2023届湖南省长沙市麓山国际实验学校高三上学期入学考试数学试题含答案

2023届湖南省长沙市麓山国际实验学校高三上学期入学考试数学试题

一、单选题

1．若全集，集合，A={1，2，3，5}，B={2，3，4}，则集合等于（       ）

A．{2，3} B．{1，5，6，7}

C．{6，7} D．{1，5}

【答案】C

【分析】化简全集，根据补集与交集的定义进行计算即可．

【详解】解：全集，2，3，4，5，6，，

集合，2，3，，，3，，

，6，，，5，6，；

集合，

故选：C．

2．已知，成等差数列，成等比数列，则的最小值是

A．0 B．1 C．2 D．4

【答案】D

【详解】解：∵x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列

根据等差数列和等比数列的性质可知：a+b=x+y，cd=xy，

当且仅当x=y时取“=”，

3．已知函数为定义在上的奇函数，则的解集为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据函数为奇函数得出：定义域关于原点对称且，从而求的值；再根据函数的单调性结合定义域求不等式的解集.

【详解】∵函数为定义在上的奇函数，

∴，得到，

因为函数为奇函数，所以满足，

则，所以，所以得到

所以，且函数的定义域为，

则等价于，

∴，

又因为，所以在上单调递增，

∴，解得，

∴原不等式的解集为，

故选：C．

4．已知函数的部分图像，如下图所示，则该函数的解析式可能为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用函数的奇偶性和函数值判断.

【详解】解：由图像知：函数是偶函数，

A. 因为，所以，又，符合题意；

B. 因为，所以，又当时，，不符合题意；

C. 因为，所以，又当时，，不符合题意；

D. 因为，所以，是奇函数，不符合题意；

故选：A

5．如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上（含原点）上滑动，则的最大值是（       ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】C

【分析】令，由边长为1的正方形的顶点、分别在轴、轴正半轴上，可得出，的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可．

【详解】解：如图令，由于，故，，

如图，，故，，

故

同理可求得，即，

所以

所以当时，取得最大值为2，

故选：C．

6．关于函数有下述四个结论：

①是偶函数

②在区间单调递增

③的最大值为2

④在有4个零点

其中所有正确结论的编号是（          ）

A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③

【答案】D

【分析】利用奇偶性定义判断①，去绝对值符号结合单调性判断②，分段去绝对值符号结合正弦函数性质判断③④作答.

【详解】因，则为偶函数，①正确；

当时，，它在区间单调递减，②错误；

当时，当时，，当时，，

则当时，，又是偶函数，所以的最大值为2，③正确；

当时，，它有两个零点：0，，当时，，它有一个零点：，

所以函数在有3个零点：，0，，④错误，

所以所有正确结论的编号是①③.

故选：D

7．已知函数.若函数 在区间内没有零点 ， 则的取值范围是

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】 ，

, 函数 在区间内没有零点

 (1) ，则 ，则 ，取 ，    ；

（2），则 ，解得： ，取 ， ；

综上可知： 的取值范围是，选.

【点睛】有关函数求的值及取值范围问题是近几年高考的重点考题，应引起足够的注意.本题首先利用降幂公式和辅助角公式把函数的解析式化为标准型，函数 在区间内没有零点，根据的范围求出的范围，使其在或在内，恰好函数无零点，求出的范围.

8．设，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】构造函数,证明；构造函数，证明，即得解.

【详解】解：

设

所以

所以所以单调递增，单调递减，

所以

当时，，所以在上恒成立，

所以函数在单调递增，

所以，

所以.

所以.

设，

所以，

设，

所以在上单调递减，

所以，

所以，所以函数在上单调递减，

所以，所以.

故.

故选：B

二、多选题

9．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离.下列说法正确的是（       ）

A．若，则或

B．复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为9+i

C．若点的坐标为，则对应的点在第三象限

D．若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为

【答案】BCD

【分析】由复数的几何意义对四个选项依次判断即可．

【详解】对于选项A，设，只需即可，故错误；

对于选项B，复数与分别表示向量与，

表示向量的复数为，故正确；

对于选项C，点的坐标为，则对应的点为，在第三象限，故正确；

对于选项D，若复数满足，则复数对应的点在以原点为圆心，内圆半径为1，外圆半径为的圆环上，故所构成的图形面积为，故正确；

故选：BCD．

10．“关于的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】根据关于的不等式对恒成立求出 的范围，在根据充分条件和必要条件的定义即可得到答案.

