2022池州贵池区高一下学期期中考试数学试题含答案

贵池区2021～2022学年度第二学期期中教学质量检测

高一数学试题

考试时间：120分钟

第Ⅰ卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设，为虚数单位，则与的关系是（）

A.  B.  C.  D.

2. .如图，在ABC中，＝，，若＋μ，则λ＋μ的值为（）

A.  B.  C.  D.

3. 某人从出发点向正东走后到，然后向左转150°再向前走到，测得的面积为，此人这时离出发点的距离为（）

A B.  C.  D.

4. 直角三角形直角边长分别为1，，以边长为1的直角边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周所得几何体的侧面积等于（）

A B.  C. 2 D. 1

5. 将一个长方体沿从同一个顶点出发三条棱截去一个棱锥，棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为（）.

A.  B.  C.  D.

6. 已知菱形的边长为，，则的值为（）

A.  B.  C.  D.

7. 已知正三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，其侧棱长为，底面边长为4，则球O的表面积是（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知点C为扇形AOB的弧上任意一点，且∠AOB＝120°，若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围为（）

A. [－2，2] B. (1，]

C. [1，] D. [1，2]

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 八卦是中国古老文化的深奥概念，其深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中O为正八边形的中心，且，则（）

A.  B.

C.  D.

10. 已知向量，，则（）

A.  B.

C. 向量在向量上的投影向量是 D. 是向量的单位向量

11. 已知复数满足，，则实数的值可能是（）

A1 B.  C. 0 D. 5

12. 在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，的面积为S，下列与有关的结论，正确的是（）

A. 若为锐角三角形，则

B. 若，则

C. 若，则一定等腰三角形

D. 若为斜三角形，则

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13. 一水平位置的平面图形的斜二测直观图是一个底平行于轴，底角为，两腰和上底长均为2的等腰梯形，则这个平面图形的面积是__________．

14. 如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为的正，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是__________m．

15. 已知向量，若与平行，则实数m等于______.

16. 张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，分别是角是的对边，已知，，求边，显然缺少条件，若他打算补充的大小，并使得有两解，那么的取值范围是____________

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知复数z满足|3+4i|+z=1+3i.

(1)求；

(2)求的值.

18. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶到A处时测得公路北侧一山顶D在北偏西45°的方向上，仰角为α，行驶300米后到达B处，测得此山顶在北偏西15°的方向上，仰角为β，若β=45°，则此山的高度CD和仰角α的正切值．

19. 已知圆锥的底面半径，高

（1）求圆锥的表面积和体积

（2）如图若圆柱内接于该圆锥，试求圆柱侧面积的最大值

20. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求角A的大小；

（2）若，求面积的最大值及此时边b，c的值．

21. 已知向量.

（1）若函数，求函数的最大值及相应自变量的取值；

（2）在中，角、、所对的边边长分别为、、，若，，求的取值范围.

22. 在①，其中为角的平分线的长（与交于点），②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.在中，内角，，的对边分别为，，，______.

（1）求角的大小；

（2）若，，为的重心，求的长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

1【答案】C

2【答案】A

3【答案】D

4【答案】A

5【答案】D

6【答案】B

7【答案】D

8【答案】D

9【答案】BC

10【答案】AD

11【答案】ABC

12【答案】ABD

13【答案】##

14【答案】

15【答案】

16【答案】

17【答案】（1）；（2）2

18【答案】300，．

19【答案】（1）,;

（2）.

【小问1详解】

∵圆锥底面半径R=6，高H=8，

圆锥的母线长，

则表面积，体积.

【小问2详解】

作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示,

其中，

设圆柱底面半径为r，则，即 .

设圆柱的侧面积为.

当时，有最大值为.

20【答案】（1）

（2）最大值为，，

【小问1详解】

在中由正弦定理得：，，

所以，即，

化简得：，

即，∵，

∴，∴，

∵，∴.

【小问2详解】

由余弦定理得，又，，

∴，

又，∴，

当且仅当时，取到等号.

则，

∴的面积最大值为，当且仅当时等号成立，

即此时，.

21【答案】（1）最大值1，相应自变量的取值为；（2）.

【详解】（1），

，

当时，即时，取到最大值，

，相应自变量的取值为；

(2)，且，

，

解得，

由余弦定理，

由基本不等式得，

即，即（当且仅当时，取“=”），

又三角形两边之和大于第三边，

，

的取值范围为.

22【答案】（1）；（2）.

【详解】（1）方案一：选条件①.

由题意可得，∴.

∵为平分线，，

，即

又，∴，即，

∵，∴，

∴，∴.

方案二：选条件②.

由已知结合正弦定理得，

由余弦定理得，

∵，∴.

方案三：选条件③.

由正弦定理得，，

又，∴，

∴，

∴，

易知，

∴，∵，∴.

（2）在中，由余弦定理可得，，

∴，∴.

延长交于点，

∵为的重心，∴为的中点，且.

在中，由余弦定理可得，，

∴，∴.