江苏省盐城市东台市第一教研片市级名校2022年中考四模数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项

1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．

4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．

5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．下列四个命题，正确的有（　　）个．

①有理数与无理数之和是有理数   

②有理数与无理数之和是无理数

③无理数与无理数之和是无理数   

④无理数与无理数之积是无理数．

A．1 B．2 C．3 D．4

2．若a与5互为倒数，则a=（    ）

A． B．5 C．-5 D．

3．某商品价格为元，降价10％后，又降价10％，因销售量猛增，商店决定再提价20％，提价后这种商品的价格为（    ）

A．0.96元 B．0.972元 C．1.08元 D．元

4．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）

A．正五边形    B．平行四边形    C．矩形    D．等边三角形

5．如图，直线与y轴交于点（0，3）、与x轴交于点（a，0），当a满足时，k的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

6．如图，某小区计划在一块长为31m，宽为10m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m1．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）

A．（31﹣1x）（10﹣x）=570 B．31x+1×10x=31×10﹣570

C．（31﹣x）（10﹣x）=31×10﹣570 D．31x+1×10x﹣1x1=570

7．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD、BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为(   )

A．2 B．3 C．4 D．5

8．如图，直线a∥b，∠ABC的顶点B在直线a上，两边分别交b于A，C两点，若∠ABC=90°，∠1=40°，则∠2的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°

9．已知x+=3，则x2+=（　　）

A．7 B．9 C．11 D．8

10．若正比例函数y=3x的图象经过A（﹣2，y1），B（﹣1，y2）两点，则y1与y2的大小关系为（　　）

A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1≤y2 D．y1≥y2

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．函数中自变量的取值范围是______________

12．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值

是     ．

13．钓鱼岛周围海域面积约为170000平方千米，170000用科学记数法表示为______．

14．一元二次方程x﹣1＝x2﹣1的根是_____．

15．如图所示，直线y=x+b交x轴A点，交y轴于B点，交双曲线于P点，连OP，则OP2﹣OA2=__．

16．假期里小菲和小琳结伴去超市买水果，三次购买的草莓价格和数量如下表：

从平均价格看，谁买得比较划算？（ ）

A．一样划算 B．小菲划算C．小琳划算 D．无法比较

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）计算:(-1)-1-++|1-3|

18．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C是AB延长线上的点，CD与⊙O相切于点D，连结BD、AD．求证；∠BDC＝∠A．若∠C＝45°，⊙O的半径为1，直接写出AC的长．

19．（8分）如图，某校数学兴趣小组要测量大楼AB的高度，他们在点C处测得楼顶B的仰角为32°，再往大楼AB方向前进至点D处测得楼顶B的仰角为48°，CD＝96m，其中点A、D、C在同一直线上．求AD的长和大楼AB的高度（结果精确到2m）参考数据：sin48°≈2．74，cos48°≈2．67，tan48°≈2．22，≈2．73

20．（8分）雅安地震，某地驻军对道路进行清理．该地驻军在清理道路的工程中出色完成了任务．这是记者与驻军工程指挥部的一段对话：记者：你们是用9天完成4800米长的道路清理任务的？

指挥部：我们清理600米后，采用新的清理方式，这样每天清理长度是原来的2倍．

通过这段对话，请你求出该地驻军原来每天清理道路的米数．

21．（8分）小明参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是　   　．如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概率．从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”．（直接写出答案）

22．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（-1,0）和点B（4,5）.

（1）求该抛物线的函数表达式.

（2）求直线AB关于x轴对称的直线的函数表达式.

（3）点P是x轴上的动点，过点P作垂直于x轴的直线l，直线l与该抛物线交于点M，与直线AB交于点N.当PM < PN时，求点P的横坐标的取值范围.

