(通用版)高考数学(理数)一轮复习考点梳理与过关练习03《逻辑联结词、全称量词与存在量词》(含详解)

考点03  逻辑联结词、全称量词与存在量词

1．简单的逻辑联结词

了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.

2．全称量词与存在量词

（1）理解全称量词与存在量词的意义.

（2）能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

一、逻辑联结词

1．常见的逻辑联结词：或、且、非

一般地，用联结词“且”把命题p和q联结起来，得到一个新命题，记作，读作“p且q”；

用联结词“或”把命题p和q联结起来，得到一个新命题，记作，读作“p或q”；

对一个命题p的结论进行否定，得到一个新命题，记作，读作“非p”．

2．复合命题的真假判断

“p且q”“p或q”“非p”形式的命题的真假性可以用下面的表（真值表）来确定：

3．必记结论

含有逻辑联结词的命题的真假判断：

（1）中一假则假，全真才真．[来源:学科网ZXXK]

（2）中一真则真，全假才假．

（3）p与真假性相反．

注意：命题的否定是直接对命题的结论进行否定；而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定.不能混淆这两者的概念.

二、全称命题与特称命题

1．全称量词和存在量词

2．同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活地选择.

3．含有一个量词的命题的否定

全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，如下所示：

考向一  判断复合命题的真假

1．判断“”、“”形式复合命题真假的步骤：

第一步，确定复合命题的构成形式；

第二步，判断简单命题p、q的真假；

第三步，根据真值表作出判断．

注意：一真“或”为真，一假“且”为假．

2．不含逻辑联结词的复合命题，通过辨析命题中词语的含义和实际背景，弄清其构成形式．

3．当为真，p与q一真一假；为假时，p与q至少有一个为假.

典例1  已知命题：若实数满足，则互为相反数；命题：若，则.下列命题，，，中，真命题的个数是

A．1  B．2

C．3  D．4

【答案】B

【解析】由题意，知命题为真命题；

命题：当时，成立，所以，所以命题为真命题，

所以命题为真命题；为真命题；为假命题；为假命题，

所以真命题的个数是2个，故选B.

【名师点睛】本题主要考查了命题的真假判断，其中解答中先判定命题的真假，再结合复合命题的真假关系判定真假是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

1．辨别复合命题的构成形式时，应根据组成复合命题的语句中所出现的逻辑联结词，或语句的意义确定复合命题的形式．

2．准确理解语义应注意抓住一些关键词．如“是…也是…”，“兼”，“不但…而且…”，“既…又…”，“要么…，要么…”，“不仅…还…”等．

3．要注意数学中和生活中一些特殊表达方式和特殊关系式．

如：a≥3是a>3或a＝3；xy＝0是x＝0或y＝0；x2＋y2＝0是x＝0且y＝0.

1．若命题：，，命题：，，则下列命题中是真命题的是

A．  B．

C．  D．

考向二  判断全称命题与特称命题的真假

要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题.

要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题.

典例2  下列命题中是假命题的是

A．使

B．，函数都不是偶函数

C．使是幂函数，且在上单调递减

D．，函数有零点

【答案】B

【解析】对于选项A，如当时，所以选项A的命题为真命题；

对于选项B，当时，函数

是偶函数，因此选项B中的命题为假命题；

对于选项C，如当时，，在上单调递减，所以选项C中的命题为真命题；对于选项D，当时，，则，所以，函数有零点，所以选项D中的命题为真命题.

【名师点睛】全称命题与特称命题的真假判断在高考中出现时，常与数学中的其他知识点相结合，题型以选择题为主，难度一般不大.

2．若命题“使”是假命题，则实数的取值范围为

A． B．

C． D．

3．若命题：，；命题：，，若为真命题，求实数的取值范围.

考向三  含有一个量词的命题的否定

一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词或把存在量词改成全称量词，同时否定结论.

典例3  已知命题，则命题的否定为

A．           B．

C．        D．

【答案】C

【解析】全称命题的否定为特称命题，故其否定为.故选C.

4．命题：存在实数，使的否定是

A．对任意的实数，都有 B．对任意的实数，都有

C．不存在实数，使 D．存在实数，使

1．命题“，”的否定是

A．， B．，

C．， D．，

2．设集合，则

A． B．

C． D．

3．下列命题中的假命题是

A．， B．，

C．， D．，

4．已知命题：“”，命题：“”，则下列为真命题的是

A． B．

C． D．

5．已知命题：，；命题：，.则在命题：①，②，③，④中，正确的为

A．① B．②

C．③ D．④

6．下面四个命题：

：命题“”的否定是“”；

:向量，则是的充分且必要条件；

：“在中，若，则”的逆否命题是“在中，若，则”；

：若“”是假命题，则是假命题.

其中为真命题的是

A． B．

C． D．

7．已知命题；命题.若为假命题，则实数的取值范围是

A．  B．

C．  D．

8．若命题“，”的否定是假命题，则实数的取值范围是__________．

9．已知命题， 恒成立，命题，使得，若命题为真命题，则实数的取值范围为__________．

1．（2016浙江理科）命题“，使得”的否定形式是

A．，使得  

B．，使得

C．，使得  

D．，使得

2．（2017年高考山东理数）已知命题p：；命题q：若a＞b，则，下列命题为真命题的是

A．          B．

C．           D．

3．（2018北京理科）能说明“若f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，则f（x）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．

4．（2015山东理科）若“”是真命题，则实数m的最小值为__________________．

1．【答案】C

【解析】对于命题p，，所以命题p是假命题，所以是真命题；

对于命题q，，，是真命题.

所以是真命题.

故选C.

