(新高考)高考数学一轮复习考点复习讲义第34讲《等差数列及其前n项和》（讲）（解析版）

第34讲 等差数列及其前n项和（讲）

思维导图

知识梳理

1．等差数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．　　 　　　　　　　　　　　　　　　

(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．

2．等差数列的有关公式

(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)⇒当d≠0时，an是关于n的一次函数．

(2)前n项和公式：Sn＝ Sn＝na1＋d＝n2＋n⇒当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且没有常数项．

[常用结论]

已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和．

(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．

(2)在等差数列{an}中，当m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．特别地，若m＋n＝2p，则2ap＝am＋an(m，n，p∈N*)．

(3)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)．

(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为n2d.

(5)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．

(6)若{an}是等差数列，则也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的.

(7)若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；＝.

(8)若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；＝.

(9)在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则满足的项数m使得Sn取得最大值Sm；若a1<0，d>0，则满足的项数m使得Sn取得最小值Sm.

题型归纳

题型1    等差数列的基本运算

【例1-1】（2020春•新华区校级期末）在等差数列中，若，，则公差　　

A． B． C．3 D．

【分析】利用等差数列的通项公式直接求解．

【解答】解：因为，，

所以．

故选：．

【例1-2】（2020春•黄冈期末）若等差数列满足，，则数列的首项　　

A．20 B． C．22 D．

【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，能求出数列的首项．

【解答】解：等差数列满足，，

，

解得，．

数列的首项．

故选：．

【例1-3】（2020春•乐山期末）已知等差数列中，，公差，则与的等差中项为　　

A． B． C． D．6

【分析】根据等差中项的定义即可得出，的等差中项为，然后根据等差数列的通项公式即可得出的值．

【解答】解：，

与的等差中项为．

故选：．

【跟踪训练1-1】（2020春•合肥期末）若为等差数列，是数列前项和，，，则该数列的公差为　　

A．21 B．2 C．3 D．4

【分析】由等差数列的前项和公式即可得出，然后解出即可．

【解答】解：根据等差数列的前项和公式得：，解得．

故选：．

【跟踪训练1-2】（2020春•资阳期末）已知等差数列的公差为，，，则　　

A．2 B．3 C．6 D．9

【分析】由题意利用等差数列的性质，求得的值．

【解答】解：等差数列的公差为，，，

则，，

故选：．

【跟踪训练1-3】（2020春•常德期末）等差数列中，，，则　　

A．14 B．17 C．20 D．23

【分析】由题意利用等差数列的通项公式，求出首项和公差，可得的值．

【解答】解：等差数列中，，，

，，

则，

故选：．

【名师指导】

等差数列基本运算的常见类型及解题策略

(1)求公差d或项数n.在求解时，一般要运用方程思想．

(2)求通项．a1和d是等差数列的两个基本元素．

(3)求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．

(4)求前n项和．利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解．

题型2    等差数列的判定与证明

【例2-1】（2020•山东模拟）已知数列，且．

求证：数列是等差数列，并求；

令，求数列的前项和．

【分析】对两边同时减去1，整理得到，然后两边同时取倒数得到，即，进而可证数列是等差数列，结合等差数列的定义可得到，整理即可得到的表达式．

先根据中的的表达式表示出，然后根据数列求和的裂项法求得答案．

【解答】解：

故

数列是公差为的等差数列

而，

由知

故

【跟踪训练2-1】（2020春•天心区校级期末）已知等差数列的前三项依次为，4，，前项和为，且．

（1）求及的值．

（2）已知数列满足，证明数列是等差数列，并求其前项和．

【分析】（1）设该等差数列为，由等差中项可得的方程，解得，可得首项、公差，再由求和公式可得；

（2）运用等差数列的定义和通项公式、求和公式，即可得到所求结论．

【解答】解：（1）设该等差数列为，则，，，

由已知有，得，公差，

所以，

由，得，

解得或（舍去），

故，；

（2）证明：由（1）得，

则，故，

即数列是首项为2，公差为1的等差数列，

所以．

【名师指导】

等差数列的四个判定方法

(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．

(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可递推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根据定义得出数列{an}为等差数列．

(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列．

(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．　

题型3    等差数列的性质及应用

【例3-1】（2020春•赤峰期末）在等差数列中，，，则　　

A．8 B．9 C．10 D．11

【分析】根据等差数列的性质可得：，即可求出．

【解答】解：，则，

故选：．

【例3-2】（2020春•南岗区校级期末）设等差数列的前项和为，若，，则　　

A．27 B．33 C．36 D．45

【分析】由题意利用等差数列的性质，求出的值．

【解答】解：等差数列的前项和为，若，，

，，成等差数列，故，

即，求得，

故选：．

【例3-3】（2020春•运城期末）设等差数列满足：，公差，其前项和为．若数列也是等差数列，则的最小值为　　

A．3 B．2 C．5 D．6

【分析】由题意可得：，即，公差，解得．可得．．代入变形利用基本不等式的性质即可得出．

【解答】解：由题意可得：，即，公差，

解得．

．

．

．

数列是等差数列，

则，当且仅当时取等号，

的最小值为2．

故选：．

【跟踪训练3-1】（2020春•上高县校级期末）设等差数列前项和为，等差数列前项和为，若，则　　

A． B．11 C．12 D．13

【分析】借助于等差数列下标性质和求和公式，将项的比值化为和的比值，再把的值代入计算即可．

【解答】解：，分别为等差数列和的前项和，且，

，

故选：．

【跟踪训练3-2】（2020春•安徽期末）在等差数列中，，，则　　

A． B． C． D．0

【分析】由已知结合等差数列的性质即可直接求解．

【解答】解：由等差数列的性质可得，，

则．

故选：．

【跟踪训练3-3】（2020春•蚌埠期末）已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为，若，则　　

A． B． C． D．

【分析】根据题意，分析可得，又由等差数列的前项和公式和等差数列的性质可得；即可得答案．

【解答】解：根据题意，等差数列和中，若，

则有，

又由；

故；

故选：．

【跟踪训练3-4】（2020春•马鞍山期末）在数列中，若，则此数列前项和的最小值为　　

A． B． C． D．3

【分析】令，解得．进而可得此数列前项和的最小值为．

【解答】解：令，解得．

则此数列前项和的最小值为．

故选：．

【跟踪训练3-5】（2020春•沙坪坝区校级期末）已知等差数列，其前项和为，若，，则的最大值为　　

A．12 B．24 C．36 D．48

【分析】利用等差数列通项公式求出，，求出等差数列的前项和，由此能求出的最大值．

【解答】解：等差数列，其前项和为，，，

，

解得，，

．

时，取最大值36．

故选：．

【跟踪训练3-6】（2020•哈尔滨模拟）等差数列，的前项和分别为，，若，则　　．

【分析】由已知结合等差数列的求和公式及性质即可求解．

【解答】解：由为等差数列可得，

同理可得，所以．

故答案为：

【跟踪训练3-7】（2020•昆山市模拟）已知和均为等差数列，若，，则的值是　  　．

【分析】由等差数列的性质，等差中项的特点可得，所求的两项的和用已知的项表示可得其结果．

【解答】解：因为和均为等差数列，，，

所以，

所以，

故答案为：12．

【名师指导】

1.等差数列的性质

(1)项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d⇔＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差．

(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则

①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；

②S2n－1＝(2n－1)an；

③是首项为a1，公差为的等差数列．　

2.求等差数列前n项和Sn及最值的2种方法

(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．

(2)邻项变号法

①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；

②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.