23．（12分）某车间的甲、乙两名工人分别同时生产只同一型号的零件，他们生产的零件（只）与生产时间（分）的函数关系的图象如图所示．根据图象提供的信息解答下列问题：

（1）甲每分钟生产零件_______只；乙在提高生产速度之前已生产了零件_______只；

（2）若乙提高速度后，乙的生产速度是甲的倍，请分别求出甲、乙两人生产全过程中，生产的零件（只）与生产时间（分）的函数关系式；

（3）当两人生产零件的只数相等时，求生产的时间；并求出此时甲工人还有多少只零件没有生产．

24．如图所示，PB是⊙O的切线，B为切点，圆心O在PC上，∠P=30°，D为弧BC的中点.

(1)求证：PB=BC；

(2)试判断四边形BOCD的形状，并说明理由.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、A

【解析】

解：①有理数与无理数的和一定是有理数，故本小题错误；

②有理数与无理数的和一定是无理数，故本小题正确；

③例如=0，0是有理数，故本小题错误；

④例如（﹣）×=﹣2，﹣2是有理数，故本小题错误．

故选A．

点睛：本题考查的是实数的运算及无理数、有理数的定义，熟知以上知识是解答此题的关键．

2、A

【解析】

分析：当两数的积为1时，则这两个数互为倒数，根据定义即可得出答案．

详解：根据题意可得：5a=1，解得：a=， 故选A．

点睛：本题主要考查的是倒数的定义，属于基础题型．理解倒数的定义是解题的关键．

3、B

【解析】
提价后这种商品的价格=原价×（1-降低的百分比）（1-百分比）×（1+增长的百分比），把相关数值代入求值即可．

【详解】

第一次降价后的价格为a×（1-10%）=0.9a元，

第二次降价后的价格为0.9a×（1-10%）=0.81a元，

∴提价20%的价格为0.81a×（1+20%）=0.972a元，

故选B．

【点睛】

本题考查函数模型的选择与应用，考查列代数式，得到第二次降价后的价格是解决本题的突破点；得到提价后这种商品的价格的等量关系是解决本题的关键．

4、C

【解析】

分析：根据中心对称图形和轴对称图形对各选项分析判断即可得解．

详解：A. 正五边形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误.

B. 平行四边形，是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误.

C. 矩形，既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确.

D. 等边三角形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误.

故选C.

点睛：本题考查了对中心对称图形和轴对称图形的判断，我们要熟练掌握一些常见图形属于哪一类图形，这样在实际解题时，可以加快解题速度，也可以提高正确率.

5、C

【解析】
解：把点（0，2）（a，0）代入，得b=2．则a=，

∵，

∴，

解得：k≥2．

故选C．

【点睛】

本题考查一次函数与一元一次不等式，属于综合题，难度不大．

6、A

【解析】

六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，根据草坪的面积是570m1，即可列出方程:(31−1x)(10−x)=570，

故选A.

7、B

【解析】

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A=∠B=90°，

∴∠AGE+∠AEG=90°，∠BFE+∠FEB=90°，

∵∠GEF=90°，

∴∠GEA+∠FEB=90°，

∴∠AGE=∠FEB，∠AEG=∠EFB，

∴△AEG∽△BFE，

∴，

又∵AE=BE，

∴AE2=AG•BF=2，

∴AE=（舍负），

∴GF2=GE2+EF2=AG2+AE2+BE2+BF2=1+2+2+4=9，

∴GF的长为3，

故选B.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质的应用，利用勾股定理即可得解，解题的关键是证明△AEG∽△BFE．

8、C

【解析】
依据平行线的性质，可得∠BAC的度数，再根据三角形内和定理，即可得到∠2的度数．

【详解】

解：∵a∥b，

∴∠1＝∠BAC＝40°，

又∵∠ABC＝90°，

∴∠2＝90°−40°＝50°，

故选C．

【点睛】

本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．

9、A

【解析】
根据完全平方公式即可求出答案．

【详解】

∵（x+）2=x2+2+

∴9=2+x2+，

∴x2+=7，

故选A．

【点睛】

本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式.

