2022年山东省济南市历下区东方双语学校中考数学三模试卷(含答案)

这是一份2022年山东省济南市历下区东方双语学校中考数学三模试卷(含答案)，共36页。
2022年山东省济南市历下区东方双语学校中考数学三模试卷
一．选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）
1．（4分）﹣2022的绝对值是（　　）
A． B．2022 C．﹣ D．﹣2022
2．（4分）如图是由6个小正方体拼成的几何体，该几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．
3．（4分）国家卫健委通报：截至2021年6月19日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗101000万余剂次，建立免疫屏障，我们一起努力！将101000用科学记数法表示为（　　）
A．101×103 B．1.01×105 C．101×107 D．1.01×109
4．（4分）如图，直线a∥b∥c，直角三角板的直角顶点落在直线b上．若∠1＝35°，则∠2等于（　　）

A．115° B．125° C．135° D．145°
5．（4分）若实数a，b，c在数轴上对应位置如图所示，则下列不等式成立的是（　　）

A．ab＞cb B．ac＞bc C．a+c＞b+c D．a+b＞c+b
6．（4分）以下是清华大学、北京大学、上海交通大学、浙江大学的校徽，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（4分）化简的结果是（　　）
A． B． C．x2﹣x D．x2+x
8．（4分）将分别标有“中”“国”“加”“油”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球．两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．（4分）反比例函数y＝，y＝图象如图所示，点A在y＝图象上，连接OA交y＝图象于点B，则AB：BO的比为（　　）

A．1：2 B．2：3 C．4：5 D．4：9
10．（4分）如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡DE方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，则信号塔AB的高度约为（　　）
（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）

A．23米 B．24米 C．24.5米 D．25米
11．（4分）如图，在Rt△ABC中，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AC，AB于点E，F，再分别以E、F为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧相交于点O，P为射线AO上任意一点，过点P作PM⊥AC，交AC于点M，连接PC，若AC＝2，BC＝，则PM+PC长度的最小值为（　　）

A． B． C．4 D．
12．（4分）已知关于x的二次函数y＝﹣2x2+8x﹣m和一次函数y＝﹣x+4，当1≤x≤m（m＞1）时，两函数的图象有两个交点，则m的取值范围是（　　）
A．1＜m≤3 B．3≤m＜ C．2+≤m＜ D．3≤m≤2+
二．填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
13．（4分）因式分解：m2﹣2mn+n2＝　 　
14．（4分）一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是 　 　．

15．（4分）一个正多边形的每个内角都是150°，则它是正　 　边形．
16．（4分）若代数式的值为2，则x的值为　 　．
17．（4分）漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代入民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，如表是小明记录的部分数据，其中有一个h的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定当h为8cm时，对应的时间t为 　 　min．
t（min）
…
1
2
3
5
…
h（cm）
…
2.4
2.8
3.4
4
…

18．（4分）如图，在矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，点C落在BD上的点N处，连接EF．已知AB＝6，BC＝8，则EF的长为　 　．

三．解答题（共9小题，满分78分）
19．（6分）计算：﹣12cos60°+（）﹣1+（π﹣3.14）0
20．（6分）解不等式组，并写出该不等式组的所有整数解．
21．（6分）如图，已知E、F是▱ABCD对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC．求证：BE＝DF．

22．（8分）如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于E，AC⊥PQ于C，交⊙O于D．
（1）求证：AE平分∠BAC；
（2）若AD＝2，EC＝，∠BAC＝60°，求⊙O的半径．

23．（8分）为倡导绿色健康节约的生活方式，某社区开展“减少方便筷使用，共建节约型社区”活动．志愿者随机抽取了社区内50名居民，对其5月份方便筷使用数量进行了调查，并对数据进行了统计整理，以下是部分数据和不完整的统计图表：
方便筷使用数量在5≤x＜15范围内的数据：
5，7，12，9，10，12，8，8，10，11，6，9，13，6，12，8，7．
不完整的统计图表：
方便筷使用数量统计表
组别
使用数量（双）
频数
A
0≤x＜5
14
B
5≤x＜10

