2023济宁汶上县一中高二上学期第一次模块检测数学试题含解析

数学定时练2022.9

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 在空间四边形中，等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据向量的线性运算求得正确答案.

【详解】根据向量加法、减法法则，得

．

故选：C

2. 已知一个古典概型的样本空间和事件，如图所示. 其中则事件与事件（    ）

A. 是互斥事件，不是独立事件

B. 不是互斥事件，是独立事件

C. 既互斥事件，也是独立事件

D. 既不是互斥事件，也不是独立事件

【答案】B

【解析】

【分析】

由可判断事件是否为互斥事件，由可判断事件是否为独立事件.

【详解】因为，

所以，，，

所以事件与事件不是互斥事件，

所以，，

所以，所以事件与事件是独立事件.

故选：B.

3. 若,,是空间任意三个向量, ,下列关系式中,不成立的是

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由平面向量加法的交换律、加法结合律、数乘运算及向量共线的性质即可得到答案．

【详解】A项，由平面向量加法的交换律可知，，故A项正确，不符合题意．

B项，由平面向量数乘运算知，，故B项正确，不符合题意．

C项，由平面向量加法结合律可知，，故C项正确，不符合题意．

D项，因为与不一定共线，所以不一定成立，故D项错误，符合题意．

故本题正确答案为D

【点睛】本题主要考查平面向量的数乘和平面向量的运算律，属于基础题．

4. 在一次随机试验中，已知A， B， C三个事件发生的概率分别为0.2， 0.3， 0.5，则下列说法一定正确的是

A. B与C是互斥事件 B. A＋B与C是对立事件

C. A＋B＋C是必然事件 D.

【答案】D

【解析】

【分析】三个事件之间没有任何关系．根据事件和的概率性质可判断D正确．

【详解】A,B， C三个事件发生的概率分别为0.2， 0.3， 0.5，不能确定它们之间有任何关系，故选项A、B、C均错，而，，D正确．

故选D．

【点睛】本题考查事件之间的关系，要注意事件的关系与它们的概率之间没有必然的联系，掌握互斥事件与对立事件的定义是解题基础．

5. 若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n),则随着n的逐渐增大,有　(　　)

A. f(n)与某个常数相等

B. f(n)与某个常数的差逐渐减小

C. f(n)与某个常数的差的绝对值逐渐减小

D. f(n)在某个常数的附近摆动并趋于稳定

【答案】D

【解析】

【详解】由频率和概率的关系知，

在同等条件下进行次重复试验得到某个事件发生的频率，随着的逐渐增加，频率逐渐趋近于概率．

故答案选

点睛：本题是一道关于概率与频率的题目，解题的关键是掌握两者之间的关系，由概率与频率的关系可知，当试验次数足够大时，事件的频率在概率附近摆动并趋近概率

6. 某射击运动员射击一次命中目标的概率为，已知他独立地连续射击三次，至少有一次命中的概率，则为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

三次都未命中的概率为，连续射击三次，至少有一次命中的对立事件为三次都未射中，即可求解.

【详解】因为射击一次命中目标的概率为，

所以射击一次未命中目标的概率为，

因为每次射击结果相互独立，

所以三次都未命中的概率为，

因为连续射击三次，至少有一次命中的对立事件为三次都未射中，

所以连续射击三次，至少有一次命中的概率，

解得.

故选：A

【点睛】本题主要考查了n次独立重复试验，对立事件，属于中档题.

7. 给出下列命题：

①若A，B，C，D是空间任意四点，则有；

②是，共线的充要条件；

③若，共线，则；

④对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若币（其中x，y，），则P，A，B，C四点共面.

其中不正确命题的个数是（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

分析】直接利用向量的运算，向量的共线，共面向量的充要条件判定①②③④的结果．

【详解】解：①若，，，是空间任意四点，则有；真命题．

②或是，共线的充要条件；假命题．

③若，共线，则；也可能重合，假命题．

④对空间任意一点与不共线的三点，，，若（其中．，当且仅当时，则，，，四点共面．假命题．

故选：．

8. 一个电路如图所示，A，B，C为3个开关，其闭合的概率均为，且是相互独立的，则灯亮的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意可知当A开关闭合，B、C至少有一个闭合时灯亮，然后利用独立事件的概率公式求解即可

【详解】解：因为A开关闭合概率为，B、C至少有一个闭合概率为，

所以灯亮的概率是.

故选：A

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分．在每小题有多项符合题目要求）

9. 某社区开展“防疫知识竞赛”，甲､乙两人荣获一等奖的概率分别为p和q，两人是否获得一等奖相互独立，则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】令且A、B相互独立，从正反两个角度，利用事件的关系及含义表示出两人中至少有一人获得一等奖，进而求出其概率即可.

【详解】记A为“甲获得一等奖”，B为“乙获得一等奖”，则且A、B相互独立.

从正面考虑，甲､乙两人中至少有一人获得一等奖为，为三个互斥事件，

所以；

从反面考虑，事件“甲､乙两人中至少有一人获得一等奖”的对立事件是“甲､乙两人都没获得一等奖”，即事件，易得，

所以“这两人中至少有一人获得一等奖”的概率为，

综上，A、D正确.