【详解】由题意，关于的不等式对恒成立，

则，解得，

对于选项A中，“”是“关于的不等式对恒成立”的充要条件；

对于选项B 中，“”是“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件；

对于选项C中，“”是“关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件；

对于选项D中，“”是“关于的不等式对恒成立”必要不充分条件.

故选：BD.

11．我们知道，函数的图象关系坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数. 有同学发现可以将其推广为: 函数的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. 现在已知，函数 的图像关于点对称，则（        ）

A．

B．

C．对任意，有

D．存在非零实数，使

【答案】ACD

【分析】根据题意可得函数为奇函数，从而可判断D；再根据，可求出的值，从而可判断A，B；令，解方程即可判断D.

【详解】解：由题意，因为函数 的图像关于点对称，

所以函数为奇函数，

所以，故C正确；

又，

则，

所以，解得，

所以，

则，故A正确，B错误；

令，

则，解得或，

所以存在非零实数，使，故D正确.

故选：ACD.

12．已知实数，满足，则，满足的关系是（       ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】利用指数与对数的互换得到，，令，因为，则，利用的范围，依次判断四个选项中的不等式，即可得到答案．

【详解】因为，

所以，，

令，因为，则，

则，，

对于选项，，

因为，所以，

故选项正确；

对于选项，，

故选项错误；

对于选项，，因为在上单调递增，

所以，

故选项正确；

对于选项，在上单调递增，

所以，

故选项正确．

故选：．

三、填空题

13．若函数且是偶函数，则函数的值域为_______．

【答案】

【分析】根据函数为偶函数可构造方程求得，利用基本不等式可求得函数的最小值，从而得到函数值域.

【详解】由为偶函数可得：

即，解得：       

       （当且仅当，即时取等号）

，即的值域为：

本题正确结果：

【点睛】本题考查函数值域的求解，关键是能够通过函数的奇偶性求得函数的解析式.

14．等比数列的前n项和为.已知，，成等差数列，则的公比为________.

【答案】

【分析】设等比数列的公比为，由，，成等差数列，可得，即，化简即可得出．

【详解】解：设等比数列的公比为，，，成等差数列，，

，化为：，解得．

故答案为：．

【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

15．以下各说法中：

①若等比数列的前项和为，，则实数=-1；   

②若两非零向量，若，则的夹角为锐角；

③在锐角△ABC中，若，则，

④已知数列的通项，其前项和为，则使最小的值为5

其中正确说法的有________ （填写所有正确的序号）

【答案】①③④

【分析】利用数列，向量的定义和性质以及三角函数的知识结合锐角三角形的基本性质逐个验证即可得出答案．

【详解】对于①，由于等比数列的前项和为，，所以 ，，，根据等比中项可得，解得：；故①正确

对于②若两非零向量，，若，根据向量数量积的定义可得，的夹角为锐角或同向共线，故②错误；

对于③，由于为锐角三角形，则 ，所以有 ，

解得，故③正确

对于④，数列的通项可得：，，，，，，从第6项开始，，所以使最小的值为5，故④正确．

【点睛】本题主要考查数列前项和与通项公式的关系，向量的数量积以及三角函数知识结合锐角三角形性质等知识，属于中档题．

16．已知平面向量与的夹角为锐角，，，且的最小值为，若向量满足，则的取值范围为__________．

【答案】

【分析】根据的最小值为可知的夹角为，画出向量对应的平面图形，建立平面直角坐标系，求得两点的坐标，设出的坐标，代入，求得坐标满足的方程，根据这个方程对应的曲线是圆，由圆上的点和原点的距离的最大值和最小值，求得的取值范围.

【详解】画出图像如下图所示，其中，设.由于的最小值为，根据向量加法的几何意义可知,而，故，.以为坐标原点，分别为轴建立如图所示的平面直角坐标系，，设.由于，即，化简得，即对应的点在以为圆心，半径为的圆上，而表示圆上的点到原点的距离.圆心到原点的距离为，故的取值范围是.

【点睛】本小题主要考查平面向量的坐标运算，考查平面向量加法的几何意义，考查建立平面直角坐标系的方法研究向量模的取值范围，考查化归与转化的数学思想方法、考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.解题的关键点在于将的坐标满足的方程转化为圆的方程，将模的为题转化为圆上的点到原点距离来求解.

四、解答题

17．已知集合，，将中所有元素按从小到大的顺序排列构成数列，设数列的前n项和为．

（1）若，求m的值；

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）2282.

【解析】（1）由，则数列中前m项中含有A中的元素为2，4，6，…，26，共有13项，有B中的元素为3，9，27，共有3项，从而得出答案.