10、A

【解析】
分别把点A（−1，y1），点B（−1，y1）代入函数y＝3x，求出点y1，y1的值，并比较出其大小即可．

【详解】

解：∵点A（−1，y1），点B（−1，y1）是函数y＝3x图象上的点，

∴y1＝−6，y1＝−3，

∵−3＞−6，

∴y1＜y1．

故选A．

【点睛】

本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、x≤2且x≠1

【解析】
解：根据题意得：

且x−1≠0，

解得：且

故答案为且

12、2

【解析】

试题分析：分析前三个正方形可知，规律为右上和左下两个数的积减左上的数等于右下的数，且左上，左下，右上三个数是相邻的偶数．因此，图中阴影部分的两个数分别是左下是12，右上是1．

解：分析可得图中阴影部分的两个数分别是左下是12，右上是1，

则m=12×1﹣10=2．

故答案为2．

考点：规律型：数字的变化类．

13、

【解析】

解：将170000用科学记数法表示为：1.7×1．故答案为1.7×1．

14、x＝0或x＝1．

【解析】
利用因式分解法求解可得．

【详解】

∵(x﹣1)﹣(x+1)(x﹣1)=0，

∴(x﹣1)(1﹣x﹣1)=0，即﹣x(x﹣1)=0，

则x=0或x=1，

故答案为：x=0或x=1．

【点睛】

本题主要考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

15、1

【解析】

解：∵直线y=x+b与双曲线 (x>0)交于点P，设P点的坐标（x，y），

∴x﹣y=﹣b，xy=8，

而直线y=x+b与x轴交于A点，

∴OA=b．

又∵OP2=x2+y2，OA2=b2，

∴OP2﹣OA2=x2+y2﹣b2=（x﹣y）2+2xy﹣b2=1．

故答案为1．

16、C

【解析】

试题分析：根据题意分别求出两人的平均价格，然后进行比较．小菲：（24+20+16）÷6=10；小琳：（12+20+24）÷6≈1．3，则小琳划算．

考点：平均数的计算．

三、解答题（共8题，共72分）

17、-1

【解析】

试题分析：根据运算顺序先分别进行负指数幂的计算、二次根式的化简、0次幂的运算、绝对值的化简，然后再进行加减法运算即可.

试题解析：原式=-1-=-1.

18、（1）详见解析；（2）1+

【解析】
（1）连接OD，结合切线的性质和直径所对的圆周角性质，利用等量代换求解（2）根据勾股定理先求OC，再求AC.

【详解】

（1）证明：连结．如图，

与相切于点D，

是的直径，

即

（2）解：在中，

.

【点睛】

此题重点考查学生对圆的认识，熟练掌握圆的性质是解题的关键.

19、AD的长约为225m，大楼AB的高约为226m

【解析】
首先设大楼AB的高度为xm，在Rt△ABC中利用正切函数的定义可求得 ，然后根据∠ADB的正切表示出AD的长，又由CD=96m，可得方程 ，解此方程即可求得答案．

【详解】

解：设大楼AB的高度为xm，
在Rt△ABC中，∵∠C=32°，∠BAC=92°，
∴ ，
在Rt△ABD中， ，
∴，
∵CD=AC-AD，CD=96m，
∴ ，
解得：x≈226，

∴
答：大楼AB的高度约为226m，AD的长约为225m．

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用．要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，注意数形结合思想与方程思想的应用．

20、1米．

【解析】

试题分析：根据题意可以列出相应的分式方程，然后解分式方程，即可得到结论．

试题解析：解：设原来每天清理道路x米，根据题意得：

解得，x=1．

检验：当x=1时，2x≠0，∴x=1是原方程的解．

答：该地驻军原来每天清理道路1米．

点睛：本题考查分式方程的应用，解题的关键是明确分式方程的解答方法，注意分式方程要验根．

21、（1）；（2）；（3）第一题.

