江苏省南京市人民中学2021-2022学年高一上学期10月月考数学试题

金陵中学集团·人民中学高一年级月考试卷

数学

（满分：150分   考试时间：120分钟）

命题人：凌玲          审核人：张云帆

一、单项选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 下列集合表示正确的是（    ）．

A.  B.

C.  D. {高个子男生}

【答案】A

【解析】

【分析】根据集合元素的特征选出答案即可.

【详解】由题意可知，选项B、C不满足集合的互异性，选项D不满足集合的确定性，

故选：A．

2. 已知非零实数满足，则下列不等式一定成立的是

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】取，则，A,B说法错误，

取，则，C的说法错误.

本题选择D选项.

3. 集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是

A. SPM B. S＝PM C. SP＝M D. P＝MS

【答案】C

【解析】

【详解】运用整数的性质求解．集合M、P表示的是被3整除余1的整数集，集合S表示的是被6整除余1的整数集．故选C.

考点：集合间的基本关系.

4. 已知全集，集台和的关系如图所示，则阴影部分表示的集合的元素共有（    ）

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 无穷多个

【答案】B

【解析】

【分析】

由韦恩图可得影部分表示的集合为，由交集、补集的概念即可得解.

【详解】由题意，集台，

所以阴影部分表示的集合为，有3个元素.

故选：B.

5. 使不等式成立的充分不必要条件是（    ）．

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】解出不等式，然后可判断出答案.

【详解】由题意可知，由可得，

，即不等式的充分不必要条件是为，

故选：A

6. 当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减．按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位，大约每经过5730年一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了．如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了（    ）个“半衰期”．【提示：】

A. 10 B. 9 C. 11 D. 8

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，结合指数不等式与参考数据，即可求解.

【详解】由题意可设生物组织内原有的碳14含量为x，需要经过n个才能被测到碳14，

则，即，

由参考数据可知，，，

所以.

故选：A．

7. 已知不等式的解集是{x|2＜x＜3}，则不等式的解集是

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：因为不等式的解集是，所以2和3是方程的两个根，所以，，解得，代入，得，即，解得，故选C．

考点：不等式的解法．

【方法点睛】解一元二次不等式首先应将所给不等式化为标准式(即二次项系数为正的不等式)，然后看能否求出相应方程的根，能求出两根的，根据不等式右边“大于零的解两边分，小于零的解夹中间”写出解集，其它情形宜结合相应二次函数的图象写出对应的解集.

8. 已知关于的不等式的解集为，，则的最大值是　　

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据不等式的解集为，，利用韦达定理求出，，代入利用基本不等式的性质求解．

【详解】解：不等式的解集为，，

根据韦达定理，可得：，，

那么：．

，

，即

故的最大值为．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，同时考查了基本不等式的性质的运用的能力和计算能力，属于中档题．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．

9. 下列运算结果中，一定正确是　　

A.  B.  C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】根据有理数指数幂的运算法则计算．

【详解】解：选项，正确；

选项，错误；

选项当时，，当时，，错误；

选项，正确．

故选：．

【点睛】本题考查了有理数指数幂的运算，属于基础题．

10. 下列四个不等式中解集为R的是（    ）

A. －x2＋x＋1≥0 B. x2－2 x＋＞0

C. －2x2＋3x－4＜0 D. x2＋6x＋10＞0

【答案】CD

【解析】

【分析】

根据一元二次不等式的解法，逐个分析判断即可得解.

【详解】对于C项，不等式可化为x2－x＋2＞0，

所以，

所以－2x2＋3x－4＜0的解集为R；

对于D项，不等式可化为(x＋3)2＞－1，

所以x2＋6x＋10＞0的解集为R，

对于A ，B均不可得解集为R，

故选：CD.

11. 下列结论正确的是（    ）．

A. 若函数不存在零点，则不等式的解集为R

B. 不等式在R上恒成立的条件是且

C. 若关于x的不等式的解集为R，则

D. 不等式的解为

【答案】B

【解析】

【分析】利用二次不等式恒成立的性质即可判断A，C错误，B正确，解分式不等式即可判断D错误.

【详解】对于选项A，函数不存在零点，

则，即或在上恒成立.

故选项A错误；

对于选项B，不等式在R上恒成立的条件是

且，故选项B正确；

对于选项C，关于x的不等式的解集为R，

则①当时，，不满足条件，

②当时，，解得，故选项C错误；

对于选项D，，整理得，即，解得，故选项D错误．

故选：B

12. 设全集，则下面四个命题中是“”的充要条件的命题是（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据集合的补集，两个集合的交集、并集的定义，再由充要条件的定义判断哪些选项符合条件．

【详解】解：由 A∩B＝A，可得A⊆B．由 A⊆B 可得A∩B＝A，故A∩B＝A是命题A⊆B的充要条件，故A满足条件．

由可得A⊆B，由A⊆B 可得，故 是命题A⊆B的充要条件，故 B满足条件．

由，可得A⊆B，由A⊆B 可得，故 是命题A⊆B的充要条件，故C满足条件．

由，可得B⊆A，不能推出A⊆B，故④不是命题A⊆B的充要条件，故D不满足条件．

故选：ABC．

点睛】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集、并集的定义，充要条件的判定，属于基础题．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 命题“”的否定是___________

【答案】

【解析】

【分析】全称命题的否定是特称命题.