C
10≤x＜15

D
15≤x＜20
a
E
x≥20
10
合计

50
请结合以上信息回答下列问题：
（1）统计表中的a＝　 　；
（2）统计图中E组对应扇形的圆心角为 　 　度；
（3）C组数据的众数是 　 　；调查的50名居民5月份使用方便筷数量的中位数是 　 　；
（4）根据调查结果，请你估计该社区2000名居民5月份使用方便筷数量不少于15双的人数．

24．（10分）某厂计划生产A，B两种产品若干件，已知两种产品的成本价和销售价如表：
类别
价格
A种产品
B种产品
成本价（元/件）
400
300
销售价（元/件）
560
450
（1）第一次工厂用220000元资金生产了A，B两种产品共600件，求两种产品各生产多少件？
（2）第二次工厂生产时，工厂规定A种产品生产数量不得超过B种产品生产数量的一半．工厂计划生产两种产品共3000件，应如何设计生产方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
25．（10分）如图①，在矩形OABC中，OA＝4，OC＝3，分别以OC、OA所在的直线为x轴、y轴，建立如图所示的坐标系，连接OB，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，并与矩形的两边交于点E和点F，直线l：y＝kx+b经过点E和点F．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接OE、OF，求△OEF的面积；
（3）在第一象限内，请直接写出关于x的不等式kx+b≤的解集：　 　．
（4）如图②，将线段OB绕点O顺时针旋转一定角度，使得点B的对应点H恰好落在x轴的正半轴上，连接BH，作OM⊥BH，点N为线段OM上的一个动点，求HN+ON的最小值．

26．（12分）已知△ABC中，∠ABC＝90°，点D、E分别在边BC、边AC上，连接DE，DF⊥DE，点F、点C在直线DE同侧，连接FC，且．
（1）点D与点B重合时，
①如图1，k＝1时，AE和FC的数量关系是 　 　，位置关系是 　 　；
②如图2，k＝2时，猜想AE和FC的关系，并说明理由；

（2）BD＝2CD时，
①如图3，k＝1时，若AE＝2，S△CDF＝6，求FC的长度；
②如图4，k＝2时，点M、N分别为EF和AC的中点，若AB＝10，直接写出MN的最小值．

27．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与直线AB交于A、B两点，A（1，﹣）、B（﹣2，0），其中点A是抛物线y＝ax2+bx+c的顶点，交y轴于点D．
（1）求二次函数解析式；
（2）如图1，点P是第四象限抛物线上一动点，若∠PBA＝∠BAD，抛物线交x轴于点C．求△BPC的面积；
（3）如图2，点Q是抛物线第三象限上一点（不与点B、D重合），连接BQ，以BQ为边作正方形BEFQ，当顶点E或F恰好落在抛物线对称轴上时，直接写出对应的Q点的坐标．


2022年山东省济南市历下区东方双语学校中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）
1．（4分）﹣2022的绝对值是（　　）
A． B．2022 C．﹣ D．﹣2022
【分析】直接利用绝对值的定义得出答案．
【解答】解：﹣2022的绝对值是：2022．
故选：B．
【点评】此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的定义是解题关键．
2．（4分）如图是由6个小正方体拼成的几何体，该几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据左视图的意义，从左面看该组合体所得到的图形即可．
【解答】解：从左面看该组合体，所看到的图形如下，

故选：D．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，明确从左面看该组合体所得到的图形的形状是正确判断的前提．
3．（4分）国家卫健委通报：截至2021年6月19日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗101000万余剂次，建立免疫屏障，我们一起努力！将101000用科学记数法表示为（　　）
A．101×103 B．1.01×105 C．101×107 D．1.01×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：101000＝1.01×105，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（4分）如图，直线a∥b∥c，直角三角板的直角顶点落在直线b上．若∠1＝35°，则∠2等于（　　）

A．115° B．125° C．135° D．145°
【分析】先根据a∥b求出∠3的度数，再由余角的性质得出∠4的度数，进而得到∠5的度数，根据b∥c即可得出结论．
【解答】解：如图所示，∵a∥b，
∴∠3＝∠1＝35°，
又∵∠3+∠4＝90°，
∴∠4＝55°，
∴∠5＝180°﹣∠4＝125°，
又∵b∥c，
∴∠2＝∠5＝125°，
故选：B．

