2023精品解析：张掖高三上学期第一次诊断考试数学（文）试题含解析

张掖市2022——2023学年高三年级第一次诊断考试

数学试卷（文科）

一､选择题：本大题包括12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1. 设全集，若集合满足．则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由补集的概念得后对选项逐一判断

【详解】由题意得，故B正确

故选：B

2. 若复数（是虚数单位），则z的虚部是（    ）

A.  B. 3 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用复数的乘法运算计算作答.

【详解】，所以z虚部是3.

故选：B

3. 设函数,

A. 3 B. 6 C. 9 D. 12

【答案】C

【解析】

【详解】.故选C.

4. 设a=log32,b=log52,c=log23,则

A. a＞c＞b B. b＞c＞a C. c＞b＞a D. c＞a＞b

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：判断对数值的范围，然后利用换底公式比较对数式的大小即可．

解：由题意可知：a=log32∈（0，1），b=log52∈（0，1），c=log23＞1，

所以a=log32，b=log52=，

所以c＞a＞b，

故选D．

考点：对数值大小的比较．

5. 在中，D为线段BC上一点，且，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】可画出图形，根据即可得出，从而得出，解出向量即可．

【详解】如图，

，

，

，

．

故选：D

6. 下列说法中正确的是（    ）

A. “”是“”的必要不充分条件

B. 命题“对，恒有”的否定是“，使得”

C. 在同一直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称

D. 若幂函数过点，则

【答案】D

【解析】

【分析】根据从充分必要条件判断A选项；利用全称命题的否定形式判断B选项；利用对数函数与指数函数的关系判断C选项；由幂函数的定义求参数即可判断D选项.

【详解】对于A选项：“”是“”的充分不必要条件，所以A选项不正确；

对于B选项：命题“对，恒有”的否定是“，使得”，所以B选项不正确；

对于C选项：在同一直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称，所以C选项不正确；

对于D选项：因为幂函数过点，所以，且，解得，即，所以D选项正确；

故选：D.

7. 把函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，再把所得的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则可以是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据三角函数的图象变换得到，得到，结合选项，逐项判定，即可求解.

【详解】由题意，将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变可得函数的图象，将该图象向左平移个单位长度，

得到的图象，所以，

对于A中，当时，，故A错误；

对于B中，当时，，故B错误；

对于C中，当时，，故C错误；

对于D中，当时，，故D正确．

故选：D．

8. 设，为不重合的两条直线，，为不重合的两个平面，下列命题错误的是（    ）

A. 若且，则 B. 若且，则

C. 若且，则 D. 若且，则

【答案】C

【解析】

【分析】根据线面平行、面面平行的判定和性质，线面垂直、面面垂直的判定分析判断即可.

【详解】对于A，当且时，，所以A正确，

对于B，当且时，过作平面，交于直线，则∥，因为，所以，因为，所以，所以B正确，

对于C，当且时，，可能平行，可能异面，可能相交，故C错误，

对于D，当且时，则，所以D正确，

故选：C

9. 函数在点处切线方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】求得和的值，利用点斜式可得出所求切线方程.

【详解】，，则，.

因此，函数在点处的切线方程为.

故选：C.

【点睛】本题考查利用导数求解函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题.

10. 意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题:已知-对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子.假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为:1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，...，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是，其中，若从该数列的前120项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据已知条件先分析数列中相邻三项的奇偶性情况，然后得到前项中的偶数个数，由此可求解出对应概率.

【详解】因为奇数加奇数结果是偶数，奇数加偶数结果是奇数，偶数加奇数结果是奇数，

所以数列中任意相邻的三项，其中一项为偶数，两项为奇数，

所以前项中偶数有项，

所以这个数是偶数的概率为.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于分析斐波那契数列中项的奇偶组成，通过项的奇偶组成确定出项中奇数和偶数的项数，完成问题的求解.