故选：AD

10. 设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】根据空间向量数量积的定义与运算律一一判断即可；

【详解】解：对于A：，故A正确；

对于B：因为向量不能做除法，即无意义，故B错误；

对于C：，故C错误；

对于D：，故D正确；

故选：AD

11. 利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A为“是一等品”，B为“是合格品”，C为“是不合格品”，则下列结果正确的是（    ）.

A.  B.  C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据事件的关系及运算求解．

【详解】解：由题意知A，B，C为互斥事件，故C正确；又因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件，所以，，则，故A、B，C正确；故D错误.

故选ABC.

【点睛】本题考查事件的关系及古典概型的概率计算，属于基础题．

12. 已知空间向量、、都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是（    ）

A. 向量的模是

B. 可以构成空间的一个基底

C. 向量和夹角的余弦值为

D. 向量与共线

【答案】BC

【解析】

【分析】

利用空间向量的模长公式可判断A选项的正误；利用空间向量数量积公式得出、、两两垂直，可判断B选项的正误；利用空间向量夹角的余弦公式可判断C选项的正误；利用空间向量夹角的余弦公式计算出与夹角的余弦值，可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，，

，A选项错误；

对于B选项，因为空间向量、、都是单位向量，且两两垂直，则、、均为非零向量，

，，，

所以，、、两两垂直，则可以构成空间的一个基底，B选项正确；

对于C选项，，C选项正确；

对于D选项，，

，同理可得，

所以，，

，则，D选项错误.

故选：BC.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 投掷两枚骰子，点数之和为8所包含的样本点有________个．

【答案】5

【解析】

【分析】用有序实数对表示投掷两枚骰子的点数的情况，利用列举法可得.

【详解】用有序实数对表示投掷两枚骰子的点数的情况，则点数之和为8的样本点有：

 (2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，共5个．

故答案为：5

14. 己知空间向量，且，则在上的投影向量为________．

【答案】##

【解析】

【分析】根据投影向量的知识求得正确答案.

【详解】依题意在上的投影向量为.

故答案为：

15. 已知，，且，互斥，则___________.

【答案】0

【解析】

【分析】根据互斥事件的概念即可得结果.

【详解】由于，互斥，即不可能同时发生，

所以，

故答案为：0.

16. 已知是棱长为2的正方体内切球的一条直径，则_________．

【答案】2

【解析】

【分析】设该正方体的内切球的球心为O，由，结合向量数量积运算求得正确答案.

【详解】因为正方体的棱长为2，所以其内切球的半径．

又球心一定在该正方体的体对角线的中点处，且体对角线长为，

所以设该正方体的内切球的球心为O，则，

易知，

所以．

故答案为：

四、解答题（本大题共6小题，17题10分其他题目各12分共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用表示结果，其中表示红色骰子出现的点数，表示蓝色骰子出现的点数.写出：

（1）这个试验的样本空间；

（2）这个试验的结果的个数；

（3）指出事件的含义.

【答案】（1）答案见解析   

（2）   

（3）抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数之和为

【解析】

【分析】（1）列举出所有可能的结果即可得到样本空间；

（2）根据（1）的结果可得试验结果个数；

（3）由可确定事件的含义.

【小问1详解】

样本空间

【小问2详解】

由（1）知：这个试验的结果的个数共有个.

【小问3详解】

由可知：事件表示抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数之和为.

18. 如图所示，在平行六面体中，设，分别是，，的中点，试用表示以下各向量：

（1）；

（2）；

（3）.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

【分析】

（1）（2）根据向量加法的三角形法则表示即可；

（3）根据空间向量的线性表示，用和分别表示出和，再进行求和即可.

【详解】解：（1）∵是的中点，

∴.

（2）∵是的中点，

∴.

（3）∵是的中点，

∴，

又，

∴.

【点睛】本题考查空间向量的线性运算的应用，涉及向量的加法运算，属于基础题.

19. 有3个两两互斥的事件A，B，C，已知事件是必然事件，事件A发生的概率是事件B发生的概率的2倍，事件C发生的概率比事件B发生的概率大0.2.分别求事件A，B，C发生的概率.

【答案】，，

【解析】

【分析】要求各事件的概率,只需根据题设条件,列出方程求解.

【详解】设，则，.

由题意知，解得.

所以，，.

【点睛】本题考查互斥事件的概率,灵活运用概率与函数的综合应用知识点进行解题,是本题的重点,属于基础题.

20. 如图所示，在平行六面体中，E、F分别在和上，且，．

（1）证明四点共面；

（2）若，求的值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）通过证明，由此能够证明四点共面；

（2）结合图形利用空间向量的线性运算以及空间向量基本定理进行求解．

【小问1详解】

证明：在平行六面体中，，，

∵

，

所以共面，且A为公共点，

所以四点共面；

【小问2详解】

，

，

∴，

∵，

∴，

∴．

21. 某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响.

（Ⅰ）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;

（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

【详解】（Ⅰ）记“选手能正确回答第轮的问题”的事件记为，

则，，

所以选手进入第四轮才被淘汰的概率:

．

（Ⅱ）该选手至多进入第三轮考核的概率

．

22. 已知平行六面体的所有棱长均为1，．用向量解决下面的问题

（1）求的长；

（2）求证：平面．

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）利用转化法将换成，利用求模长即可；

（2）利用向量垂直来证明，，再利用线面垂直的判定定理证明即可.

【小问1详解】

设，

则，

又，

所以

，

即；

小问2详解】

因为，

所以

．

所以，同理可得，

又平面．

所以平面．