【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等．
5．（4分）若实数a，b，c在数轴上对应位置如图所示，则下列不等式成立的是（　　）

A．ab＞cb B．ac＞bc C．a+c＞b+c D．a+b＞c+b
【分析】首先根据有理数a、b，c在数轴上对应点位置确定其符号和大小，然后确定三者之间的关系即可．
【解答】解：由数轴可知：a＜b＜0＜c且|a|＞|b|＞|c|，
A、ab＞bc，正确；
B、ac＜bc，故错误；
C、a+c＜b+c，故错误；
D、a+b＜c+b，故错误．
故选：A．
【点评】本题考查了数轴及有理数的加法及乘法，根据数轴上点的位置确定其符号及绝对值的大小即可得到答案．
6．（4分）以下是清华大学、北京大学、上海交通大学、浙江大学的校徽，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用轴对称图形定义进行解答即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
7．（4分）化简的结果是（　　）
A． B． C．x2﹣x D．x2+x
【分析】先把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则求出即可．
【解答】解：原式＝•
＝x（x+1）
＝x2+x，
故选：D．
【点评】本题考查了分式的乘法和除法法则，能熟记法则的内容是解此题的关键．
8．（4分）将分别标有“中”“国”“加”“油”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球．两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的结果有2种，
∴两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的概率为＝，
故选：B．
【点评】此题考查了树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
9．（4分）反比例函数y＝，y＝图象如图所示，点A在y＝图象上，连接OA交y＝图象于点B，则AB：BO的比为（　　）

A．1：2 B．2：3 C．4：5 D．4：9
【分析】作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，根据反比例函数y＝系数k的几何意义得到S△AOM＝×9＝，S△BOC＝＝2，然后根据三角形相似的性质求得结论．
【解答】解：作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，
∵点A在y＝图象上，连接OA交y＝图象于点B，
∴S△AOM＝×9＝，S△BOC＝＝2，
∵AM∥BN，
∴＝（）2＝，
∴＝，
∴＝，即＝，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象，根据三角形相似的性质得到＝是解题的关键．
10．（4分）如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡DE方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，则信号塔AB的高度约为（　　）
（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）

A．23米 B．24米 C．24.5米 D．25米
【分析】过点E作EF⊥DC交DC的延长线于点F，过点E作EM⊥AC于点M，根据斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4可设EF＝x，则DF＝2.4x，利用勾股定理求出x的值，进而可得出EF与DF的长，故可得出CF的长．由矩形的判定定理得出四边形EFCM是矩形，故可得出EM＝FC，CM＝EF，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出答案．
【解答】解：过点E作EF⊥DC交DC的延长线于点F，过点E作EM⊥AC于点M，

∵斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，DE＝CD＝78米，
∴设EF＝x，则DF＝2.4x．
在Rt△DEF中，
∵EF2+DF2＝DE2，即x2+（2.4x）2＝782，
解得，x＝30，
∴EF＝30米，DF＝72米，
∴CF＝DF+DC＝72+78＝150米．
∵EM⊥AC，AC⊥CD，EF⊥CD，
∴四边形EFCM是矩形，
∴EM＝CF＝150米，CM＝EF＝30米．
在Rt△AEM中，
∵∠AEM＝43°，
∴AM＝EM•tan43°≈150×0.93＝139.5米，
∴AC＝AM+CM≈139.5+30＝169.5米．
∴AB＝AC﹣BC≈169.5﹣144.5＝25米．
故选：D．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
11．（4分）如图，在Rt△ABC中，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AC，AB于点E，F，再分别以E、F为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧相交于点O，P为射线AO上任意一点，过点P作PM⊥AC，交AC于点M，连接PC，若AC＝2，BC＝，则PM+PC长度的最小值为（　　）

A． B． C．4 D．
【分析】如图，过点P作PT⊥AB于T，过点C作CR⊥AB于R．证明PM+PC＝PC+PT≥CR，利用面积法求出CR即可．
【解答】解：如图，过点P作PT⊥AB于T，过点C作CR⊥AB于R．