11. 已知抛物线的焦点到双曲线E：－,的渐近线的距离不大于，则双曲线E的离心率的取值范围是(　　)

A. (1,] B. (1,2]

C. [,＋∞) D. [2,＋∞)

【答案】B

【解析】

【详解】抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，双曲线的一条渐近线方程为bx＋ay＝0，

由题知，化简得b2≤3a2，

又c2＝a2＋b2，∴c2≤4a2，∴e≤2，又e＞1，

∴．故双曲线E的离心率的取值范围是．

故选：B．

12. 已知实数a，b，c，满足，则a，b，c的大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】构造函数，利用导数求出函数的单调区间及最值，再根据已知条件即可得出答案.

【详解】解：设，则，

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，故，

所以，又，

所以，

所以.

故选：C．

二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 命题“”的否定是__________.

【答案】

【解析】

【分析】利用全称命题的否定可得出答案．

【详解】由全称命题的否定可知，命题“”的否定是“，

”，故答案为“，”.

【点睛】本题考查全称命题的否定，熟记全称命题与特称命题的否定形式是解本题的关键，属于基础题．

14. 若，满足则的最大值为              

【答案】2

【解析】

【详解】不等式对应的可行域为直线围成的三角形区域，

顶点为,，当过点时取得最大值2

故答案为：2

考点：线性规划问题

15. 在直三棱柱中，.若该直三棱柱的外接球表面积为，则此三棱柱的高为__________.

【答案】

【解析】

【分析】由题意画出图形，把直三棱柱补形为正四棱柱，设其高为，把正四棱柱外接球的半径用含有的代数式表示，代入球的表面积公式求解．

【详解】

在直三棱锥中，

，，又，

直三棱柱的底面为等腰直角三角形，

把直三棱柱补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，

设，分别为，的中点，则的中点为球心，

设直三棱柱的高为，则球的半径，

故表面积为，解得．

故答案为：

16. 抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过C上一点P作C的准线l的垂线，垂足为A，若直线AF的斜率为﹣2，则的面积为__．

【答案】10

【解析】

【分析】设，则，由的斜率解得，再将代入抛物线方程可得，进而可得的面积.

【详解】由抛物线的方程可得F（1，0），准线方程为x＝﹣1，

设，由题意可得，则，解得n＝4，

将代入抛物线方程可得42＝4m，解得m＝4，即P（4，4），

则|PA|＝4+1＝5，所以的面积.

故答案为：10．

三､解答题：共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.

17. 数列中，若，且.

（1）求证：数列是等比数列；

（2）求数列的通项公式及前项和.

【答案】（1）详见解析（2），

【解析】

【分析】（1）将变形为，即可证明.

（2）首先求出数列的通项公式，然后求出数列的通项公式即可，对数列分组求和则可求出.

【详解】解：（1），，又

所以数列是以4为首项以2为公比的等比数列.

（2）由（1）可知，，.

.

【点睛】本题考查等差数列的证明，考查求等差数列通项公式以及分组求和，考查学生的转化能力，属于基础题.

18. 年北京冬奥会即第届冬季奥林匹克运动会在年月日至月日在北京和张家口举行．某研究机构为了解大学生对冰壶运动是否有兴趣，从某大学随机抽取男生、女生各人，对冰壶运动有兴趣的人数占总数的，女生中有人对冰壶运动没有兴趣．

（1）按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中，抽取人作为冰壶运动的宣传员，求男生、女生各选多少人?

（2）完成下面列联表，并判断是否有的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关?

附：

【答案】（1）男生选人，女生选人.   

（2）有的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关.

【解析】

【分析】对于小问1，由题意计算对冰壶感兴趣的男女生人数，根据其比例，再分别计算抽取的人中男女生人数；

对于小问2，完成列联表，代入，计算其近似值，与比较大小，进行判断.