【解析】
（1）由第一道单选题有3个选项，直接利用概率公式求解即可求得答案；

（2）画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明顺利通关的情况，继而利用概率公式即可求得答案；

（3）由如果在第一题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；如果在第二题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；即可求得答案．

【详解】

（1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率=；

故答案为；

（2）画树状图为：

共有9种等可能的结果数，其中两个都正确的结果数为1，所以小明顺利通关的概率为；

（3）建议小明在第一题使用“求助”．理由如下：

小明将“求助”留在第一题，

画树状图为：

小明将“求助”留在第一题使用，小明顺利通关的概率=，

因为＞，

所以建议小明在第一题使用“求助”．

【点睛】

本题考查的是概率，熟练掌握树状图法和概率公式是解题的关键.

22、（1）（2）（3）

【解析】
（1）根据待定系数法，可得二次函数的解析式；

（2）根据待定系数法，可得AB的解析式，根据关于x轴对称的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得答案；

（3）根据PM＜PN，可得不等式，利用绝对值的性质化简解不等式，可得答案．

【详解】

（1）将A（﹣1，1），B（2，5）代入函数解析式，得：

，解得：，抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；

（2）设AB的解析式为y=kx+b，将A（﹣1，1），B（2，5）代入函数解析式，得：

，解得：，直线AB的解析式为y=x+1，直线AB关于x轴的对称直线的表达式y=﹣（x+1），化简，得：y=﹣x﹣1；

（3）设M（n，n2﹣2n﹣3），N（n，n+1），PM＜PN，即|n2﹣2n﹣3|＜|n+1|．

∴|（n+1）（n-3）|-|n+1|＜1，∴|n+1|（|n-3|-1）＜1．

∵|n+1|≥1，∴|n-3|-1＜1，∴|n-3|＜1，∴－1＜n-3＜1，解得：2＜n＜2．

故当PM＜PN时，求点P的横坐标xP的取值范围是2＜xP＜2．

【点睛】

本题考查了二次函数综合题．解（1）的关键是待定系数法，解（2）的关键是利用关于x轴对称的横坐标相等，纵坐标互为相反数；解（3）的关键是利用绝对值的性质化简解不等式．

23、（1）25，150；（2）y甲=25x（0≤x≤20），；（3）x＝14，150

【解析】
解：（1）甲每分钟生产＝25只；

提高生产速度之前乙的生产速度＝＝15只/分，

故乙在提高生产速度之前已生产了零件：15×10＝150只；

（2）结合后图象可得：

甲：y甲＝25x（0≤x≤20）；

乙提速后的速度为50只/分，故乙生产完500只零件还需7分钟，

乙：y乙＝15x（0≤x≤10），

当10＜x≤17时，设y乙＝kx＋b，把（10，150）、（17，500），代入可得：

10k＋b＝150，17k＋b＝500，

解得：k＝50，b＝−350，

故y乙＝50x−350（10≤x≤17）．

综上可得：y甲＝25x（0≤x≤20）；

；

（3）令y甲＝y乙，得25x＝50x−350，

解得：x＝14，

此时y甲＝y乙＝350只，故甲工人还有150只未生产．

24、（1）见解析；（2）菱形

【解析】

试题分析：（1）由切线的性质得到∠OBP=90°，进而得到∠BOP=60°，由OC=BO，得到∠OBC=∠OCB=30°，由等角对等边即可得到结论；

（2）由对角线互相垂直平分的四边形是菱形证明即可．

试题解析：证明：（1）∵PB是⊙O的切线，∴∠OBP=90°，∠POB=90°-30°=60°．∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB．∵∠POB=∠OBC+∠OCB，∴∠OCB=30°=∠P，∴PB=BC；

（2）连接OD交BC于点M．∵D是弧BC的中点，∴OD垂直平分BC．

在直角△OMC中，∵∠OCM=30°，∴OC=2OM=OD，∴OM=DM，∴四边形BOCD是菱形．