在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，
∴AB＝＝＝，
∵CR⊥AB，
∴•AB•CR＝•AC•BC，
∴CR＝，
由作图可知，AO平分∠CAB，
∵PM⊥AC，PT⊥AB，
∴PM＝PT，
∴PM+PB＝PC+PM，
∵PC+PT≥CR，
∴PM+PC≥，
∴PM+PC的最小值为，
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是证明PM＝PT，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
12．（4分）已知关于x的二次函数y＝﹣2x2+8x﹣m和一次函数y＝﹣x+4，当1≤x≤m（m＞1）时，两函数的图象有两个交点，则m的取值范围是（　　）
A．1＜m≤3 B．3≤m＜ C．2+≤m＜ D．3≤m≤2+
【分析】联立一次函数、二次函数解析式，解方程组，当方程组有两组解时，两个函数图象有两个交点．
【解答】解：联立方程．
①﹣②得：2x2+9x+m+4＝0．
当Δ＞0时，方程有两个不相等的解，函数图象就有两个交点，
即：（9）2﹣4×2×（m+4）＞0．
解得：m．
根据图象特征：1≤x≤m（m＞1）时，两函数的图象有两个交点，
即当x＝1时，二次函数的函数值要小于或等于一次函数的函数值．
∴﹣2+8﹣m≤﹣1+4．
∴m≥3．
当x＝m时，二次函数的函数值要小于或等于一次函数的函数值．
∴﹣2m2+8m﹣m≤﹣m+4．
∴m≥或者m．
综上，m的取值范围是2+≤m＜．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数与一次函数的关系，求两函数图象的交点，一般可联立两个函数解析式解方程组．方程组无解，两图象无交点；方程组有一组解，两图象有一交点；方程组有两组解，两函数图象有两个交点．
二．填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
13．（4分）因式分解：m2﹣2mn+n2＝　（m﹣n）2　
【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：m2﹣2mn+n2＝（m﹣n）2．
故答案为：（m﹣n）2．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
14．（4分）一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是 　　．

【分析】若将每个方格地砖的面积记为1，则图中地砖的总面积为9，其中阴影部分的面积为2，再根据概率公式求解可得．
【解答】解：若将每个方格地砖的面积记为1，则图中地砖的总面积为9，其中阴影部分的面积为2，
所以该小球停留在黑色区域的概率是．
故答案为：．
【点评】本题考查的是几何概率，用到的知识点为：几何概率＝相应的面积与总面积之比．
15．（4分）一个正多边形的每个内角都是150°，则它是正　十二　边形．
【分析】首先根据内角度数计算出外角度数，再用外角和360°除以外角度数即可．
【解答】解：∵一个正多边形的每个内角为150°，
∴它的外角为30°，
360°÷30°＝12，
故答案为：十二．
【点评】此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是掌握内角与外角互为邻补角．
16．（4分）若代数式的值为2，则x的值为　﹣9　．
【分析】将分式方程去分母转化为一元一次方程，即可求出x的值．
【解答】解：由题意得＝2
去分母得x﹣3＝2（x+3）
解得x＝﹣9
经检验：x＝﹣9是原方程的根．
故答案为﹣9．
【点评】本题考查的是分式方程的解法，把分式方程转化为整式方程是解决问题的关键．
17．（4分）漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代入民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，如表是小明记录的部分数据，其中有一个h的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定当h为8cm时，对应的时间t为 　15　min．
t（min）
…
1
2
3
5
…
h（cm）
…
2.4
2.8
3.4
4
…

【分析】先根据一次函数的性质判断出错误的h值，再利用待定系数法求出h与t的关系式，最后将h＝8代入即可．
【解答】解：设一次函数的表达式为h＝kt+b，t每增加一个单位h增加或减少k个单位，
∴由表可知，当t＝3时，h的值记录错误．
将（1，2.4）（2，2.8）代入得，，
解得k＝0.4，b＝2，
∴h＝0.4t+2，
将h＝8代入得，t＝15．
故答案为：15．
【点评】本题考查一次函数的应用，能熟练的求出一次函数表达式是解题关键．
18．（4分）如图，在矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，点C落在BD上的点N处，连接EF．已知AB＝6，BC＝8，则EF的长为　　．

