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高考数学(理数)二轮复习专题1 第4讲《不等式》练习 (含答案详解)
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专题复习检测A卷1.(福建泉州模拟)若a>b>c,ac<0,则下列不等式一定成立的是( )A.ab>0 B.bc<0C.ab>ac D.b(a-c)>0【答案】C【解析】由a>b>c,ac<0,可得a>0>c,b的正负无法确定,故A,B,D不一定成立,C一定成立.故选C.2.(浙江)若实数x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值是( )A.-1 B.1 C.10 D.12【答案】C【解析】作出可行域如图,由z=3x+2y,得y=-x+z.平移y=-x+z,由图可知当直线y=-x+z过点A(2,2)时,直线在y轴上的截距最大,此时z有最大值3×2+2×2=10.故选C.3.(广东深圳调研)关于x的不等式(mx-1)(x-2)>0,若此不等式的解集为,则m的取值范围为( )A.(-∞,0) B.(-∞,1) C.(0,+∞) D.(1,+∞)【答案】A【解析】∵不等式(mx-1)(x-2)>0的解集为,∴方程(mx-1)(x-2)=0的两个实数根为和2,且解得m<0.4.在坐标平面内,不等式组所表示的平面区域的面积为( )A.2 B. C. D.2【答案】B【解析】作出不等式组所表示的可行域(如图),通过解方程可得A,B(2,3),C(0,-1),E(0,1),由图可知,S△ABC=S△ACE+S△BCE=×|CE|×(xB-xA)=.5.(北京)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付________元;②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为________.【答案】①130 ②15【解析】①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,价格为60+80=140元>120元,故顾客需要支付140-10=130元.②在促销活动中,设订单总金额为m元,由题意可得(m-x)×80%≥m×70%恒成立,解得x≤恒成立.由题意可得m≥120,所以x≤=15,即x的最大值为15.6.(江苏南京调研)已知a>b>1,且2logab+3logba=7,则a+的最小值为________.【答案】3【解析】令logab=t,由a>b>1,得0<t<1.由2logab+3logba=2t+=7,解得t=,即logab=,a=b2.所以a+=a-1++1≥2+1=3,当且仅当a=2时取等号.7.(四川成都模拟)已知实数x,y满足则x2+y2的取值范围是________.【答案】【解析】作出不等式组表示的平面区域,如图阴影部分所示,x2+y2表示阴影部分的点到原点距离的平方,易得A(-1,2),B(2,-1),C(2,2),原点到直线x+y=1的距离为OD==.结合图形可得OD≤≤OC,所以2≤x2+y2≤(2-0)2+(2-0)2,则≤x2+y2≤8,即x2+y2的取值范围是.8.已知函数f(x)=x2-2x-8.(1)求不等式f(x)<0的解集;(2)若对一切x>2,均有f(x)≥(m+2)x-m-15成立,求实数m的取值范围.【解析】(1)由f(x)=x2-2x-8<0,得(x+2)(x-4)<0,解得-2<x<4.∴不等式f(x)<0的解集为{x|-2<x<4}.(2)当x>2时,f(x)≥(m+2)x-m-15成立,即x2-2x-8≥(m+2)x-m-15在(2,+∞)上恒成立,即x2-4x+7≥m(x-1).∴对一切x>2,均有≥m成立.而=(x-1)+-2≥2-2=2,当且仅当x=3时等号成立.∴实数m的取值范围是(-∞,2].B卷9.(黑龙江大庆校级期中)不等式ax2+bx+c>0的解集为(-4,1),则不等式b(x2+1)-a(x+3)+c>0的解集为( )A.B.C.∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪【答案】B【解析】不等式ax2+bx+c>0的解集为(-4,1),可知不等式对应方程的实数根为-4和1,且a<0.∴-4+1=-,(-4)×1=,得b=3a,c=-4a.∴不等式b(x2+1)-a(x+3)+c>0化为3a(x2+1)-a(x+3)-4a>0,即3(x2+1)-(x+3)-4<0,解得-1<x<.故选B.10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为( )A.7 B.9 C.10 D.12【答案】B【解析】由题意得acsin 120°=asin 60°+csin 60°,即ac=a+c,得+=1.所以4a+c=(4a+c)·=++5≥2+5=4+5=9,当且仅当=,即c=2a时取等号.11.(浙江)已知a∈R,函数f(x)=ax3-x.若存在t∈R,使得|f(t+2)-f(t)|≤,则实数a的最大值是________.【答案】【解析】由|f(t+2)-f(t)|≤,得|a(t+2)3-(t+2)-at3+t|≤,即|2a(3t2+6t+4)-2|≤,所以-≤2a(3t2+6t+4)-2≤,即≤a(3t2+6t+4)≤.由3t2+6t+4=3(t+1)2+1≥1,解得0<a≤,所以a的最大值为.12.电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示: 连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视人次(万)甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.(1)用x,y列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使收视人次最多?【解析】(1)由已知x,y满足的数学关系式为即该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1阴影部分(包括边界)内的整点.(2)设总收视人次为z万,则目标函数为z=60x+25y.z=60x+25y可变形为y=-x+,当取得最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,由图2可知当直线z=60x+25y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.由得点M的坐标为(6,3).所以电视台每周播出甲连续剧6次,乙连续剧3次,才能使总收视人次最多.
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