（2）根据题意可得数列中前50项中含有B中的元素为3，9，27，81共有4项，数列中前50项中含有A中的元素为，共有46项，分组可求和.

【详解】解：（1）因为，

所以数列中前m项中含有A中的元素为2，4，6，…，26，共有13项，

数列中前m项中含有B中的元素为3，9，27，共有3项，

所以．

（2）因为，，

所以数列中前50项中含有B中的元素为3，9，27，81共有4项

所以数列中前50项中含有A中的元素为，共有46项，

所以．

18．已知圆心在坐标原点的两个同心圆的半径分别为1和2，点和点分别从初始位置和处，按逆时针方向以相同速率同时作圆周运动.

(1)当点运动的路程为时，求线段的长度；

(2)记，，求的最大值.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）通过A点运动的路程，求出的大小，再借助余弦定理求边长.

（2）设出角度，分别表示和，借助倍角公式转化成二次函数的最值问题.

【详解】(1)因为点运动的路程为，，所以，又，所以，，

由余弦定理，所以.

(2)设则，所以，，则

，所以当时，取得最大值.

19．如图，在△ABC中，D是AC边上一点，∠ABC为钝角，∠DBC=90°．

(1)证明：；

(2)若，，再从下面①②中选取一个作为条件，求△ABD的面积．

①；②．

【答案】(1)证明见解析

(2)答案见解析

【分析】（1）根据三角形的外角和性质及诱导公式即可求解；

（2）选①，根据同角三角形的平方关系，得出，再利用余弦定理、正弦定理及锐角三角函数的定义，结合三角形的面积公式即可求解；

选②，设出，根据勾股定理，得出，结合已知条件得出，，，利用锐角三角函数的定义，得出角，进而得出角，再利用三角形的面积公式即可求解．

【详解】(1)解：因为，

所以，

故；

(2)选①，．

因为，

所以，

在中，由余弦定理可得，

由正弦定理可得，

所以，

因为角为锐角，

故，

在中，因为，所以，

又，

所以；

选②，，

设，则，

在中，，

由（1）得，，

解得，即，

在中，，

所以，

所以，

所以．

20．已知数列满足，，．

(1)证明：数列是等比数列；

(2)若，求数列的前项和．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由递推关系式可得，由等比数列定义可得结论；

（2）利用等比数列通项公式和累加法可求得，由此可得，分别在为偶数和为奇数的情况下，利用裂项相消法和求得结果，综合两种情况可得.

【详解】(1)由得：，又，

数列是以为首项，为公比的等比数列.

(2)由（1）得：，

则，，，…，，

各式作和得：，

又，，

，

当为偶数时，；

当为奇数时，；

综上所述：.

21．已知函数．

(1)试比较与1的大小；

(2)求证：（）．

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）通过构造函数，利用函数的导数，通过函数的单调性以及函数的最值推出结果，

（2）由（1）的结论可得，根据对数的运算性质和迭代法即可得到，问题得以证明

【详解】(1)的定义域为，

令，

则，

所以在为增函数，

当时，，即，

当时，，即，

当时，，即，

(2)根据（1）的结论，当时，，即，

令，，

即，

所以

即（）．

22．设.

(1)求在上的极值；

(2)若对，，都有成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)极小值为，极大值为

(2)

【分析】（1）直接求导计算即可．

（2）将问题转化为，构造新函数在上单调递增即可，然后参变分离或者分类讨论都可以．

【详解】(1)由，

得的单调减区间是，，

同理，的单调增区间是.

故的极小值为，极大值为.

(2)由对称性，不妨设，

则即为.

设，则在上单调递增，

故在上恒成立.

方法一：（含参讨论）

设，

则，，解得.

，，.

①当时，，

故，当时，，递增；

当时，，递减；

此时，，在上单调递增，故，符合条件.

②当时，同①，当时，递增；当时，递减；

∵，，

∴由连续函数零点存在性定理及单调性知，，.

于是，当时，，单调递增；

当时，，单调递减.

∵，，∴，符合条件.

综上，实数的取值范围是.

方法二：（参变分离）

由对称性，不妨设，

则即为.

设，则在上单调递增，

故在上恒成立.

∵，∴在上恒成立

，.

设，，则，.

设，，

则，.

由，，得在，上单调递增；

由，，得在，上单调递减.

故时；

时.

从而，，，

又时，，故，，

，单调递减，，.

于是，.综上，实数的取值范围是.

【点睛】关键点睛：本题核心是将问题转化为函数在上单调递增，即在上恒成立．