【分析】根据勾股定理求出BD，根据折叠的性质得到AE＝EM，CF＝NF，证明△EDM∽△BDA，根据相似三角形的性质求出DE，同理出去DF，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∠A＝∠C＝∠EDF＝90°，
∴BD＝＝＝10，
∵将矩形ABCD沿BE所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，
∴AE＝EM，∠A＝∠BME＝90°，
∴∠EMD＝90°，
∵∠EDM＝∠ADB，
∴△EDM∽△BDA，
∴＝，
设DE＝x，则AE＝EM＝8﹣x，
∴＝，
解得，x＝5，即DE＝5，
同理，△DNF∽△DCB，
∴＝，
设DF＝y，则CF＝NF＝6﹣y，
∴＝，
解得，y＝，即DF＝，
∴EF＝＝＝，
故答案为：．

【点评】本题考查了翻折的性质，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握翻折变换的性质、证明三角形相似是解题的关键．
三．解答题（共9小题，满分78分）
19．（6分）计算：﹣12cos60°+（）﹣1+（π﹣3.14）0
【分析】先计算算术平方根、代入三角函数值、负整数指数幂和零指数幂，再计算乘法，最后计算加减可得．
【解答】解：原式＝3﹣12×+8+1
＝3﹣6+8+1
＝6．
【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握实数运算的顺序和有关运算法则．
20．（6分）解不等式组，并写出该不等式组的所有整数解．
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
【解答】解：
解不等式①得：x≤3，
解不等式②得：x＞﹣1，
∴不等式组的解集是﹣1＜x≤3，
∴该不等式组的所有整数解为0，1，2，3．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．
21．（6分）如图，已知E、F是▱ABCD对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC．求证：BE＝DF．

【分析】首先利用平行四边形的性质得出AB＝CD，∠BAC＝∠DCF，进而得出△ABE≌△CDF（AAS），即可得出答案．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCF，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEA＝∠DFC，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，得出△ABE≌△CDF是解题关键．
22．（8分）如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于E，AC⊥PQ于C，交⊙O于D．
（1）求证：AE平分∠BAC；
（2）若AD＝2，EC＝，∠BAC＝60°，求⊙O的半径．

【分析】（1）连接OE，根据切线的性质就可以得出OE⊥PQ，就可以得出OE∥AC，可以得出∠BAE＝∠CAE而得出结论；
（2）连接BE，由AE平分∠BAC就可以得出∠BAE＝∠CAE＝30°，就可以求出AE＝2，在Rt△ABE中由勾股定理可以求出AB的值，从而求出结论．
【解答】（1）证明：连接OE，

∴OA＝OE，
∴∠OEA＝∠OAE．
∵PQ切⊙O于E，
∴OE⊥PQ．
∵AC⊥PQ，
∴OE∥AC．
∴∠OEA＝∠EAC，
∴∠OAE＝∠EAC，
∴AE平分∠BAC．
（2）解：连接BE，

∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°．
∵∠BAC＝60°，
∴∠OAE＝∠EAC＝30°．
∴AB＝2BE．
∵AC⊥PQ，
∴∠ACE＝90°，
∴AE＝2CE．
∵CE＝，
∴AE＝2．
设BE＝x，则AB＝2x，由勾股定理，得
x2+12＝4x2，
解得：x＝2或x＝﹣2（舍）
∴AB＝4，
∴⊙O的半径为2．
【点评】本题考查了角平分线的判定及性质的运用，切线的性质的运用，30度角的直角三角形的性质的运用，平行线的判定及性质的运用，解答时合理运用切线的性质是关键．
23．（8分）为倡导绿色健康节约的生活方式，某社区开展“减少方便筷使用，共建节约型社区”活动．志愿者随机抽取了社区内50名居民，对其5月份方便筷使用数量进行了调查，并对数据进行了统计整理，以下是部分数据和不完整的统计图表：
方便筷使用数量在5≤x＜15范围内的数据：
5，7，12，9，10，12，8，8，10，11，6，9，13，6，12，8，7．
不完整的统计图表：
方便筷使用数量统计表
组别
使用数量（双）
频数
A
0≤x＜5
14
B
5≤x＜10

