：．
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】
【详解】
根据伯努利不等式，有，
故只需证明．
因为，
从而．
不妨设，由伯努利不等式可得：


，
从而．
46．（2021·全国·高三竞赛）已知，求证：．
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】
【详解】
因为


，
所以
，
当且仅当时等号成立．
以下配对柯西约分：
因为，
，
……，
显然柯西不等式等号不成立．
所以，
即.
47．（2021·全国·高三竞赛）设正实数满足对任意有，求证：!．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
【详解】
令，条件转化为对任意有．
要证不等式即．
若对任意均有，则左式．
否则恰存在一个使得，记，则对任意，有．
于是左式．
即只需证：．                           ①
由不等式知
①式左端．
显然，因此①式成立，即证原不等式成立．
48．（2021·全国·高三竞赛）已知，且满足，求的最大值.
【答案】当为偶数时，最大值为，当n为奇数时，最大值为.
【解析】
【分析】
【详解】
当且仅当时等号成立.
（1）当为偶数时，最大时，显然需满足，否则用替换依然满足条件，且值增大.
设，所以.
当且仅当（为奇数，为偶数或为偶数，为奇数）时等号成立.
（2）当为奇数时，必存在同号，不妨设同号，则：
.
不妨设，则，所以：
.
当且仅当或时等号成立.
49．（2021·全国·高三竞赛）设，记：，其中求和是对1，2，…，n的所有个k元组合进行的，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
【详解】
任取，由柯西不等式，有：

．
所以．
其中求和对1，2，…，n的所有个元组合进行．
上式左边实际上是一些k元组合的求和，因对任意k元组合，选这k个数的元组合有个（余下的个数中任意一个数都与其构成一个元组合），
故．
这样便有，
所以．
再注意到，即得：
．
这就证明了，其中．
即有．
50．（2021·浙江·高二竞赛）设，，，，
证明.
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】
【详解】
等价于已知，，，，证：，
由三元均值不等式有，
由柯西不等式有，
所以有，
则可知，
由柯西不等式有，
则有.
，∴，
又∵，
所以,
所以原不等式成立.