【名师点睛】本题主要考查复合命题的真假的判断，考查全称命题和特称命题的真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.解答本题时，根据条件分别判断两个命题的真假，结合复合命题的真假关系再进行判断即可.

2．【答案】B

【解析】由题得，原命题的否定是“，”，

所以，解得.

故选B.

【名师点睛】本题考查原命题及其否定的真假关系，属于基础题.解答本题时，若原命题为假，则否命题为真，根据否命题求的范围.

3．【答案】.

【解析】由题意，命题，

当时，不等式成立，

当时，由题意知，

综上可知，.

由命题可知，当时，，则，

∴：，

由题意知：与同时为真，则，

∴.

【名师点睛】本题主要考查了根据命题的真假求解参数的取值范围问题，其中解答中根据二次函数的性质和指数函数的性质，分别求得当命题为真命题时，实数的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

4．【答案】B

【解析】特称命题的否定是全称命题，将特称量词改变后还要对结论否定，故选B.

【名师点睛】本题考查命题的否定，特称命题的否定是全称命题，属于基础题.利用特称命题的否定是全称命题的关系确定选项.

1．【答案】C

【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，”的否定是：

“，”，故选C.

【名师点睛】（1）该题考查的是有关含有一个量词的命题的否定形式，在解题的过程中，需要明确全称命题的否定是特称命题，即可得结果.

（2）一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．

2．【答案】B

【解析】由得，即，所以，根据全称命题的特点和子集的定义，得出正确选项为B．

【名师点睛】本题主要考查了集合之间的包含关系以及全称命题和特称命题的特征等，属于易错题.错误的主要原因是没有弄懂全称命题和特称命题的定义.解本题时，先由不等式求出的范围，写成集合即为N，再得出集合M，N之间的关系，最后得到正确的选项.

3．【答案】B

【解析】当时，，所以A正确；

当时，，所以，不正确；

当时，，所以C正确；

由指数函数的性质可知，，所以D正确，

故选B．

【名师点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，是基本知识的考查．解答本题时，利用特殊值判断选项的正确性，即可得到结果．

4．【答案】C

【解析】对于命题p，当a=0，b=−1时，0>−1，但是|a|=0，|b|=1，|a|<|b|，所以命题p是假命题.

对于命题q，，如所以命题q是真命题.

所以为真命题.

故答案为C.

【名师点睛】（1）本题主要考查全称命题和特称命题的真假，考查复合命题的真假判断，意在考查学生对这些基础知识的能力.

（2）复合命题的真假口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.

（3）求解此类问题时，先判断命题p和q的真假，再判断选项的真假.

5．【答案】A

【解析】命题p：设，，

当时，，所以为单调递减函数；

当时，，所以为单调递增函数；

所以，即，，故命题p正确.

命题q：设，，

当时，，所以为单调递增函数；

当时，，所以为单调递减函数，

所以，即当x=1时，.

故命题：，，正确，

所以①正确，②，③，④均错误.

故选A.

【名师点睛】本题考查命题真假的判断，难点在于构造新函数，结合导数进行判断，考查分析推理，计算化简的能力，属中档题.解答本题时，先判定命题p、q的真假，再结合复合命题的判断方法进行判断.

6．【答案】B

【解析】对于：命题“”的否定是“”，所以是假命题；

对于:向量，所以等价于m−n=0即m=n，则是的充分且必要条件，所以是真命题；

对于：“在中，若，则”的逆否命题是“在中，若，则”，所以是真命题；

对于：若“”是假命题，则p或q是假命题，所以是假命题.

故答案为B.

【名师点睛】本题主要考查全称命题的否定、充要条件、逆否命题和“且”命题，利用每一个命题涉及的知识点判断每一个命题的真假得解，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.

7．【答案】A

【解析】∵为假命题，∴均为假命题，

若命题为假命题，则，即，解得；

若命题为假命题，则，

∴实数的取值范围是.

故选A.

【名师点睛】本题考查复合命题的真假判断与应用，考查恒成立（存在性）问题的求解方法，是中档题．解答本题时，由已知可得p与q均为假命题，求出p与q均为假命题的a的范围，取交集得答案．

8．【答案】

【解析】因为命题的否定是假命题，故原命题为真，即不等式对恒成立，又在为增函数，，即.即实数的取值范围是：.

【名师点睛】本题考查命题否定的真假以及不等式恒成立问题，考查基本分析转化求解能力，属中档题.解答本题时，先转化为原命题为真，再根据函数最值求实数的取值范围.应用全称命题与特称命题求参数范围的常见题型：

（1）全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以代入，也可以根据函数等数学知识来解决．

（2）特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”、“不存在”、“是否存在”等语句表达．解答这类问题时，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．

9．【答案】

【解析】当P为真命题时，恒成立，所以，，当Q为假命题时，为真命题，即，所以，又命题为真命题，所以命题都为真命题，则，即.故实数的取值范围是.

1．【答案】D

【解析】的否定是，的否定是，的否定是．故选D．

2．【答案】B

【解析】由时得，知p是真命题.

由但可知q是假命题，

则是真命题.

故选B.

【名师点睛】解答有关逻辑联结词的相关问题，首先要明确各命题的真假，利用或、且、非的真值表，进一步作出判断.

3．【答案】y=sinx（答案不唯一）

【解析】令，则f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，但f（x）在［0，2］上不是增函数.

又如，令f（x）=sinx，则f（0）=0，f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，但f（x）在［0，2］上不是增函数.

【名师点睛】要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合中的一个特殊值，使不成立即可.通常举分段函数.

4．【答案】1

【解析】若“”是真命题，则，其中，

∵函数，的最大值为1，∴，即的最小值为1.