C
10≤x＜15

D
15≤x＜20
a
E
x≥20
10
合计

50
请结合以上信息回答下列问题：
（1）统计表中的a＝　9　；
（2）统计图中E组对应扇形的圆心角为 　72　度；
（3）C组数据的众数是 　12　；调查的50名居民5月份使用方便筷数量的中位数是 　10　；
（4）根据调查结果，请你估计该社区2000名居民5月份使用方便筷数量不少于15双的人数．

【分析】（1）由总组人数减去其他组人数即可求解；
（2）利用360°×E组所占的比例即可得E组对应扇形的圆心角度数；
（3）根据众数，中位数的定义求解即可；
（4）2000×5月份使用方便筷数量不少于15双的人数所占比例即可求解．
【解答】解：（1）方便筷使用数量在5≤x＜15范围内的数据有17个，
∴a＝50﹣14﹣17﹣10＝9，
故答案为：9；
（2）360°×＝72°，
故答案为：72；
（3）将方便筷使用数量在10≤x＜15范围内的数据按从小到大的顺序排列为10，10，11，12，12，12，13，
由上述数据可得C组数据的众数是12，
B组的频数是10，C组的频数为7，D组的频数为9，
∴第25，26个数均为10，
∴调查的50名居民5月份使用方便筷数量的中位数是＝10．
故答案为：12，10；
（4）2000×＝760（人），
答：估计该社区2000名居民5月份使用方便筷数量不少于15双的人数为760人．
【点评】本题考查统计表、用样本估计总体以及扇形统计图，应结合统计表和扇形统计图，利用部分与总体之间的关系进行求解．
24．（10分）某厂计划生产A，B两种产品若干件，已知两种产品的成本价和销售价如表：
类别
价格
A种产品
B种产品
成本价（元/件）
400
300
销售价（元/件）
560
450
（1）第一次工厂用220000元资金生产了A，B两种产品共600件，求两种产品各生产多少件？
（2）第二次工厂生产时，工厂规定A种产品生产数量不得超过B种产品生产数量的一半．工厂计划生产两种产品共3000件，应如何设计生产方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
【分析】（1）设生产了A种产品x件，B种产品y件，由表中数据列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设A种产品生产m件，总利润为w元，由题意：工厂规定A种产品生产数量不得超过B种产品生产数量的一半．列出一元一次不等式，得m≤1000，再求出w＝10m+450000，然后由一次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）设生产了A种产品x件，B种产品y件，
由题意得：，
解得：，
答：生产了A种产品400件，B种产品200件；
（2）设A种产品生产m件，
由题意得：m≤（3000﹣m），
∴m≤1000，
设总利润为w元，
由题意得：w＝（560﹣400）m+（450﹣300）（3000﹣m）＝10m+450000，
∵10＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝1000时，w最大＝460000，
此时3000﹣m＝2000，
答：生产A种产品1000件，B种产品2000件，才能获得最大利润，最大利润是460000元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
25．（10分）如图①，在矩形OABC中，OA＝4，OC＝3，分别以OC、OA所在的直线为x轴、y轴，建立如图所示的坐标系，连接OB，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，并与矩形的两边交于点E和点F，直线l：y＝kx+b经过点E和点F．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接OE、OF，求△OEF的面积；
（3）在第一象限内，请直接写出关于x的不等式kx+b≤的解集：　0＜x≤或3≤x≤　．
（4）如图②，将线段OB绕点O顺时针旋转一定角度，使得点B的对应点H恰好落在x轴的正半轴上，连接BH，作OM⊥BH，点N为线段OM上的一个动点，求HN+ON的最小值．

【分析】（1）首先确定点B坐标，再根据中点坐标公式求出点D的坐标即可解决问题．
（2）求出点E，F的坐标，再根据S△OEF＝S矩形ABCO﹣S△AOE﹣S△OCF﹣S△EFB计算即可．
（3）写出在第一象限，直线的图象在反比例函数的图象的下方的自变量x的取值范围即可．
（4）如图②中，作NJ⊥BD于J．HK⊥BD于K．解直角三角形首先证明：sin∠JOD＝，推出NJ＝ON•sin∠NOD＝ON，推出NH+ON＝NH+NJ，根据垂线段最短可知，当J，N，H共线，且与HK重合时，HN+ON的值最小，最小值＝HK的长，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）在矩形ABCO中，∵OA＝BC＝4，OC＝AB＝3，
∴B（3，4），
∵OD＝DB，
∴D（，2），
∵y＝经过D（，2），
∴k＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝．