【小问1详解】

对冰壶运动感兴趣的人数为人，女生中有人对冰壶运动没有兴趣，

所以女生中有人对冰壶运动有兴趣，所以男生中有人对冰壶运动有兴趣，

按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中，抽取人作为冰壶运动的宣传员，

其中抽取的男生为人，女生为人，即男生选人，女生选人.

【小问2详解】

由题意，完成下面列联表如下

，

所以有的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关.

19. 如图，在四棱锥中，已知平面平面ABCD，，，，AE是等边的中线．

（1）证明：平面．

（2）若，求点E到平面PBC的距离．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）取PC的中点F，连接EF，BF，得后可得线面平行；

（2）连接BD，因为E是PD的中点，所以点E到平面PBC的距离等于点D到平面PBC的距离的一半．然后利用体积法由求出到平面的距离即得．

【小问1详解】

证明：如图，取PC的中点F，连接EF，BF．

因为E是棱PD的中点，所以，且．

因为，，所以，，

所以四边形ABFE是平行四边形，所以．

因为平面，平面，

所以平面．

【小问2详解】

解：如图，连接BD，因为E是PD的中点，所以点E到平面PBC的距离等于点D到平面PBC的距离的一半．

平面平面，，，易知平面PAD，平面PAD．

因此平面内的直线都与垂直，

因为，，所以，，

所以．

设D到平面PBC的距离为h，则．

又，三棱锥高即为的高，长为，

所以．

由，得，所以点E到平面PBC的距离等于．

20. 已知椭圆C：的离心率，且圆过椭圆C的上、下顶点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线l的斜率为，且直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点P关于原点的对称点为E，点是椭圆C上一点，若直线AE与AQ的斜率分别为，，证明：．

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据圆经过上、下顶点可求，利用离心率和的关系可得答案；

（2）设出直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示出，，求和验证即可.

【小问1详解】

因为圆过椭圆C的上、下顶点，所以；

又因为离心率，所以，解得，

所以椭圆的方程为.

【小问2详解】

由于直线l的斜率为，可设直线l的方程为；

代入椭圆方程，可得，

由于直线l交椭圆C于P，Q两点，

所以整理解得

设点，由于点P与点E关于原点对称，故,

；

因为，所以

故，结论得证.

21. 已知函数，.

（1）求函数的极值；

（2）当时，求证：.

【答案】(1) 的极小值为，无极大值.（2）见解析.

【解析】

【分析】（1）对求导，确定函数单调性，得到函数极值.

（2）构造函数，证明恒成立，得到，

，得证.

【详解】（1）由题意知，，

令，得，令，得.

则在上单调递减，在上单调递增，

所以的极小值为，无极大值.

（2）当时，要证，即证.

令，则，

令，得，令，得，

则上单调递减，在上单调递增，

所以当时，，

所以，即.因为时，，

所以当时，，

所以当时，不等式成立.

【点睛】本题考查了函数的单调性，极值，不等式的证明，构造函数是解题的关键.

22. 在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程.

（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）直线与曲线交于两点，点，求的值.

【答案】（1）的普通方程为：；的直角坐标方程为：；（2）

【解析】

【分析】（1）利用三种方程的转化方法，求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）利用参数的几何意义，建立方程，即可求得的值.

【详解】由得

的普通方程为：

的极坐标方程是

，

的直角坐标方程为：

②将的参数方程代入的直角坐标方程

，同号

.

【点睛】该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有三种方程的转化方法，直线参数方程中参数的几何意义，属于简单题目.

23. 已知函数

（1）解不等式；

（2）若不等式有解，求实数的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】（1）对去绝对值符号，然后分别解不等式即可

（2）不等式有解，则只需，求出的最小值，然后解不等式即可.

【详解】（1）由已知得

当时，

当时，

当时，舍

综上得的解集为

（2）

有解

，

或

的取值范围是.

【点睛】该题考查的是有关绝对值不等式的问题，涉及到的知识点有应用零点分段法解绝对值不等式，根据不等式有解求参数的取值范围，属于简单题目.