2022-2023学年四川省巴中市高三上学期零诊考试数学（理科）试题含答案

四川省巴中市2022-2023学年高三上学期零诊考试

数学（理科）试题

一、单选题

1．设全集，若集合满足．则（       ）

A． B． C． D．

2．若复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为（       ）

A． B． C．3 D．－3

3．已知直线：，：，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为（       ）

A． B． C． D．

5．已知，是两个不同的平面，，是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（       ）

A．若，，则 B．若，，，则

C．若，，，则 D．若，，，则

6．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，且，则（       ）

A． B．4 C． D．

7．函数在区间上的图象为（       ）

A． B．

C． D．

8．已知等差数列的前项和为，若，且，则（       ）

A．0 B．1 C．2022 D．2023

9．已知点在直角的斜边上，若，，则的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

10．设，若函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

11．已知定义在上的函数满足，当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

12．已知，，，则（       ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．已知，若，则______．

14．某智能机器人的广告费用（万元）与销售额（万元）的统计数据如下表：

根据上表可得回归方程，据此模型预报广告费用为8万元时销售额为______万元．

15．在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球的体积为______．

三、双空题

16．在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则______，的取值范围为______．

四、解答题

17．已知数列的前项和为，若，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列满足，求数列的前项和．

18．自《“健康中国2030”规划纲要》颁布实施以来，越来越多的市民加入到绿色运动“健步走”行列以提高自身的健康水平与身体素质．某调查小组为了解本市不同年龄段的市民在一周内健步走的情况，在市民中随机抽取了200人进行调查，部分结果如下表所示，其中一周内健步走少于5万步的人数占样本总数的，45岁以上（含45岁）的人数占样本总数的．

(1)请将题中表格补充完整，并判断是否有90%的把握认为该市市民一周内健步走的步数与年龄有关；

(2)现从样本中45岁以上（含45岁）的人群中按一周内健步走的步数是否少于5万步用分层抽样法抽取8人做进一步访谈，然后从这8人中随机抽取2人填写调查问卷，记抽取的两人中一周内健步走步数不少于5万步的人数为，求的分布列及数学期望．

附：

，其中．

19．如图，正方形和直角梯形所在平面互相垂直，，，且，．

(1)证明：平面；

(2)求二面角的余弦值．

20．已知椭圆：的左、右顶点分别为、，点在椭圆上，且直线的斜率与直线的斜率之积为．

(1)求椭圆的方程；

(2)若圆的切线与椭圆交于、两点，求的最大值及此时直线的斜率．

21．已知函数，其导函数为．

(1)证明：当时，函数有零点；

(2)若对任意正数，且，总存在正数使得．试探究与的大小，并说明理由．

22．在直角坐标系中，直线经过点，倾斜角为．以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线的极坐标方程为．

(1)求直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；

(2)设直线与曲线相交于A，两点，求的值．

23．已知函数．

(1)解不等式；

(2)设函数的最小值为，若正数，，满足，证明：．

参考答案：

1．B

2．D

3．A

4．D

5．C

6．A

7．D

8．A

9．D

10．B

11．B

12．C

13．

14．

15．

16．     ##；    

17．(1)；

(2).

【分析】（1）利用与的关系可将题设的递推关系转化为关于的递推关系，从而可求其通项.

（2）利用错位相减法可求.

（1）

因为，故，

故即.

而，故，故，

故，且，故，

所以为等比数列，且首项为2，公比为2，从而.

（2）

,

故，

故，

所以，

所以.

18．(1)完善表格见解析；有90%的把握认为该市市民一周内健步走的步数与年龄有关；

(2)分布列见解析，数学期望.

【分析】（1）根据样本总数200，以及所给比例可完善表格，计算卡方，结合临界值进行判断；

（2）先根据分层抽样明确各层人数，然后确定的所有取值，逐个求解概率，写出分布列，计算数学期望.

（1）

，所以有90%的把握认为该市市民一周内健步走的步数与年龄有关；

（2）

由题意知，从45岁及以下的市民中按分层抽样法抽取一周内健步走的步数不少于5万步的市民5人，一周内健步走的步数少于5万步市民的3人；

从这8人随机抽取2人，则的所有取值为0,1,2.

，，；

所以分布列为

数学期望.

19．(1)证明见解析；

(2)

【分析】（1）先由证得∥平面，同理证得∥平面，进而证得平面∥平面，即可证得平面；

（2）先证得两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，由向量夹角余弦公式即可求解.

（1）

由正方形的性质知：，又平面，平面，∥平面，

，平面，平面，∥平面，，平面，

平面∥平面，平面，平面；

（2）

平面平面，平面平面，平面，则平面，

又，则平面，又，则两两垂直，以为原点，

的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，由得：

，则，

设平面的法向量为，则，取得，

又易得平面的一个法向量为，则，

又二面角为锐角，则二面角的余弦值为.

20．(1)

(2)，此时直线的斜率为

【分析】（1）根据斜率之积为定值可求出，再利用算出直接写出椭圆方程即可；

（2）分类讨论当直线斜率不存在时，可求出弦长，当斜率存在时，切线方程为 与椭圆联立，根据弦长公式求出弦长的最大值即可求解.

（1）

由椭圆可得，所以，解得，

因为椭圆经过点，故得到，解得，

所以椭圆的方程为

（2）

当切线垂直轴时，的横坐标为1或-1，由于椭圆的对称性，不妨设的横坐标为1，

代入椭圆得解得，所以；

当切线不垂直轴时，设切线方程为即，

所以圆心到切线的距离，得，

把代入椭圆方程，整理得

设，则，

设，则，则

，

所以，

综上所述，，此时，因为，所以直线的斜率为

【点睛】解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：

（1）得出直线方程，设交点为；

（2）联立直线与曲线方程，得到关于或的一元二次方程；

（3）写出韦达定理；

（4）将所求问题或题中关系转化为形式；

（5）代入韦达定理求解.

21．(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）利用零点存在定理可证明函数有零点；

（2）利用导数可证明：，从而可证.

（1）

，

当时，，

故，

由零点存在定理可得当时，函数有零点.

（2）

因为，

，

整理得到，

下证：，即证，

令，则，即证：，

设，则，

故为上的增函数，故，即，

故，故，

即，所以，

故，

整理得到：，

但，故，所以，

所以.

22．(1)，（t为参数）；

(2)

【分析】（1）由直线经过点，倾斜角为，可直接写出其参数方程；利用极坐标与直角坐标的转化公式可得曲线的直角坐标方程；

（2）将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中,利用参数的几何意义可求得的值.

（1）

因为直线经过点，倾斜角为，故直线的参数方程为,（t为参数），

即，（t为参数）；

由可得，

即，将代入，

可得曲线的直角坐标方程为；

（2）

设A,B两点对应的参数为 ，将直线l的参数方程代入，

即中，得：，

整理得，此时，

故.

23．(1)；

(2)证明见解析

【分析】（1）分，，三种情况讨论解不等式，最后再取并集即可；

（2）先由绝对值三角不等式求出，再由结合基本不等式求解即可.

（1）

当时，，由可得，则；

当时，，由可得显然成立，则；

当时，，由可得，则；

综上：不等式的解集为；

（2）

，当且仅当即时取等，，则，

又，，均为正数，则

，当且仅当，即时等号成立，则.