（2）如图①中，连接OE，OF．

由题意E（，4），F（3，1），
∴S△OEF＝S矩形ABCO﹣S△AOE﹣S△OCF﹣S△EFB＝12﹣×4×﹣×3×1﹣×3×（3﹣）＝．

（3）观察图象可知：在第一象限内，关于x的不等式kx+b≤的解集为：0＜x≤或3≤x＜．
故答案为：0＜x≤或3≤x＜．


（4）如图②中，作NJ⊥BD于J．HK⊥BD于K．

由题意OB＝OH＝5，
∴CH＝OH﹣OC＝5﹣3＝2，
∴BH＝＝＝2，
∴sin∠CBH＝＝，
∵OM⊥BH，
∴∠OMH＝∠BCH＝90°，
∵∠MOH+∠OHM＝90°，∠CBH+∠CHB＝90°，
∴∠MOH＝∠CBH，
∵OB＝OH，OM⊥BH，
∴∠MOB＝∠MOH＝∠CBH，
∴sin∠JOD＝，
∴NJ＝ON•sin∠NOD＝ON，
∴NH+ON＝NH+NJ，
根据垂线段最短可知，当J，N，H共线，且与HK重合时，HN+ON的值最小，最小值＝HK的长，
∵OB＝OH，BC⊥OH，HK⊥OB，
∴HK＝BC＝4，
∴HN+ON是最小值为4．
【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，矩形的性质，解直角三角形，三角形的面积，最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
26．（12分）已知△ABC中，∠ABC＝90°，点D、E分别在边BC、边AC上，连接DE，DF⊥DE，点F、点C在直线DE同侧，连接FC，且．
（1）点D与点B重合时，
①如图1，k＝1时，AE和FC的数量关系是 　AE＝FC　，位置关系是 　AE⊥FC　；
②如图2，k＝2时，猜想AE和FC的关系，并说明理由；

（2）BD＝2CD时，
①如图3，k＝1时，若AE＝2，S△CDF＝6，求FC的长度；
②如图4，k＝2时，点M、N分别为EF和AC的中点，若AB＝10，直接写出MN的最小值．

【分析】（1）①利用SAS证明△ABE≌△CBF，得AE＝CF，∠A＝∠BCF＝45°，可得答案；
②利用两边成比例夹角相等可得△ABE∽△CBF，得，∠A＝∠BCF，从而得出答案；
（2）①过点D作DH⊥AC于H，作DT∥AB交AC于T，设DH＝HT＝HC＝m，利用平行线分线段成比例定理得AT＝4m，再利用SAS证明△EDT≌△FDC，则S△EDT＝S△FDC＝6，ET＝FC，进而解决问题；
②连接DM，CM，过点M作MK⊥BC于K，交AC于J，由直角三角形斜边上中线的性质得DM＝MC＝，则点M在线段CD的垂直平分线MK上，当MN⊥MK时，MN的值最小，再利用△NMJ∽△CKJ，从而解决问题．
【解答】解：（1）①由题意得：BA＝BC，BE＝BE，∠ABC＝∠EBF＝90°，
∴∠ABE＝∠CBF，∠A＝∠ACB＝45°，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴AE＝CF，∠A＝∠BCF＝45°，
∴∠ACF＝∠ACB+∠BCF＝90°，
∴AE⊥CF，
故答案为：AE＝CF，AE⊥CF；
②AE＝2CF，AE⊥CF，理由如下：
∵，
∴△ABE∽△CBF，
∴，∠A＝∠BCF，
∴AE＝2CF，
∵∠A+∠ACB＝90°，
∴∠BCF+∠ACB＝90°，
∴AE⊥CF；
（2）①如图，过点D作DH⊥AC于H，作DT∥AB交AC于T，