【详解】

否定是：

【点睛】全称命题的否定是特称命题，注意要将全称量词否定为存在量词，结论也要否定.

14. 计算：________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据指数幂的运算性质可求得所求代数式的值.

【详解】原式.

故答案为：.

15. 若集合A=中只含有一个元素，则值为__________；若A的真子集个数是3个，则的范围是 __________。

【答案】    ①. 0或    ②. ，，

【解析】

【分析】由集合中只含有一个元素，得到或，由此能求出值；由的真子集个数是3个，得到有两个实数根，由此能求出的范围．

【详解】集合中只含有一个元素，

或，

解得或．

故值为0或；

的真子集个数是3个，

有两个实数根，

，解得或，

的范围是，，．

故答案为：0或；，，．

【点睛】本题考查集合间的基本关系、一元二次方程的求解，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．

16. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300的内接矩形花园（阴影部分），则其一边长x（单位m）的取值范围是___________.

【答案】[10，30]

【解析】

【分析】设矩形另一边长为，由三角形相似得出x，y的关系，再根据矩形的面积公式建立不等式，解之可求得答案.

【详解】解：设矩形的另一边长为，由三角形相似得且，

所以，又矩形的面积，所以，解得，

所以其一边长x（单位m）的取值范围是[10，30].

故答案为：[10，30].

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. （1）试比较与的大小；

（2）已知，，求证：．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）与作差，判断差的正负即可得出结论；

（2）结合不等式的性质分析即可证出结论.

【详解】（1）由题意，

，

所以．

（2）证明：因为，所以，即，

而，所以，则．得证．

18. 化简或计算下列各式：

（1）；

（2）已知，，计算的值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】(1)利用指数运算法则结合单项式的乘除法法则直接计算即可；

(2)将对数式化成指数式，再利用指数运算法则计算即得.

【详解】（1）；

（2）因为，则，

所以.

19. 已知集合，集合，集合．

（1）求，，；

（2）若是的必要条件，求m的取值范围．

【答案】（1），，或；（2）.

【解析】

【分析】(1)根据题意，通过解分式不等式与一元二次不等式，分别表示出集合，，，再结合数轴即可求解；

(2)由题意可知，再结合数轴即可求解.

【详解】（1）解不等式，即，解得，

则，，

所以，，

因此，或 ．

（2）因为，

由于是的必要条件，则，

所以，解得，

因此，实数m的取值范围是．

20. 已知关于的不等式；.

（1）若，求不等式的解集；

（2）若关于的不等式解集为或，求的取值范围.

【答案】（1）或；（2）.

【解析】

【分析】（1）当，求一元二次不等式的解集即可；

（2）因为关于的不等式解集为或，所以不等式中二次项的系数，同时，最后求不等式组的解集即可.

【详解】解：（1）当时，原不等式可化为，即，

解得或.

（2）由不等式的解集为或，得不等式组.

解不等式组，得，当时，两根相等，满足题意.

综上，的取值范围为.

【点睛】熟练掌握一元二次不等式的解法是高中数学学习的基础，需要加强巩固.

21. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若实数存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.

已知集合，集合.

（1）当时，求；

（2）当______时，求实数的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【解析】

【分析】

（1）先求出集合，再利用集合的交集运算求解即可；（2）在中，利用做差法比较两根的大小，得到，我选的是①，由题意得，所以，解不等式组即可得出结果；我选的是②，由知，所以或，解不等式即可得出结果；我选的是③，先求，由知或，解不等式即可得出结果.

【详解】（1）当时，

，

又，

则.

（2）选①，

在中，，

对应的方程的根为，.

因为，

所以，

这样.

由知，，

所以，

解得：.

选②，

在中，，

对应的方程的根为，.

因为

所以，

这样.

由知，

所以或，

解得：或.

选③，

在中，，

对应的方程的根为，.

因为

所以，

这样，

.

由知

所以或，

解得：或.

【点睛】本题主要考查了利用集合的交并补集运算求解参数的范围问题以及利用集合间的包含关系求参数的问题.本题是开放式题目.属于较易题.

22. 中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米元，左右两面新建墙体的报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计元，设屋子的左右两面墙的长度均为.

（1）当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？

（2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元；若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求的取值范围.

【答案】（1）当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14400元．（2）

【解析】

【分析】（1）设总造价为元，列出．利用基本不等式求解函数最值即可．

（2）由题意可得，对任意的，恒成立恒成立，利用基本不等式求解函数的最值即可．

【详解】解：（1）设甲工程队的总造价为元，依题意左右两面墙的长度均为，则屋子前面新建墙体长为，

则

因为．

当且仅当，即时等号成立．

所以当时，，

即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14400元．

（2）由题意可得，对任意的，恒成立．

即，从而，即恒成立，

又．

当且仅当，即时等号成立．

所以．

本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。

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