由题意知AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∵DT∥AB，
∴∠CDT＝∠DCT＝45°，
∴DT＝DC，
∵DH⊥CT，
∴HT＝HC，
∴DH＝HT＝HC，设DH＝HT＝HC＝m，
∴DT∥AB，
∴，
∴AT＝4m，
∵AE＝2，
∴ET＝4m﹣2，
∵DE＝DF，DT＝DC，∠EDF＝∠TDC＝90°，
∴∠EDT＝∠FDC，
∴△EDT≌△FDC（SAS），
∴S△EDT＝S△FDC＝6，ET＝FC，
∴，
解得m＝2或﹣（舍去），
∴CF＝ET＝4m﹣2＝6；
②如图，连接DM，CM，过点M作MK⊥BC于K，交AC于J，

同法可证AE⊥CF，
∵∠EDF＝∠ECF＝90°，EM＝MF，
∴DM＝MC＝，
∴点M在线段CD的垂直平分线MK上，当MN⊥MK时，MN的值最小，
由题意：AB＝10，BC＝5，CD＝，CK＝DK＝，
在Rt△ABC中，AC＝＝5，
∵AN＝CN，
∴CN＝，
∵JK∥AB，
∴，
∴，
∴CJ＝，
∴NJ＝CN﹣CJ＝，
∵MN⊥MK，
∴△NMJ∽△CKJ，
∴，
∴，
∴MN＝，
∴MN的最小值为．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握双子型基本模型是解题的关键．
27．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与直线AB交于A、B两点，A（1，﹣）、B（﹣2，0），其中点A是抛物线y＝ax2+bx+c的顶点，交y轴于点D．
（1）求二次函数解析式；
（2）如图1，点P是第四象限抛物线上一动点，若∠PBA＝∠BAD，抛物线交x轴于点C．求△BPC的面积；
（3）如图2，点Q是抛物线第三象限上一点（不与点B、D重合），连接BQ，以BQ为边作正方形BEFQ，当顶点E或F恰好落在抛物线对称轴上时，直接写出对应的Q点的坐标．

【分析】（1）由待定系数法可求解析式；
（2）先求出点D，点C坐标，可求BP解析式，联立方程组可求点P坐标，即可求解；
（3）分两种情况讨论，由全等三角形的性质可得FH＝QG，或BN＝GQ，即可求解．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）2﹣，且过点B（﹣2，0），
∴0＝9a﹣
∴a＝
∴抛物线解析式为：y＝（x﹣1）2﹣＝x2﹣x﹣4；
（2）∵y＝x2﹣x﹣4与x轴交于B，C，交y轴与点D，
∴当x＝0，y＝﹣4，即点D（0，﹣4），
当y＝0时，0＝x2﹣x﹣4，
∴x1＝﹣2，x2＝4，
∴点C（4，0），
∵点A（1，﹣），点D（0，﹣4）
∴直线 AD解析式为：y＝﹣x﹣4，
∵∠PBA＝∠BAD，
∴BP∥AD，
∴设直线BP解析式为：y＝﹣x+m，且过点B，
∴0＝﹣×（﹣2）+m
∴m＝﹣1，
∴直线BP解析式为：y＝﹣x﹣1，
联立方程组可得：
∴，
∴点P（3，﹣）
∴S△BPC＝××6＝
（3）如图，过点Q作QG⊥BC于G，过点F作FH⊥GQ于H，设对称轴与BC交于N点，

∵四边形BEFQ是正方形，
∴BE＝EF＝BQ＝QF，∠EBQ＝∠BQF＝90°，
∵∠BQG+∠FQH＝90°，∠BQG+∠QBG＝90°，
∴∠GBQ＝∠FQH，且∠FHQ＝∠BGQ＝90°，BQ＝QF，
∴△BGQ≌△QHF（AAS）
∴BG＝QH，FH＝QG，
设点Q（m，m2﹣m﹣4）
若点F在对称轴上，
∵FH＝GQ，
∴1﹣m＝﹣m2+m+4，
∴m＝2+（舍去），m＝2﹣，
∴点Q坐标（2﹣，1﹣），
若点E在对称轴上，
同理可证：△BGQ≌△ENB，
∴BN＝GQ，
∴1﹣（﹣2）＝﹣m2+m+4，
∴m＝1+（舍去），m＝1﹣，
∴点Q坐标（1﹣，﹣3），
综上所述：点Q坐标为（1﹣，﹣3）或（2﹣，1﹣）．
【点评】本题是二次函数的综合题，利用待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
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