2021-2022学年广东省东莞市厚街湖景中学九年级（下）第一次教学反馈数学试卷(含答案)

这是一份2021-2022学年广东省东莞市厚街湖景中学九年级（下）第一次教学反馈数学试卷(含答案)，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广东省东莞市厚街湖景中学九年级（下）第一次教学反馈数学试卷
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣2021的倒数是（　　）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
2．（3分）以下是清华大学、北京大学、上海交通大学、浙江大学的校徽，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）若正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形的边数为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
5．（3分）关于x的方程（k﹣3）x2﹣4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≤5 B．k＜5且k≠3 C．k≤5且k≠3 D．k≥5且k≠3
6．（3分）清明节期间，小海自驾去某地祭祖，如图是他们汽车行驶的路程y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象．汽车行驶2小时到达目的地，这时汽车行驶了（　　）千米．

A．120 B．130 C．140 D．150
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是斜边AB上的高，BD＝2，那么AD的长为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
8．（3分）圆锥的轴截面是一个等边三角形，则它的侧面展开图圆心角度数是（　　）
A．60° B．90° C．120° D．180°
9．（3分）正方形ABCD的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正方形ABCD内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为（　　）

A． B． C． D．
10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③abc＞0；④b2+8a＞4ac．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（每小题4分，共28分）
11．（4分）分解因式：﹣4x2+16＝　 　．
12．（4分）若函数y＝在实数范围内有意义，则自变量x的取值范围是　 　．
13．（4分）若x2﹣3x＝﹣3，则3x2﹣9x+7的值是 　 　．
14．（4分）在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）到原点的距离是 　 　．
15．（4分）如图，把△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C'，此时A′B′⊥AC于D，已知∠A＝50°，则∠B′CB的度数是　 　°．

16．（4分）小明推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝﹣（x﹣4）2+3，则小明推铅球的成绩是　 　m．
17．（4分）如图在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10，等腰直角三角形ADE绕点A旋转，∠DAE＝90°，AD＝AE＝4，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接MP、PN、MN，则△PMN面积的最小值是 　 　．

三、解答题（每小题6分共18分）
18．（6分）计算：|﹣4|﹣（π﹣3.14）0+2cos30°+（）﹣1．
19．（6分）先化简，再求值：，其中m＝+3．
20．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，且AE＝CF．
（1）求证：平行四边形ABCD是菱形；
（2）若DB＝10，AB＝13，求平行四边形ABCD的面积．

四、解答题（每小题8分共24分）
21．（8分）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2k）+k（k﹣1）＝0．
（1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个根x1，x2是一个矩形的一边长和对角线的长，且矩形的另一边长为3，试求k的值．
22．（8分）某手机店准备进一批华为手机，经调查，用80000元采购A型华为手机的台数和用60000元采购B型华为手机的台数一样，一台A型华为手机的进价比一台B型华为手机的进价多800元．
（1）求一台A，B型华为手机的进价分别为多少元？
（2）若手机店购进A，B型华为手机共60台进行销售，其中A型华为手机的台数不大于B型华为手机的台数，且不小于20台，已知A型华为手机的售价为4200元/台，B型华为手机的售价为2800元/台，且全部售出，手机店怎样安排进货，才能在销售这批华为手机时获最大利润，求出最大利润．
23．（8分）如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点D，点E在⊙O上，且，连接BE交AC于点F，已知BA＝BF．

（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若AF＝6，，求⊙O的直径．
五、解答题（每小题10分共20分）
24．（10分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于第一象限C（1，4），D（4，m）两点，与坐标轴交于A、B两点，连接OC，OD（O是坐标原点）．
（1）求△DOC的面积．
（2）将直线AB向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？
（3）双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

25．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+x+与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为D．点P为对称轴右侧抛物线上的一个动点，其横坐标为m，直线AD交y轴于点C，过点P作PF∥AD交x轴于点F，PE∥x轴，交直线AD于点E，交直线DF于点M．
（1）求直线AD的表达式及点C的坐标；
（2）当DM＝3MF时，求m的值；
（3）试探究点P在运动过程中，是否存在m，使四边形AFPE是菱形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．



2021-2022学年广东省东莞市厚街湖景中学九年级（下）第一次教学反馈数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣2021的倒数是（　　）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数判断即可．
【解答】解：﹣2021的倒数是．
故选：D．
【点评】此题主要考查了倒数，正确掌握相关定义是解题关键．
2．（3分）以下是清华大学、北京大学、上海交通大学、浙江大学的校徽，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用轴对称图形定义进行解答即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
3．（3分）方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【分析】应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可．
【解答】解：，
①+②，可得6x＝12，
解得x＝2，
把x＝2代入①，解得y＝7，
∴原方程组的解是．
故选：D．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．
4．（3分）若正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形的边数为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，因为所给多边形的每个内角均相等，故又可表示成120°n，列方程可求解．此题还可以由已知条件，求出这个多边形的外角，再利用多边形的外角和定理求解．
【解答】解：设所求正n边形边数为n，
则120°n＝（n﹣2）•180°，
解得n＝6，
故选：A．
【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算是解答此题的关键．
5．（3分）关于x的方程（k﹣3）x2﹣4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≤5 B．k＜5且k≠3 C．k≤5且k≠3 D．k≥5且k≠3
【分析】讨论：当k﹣3＝0，即k＝3，方程为一元一次方程，有一个解；当k﹣3≠0时，利用判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4（k﹣3）×2≥0，解得k≤5且k≠3，然后综合两种情况得到k的范围．
【解答】解：当k﹣3＝0，即k＝3，方程化为﹣4x＝2，解得x＝﹣；
当k﹣3≠0时，Δ＝（﹣4）2﹣4（k﹣3）×2≥0，解得k≤5且k≠3，
综上所述，k的范围为k≤5．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
6．（3分）清明节期间，小海自驾去某地祭祖，如图是他们汽车行驶的路程y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象．汽车行驶2小时到达目的地，这时汽车行驶了（　　）千米．

A．120 B．130 C．140 D．150
【分析】根据待定系数法，可得一次函数解析式，根据自变量的值，可得相应的函数值．
【解答】解：如图所示：

设AB段的函数解析式是y＝kx+b，
∵y＝kx+b的图象过A（0.5，20），B（1.5，100），
∴，解得，
∴AB段函数的解析式是y＝80x﹣20，
∵汽车行驶2小时到达目的地，
∴y＝80×2﹣20＝140（千米），
即这时汽车行驶了140千米．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的应用，利用了待定系数法求解析式，求函数的值．
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是斜边AB上的高，BD＝2，那么AD的长为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据三角形的内角和求出∠B，根据余角的定义求出∠BCD，根据含30度角的直角三角形性质求出BC＝2AD，AB＝2BC，求出AB即可．
【解答】解：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，
∴∠BDC＝90°＝∠ACB，
∵∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝30°，
∵BD＝2，
∴BC＝2BD＝4，
∴AB＝2BC＝8，
∴AD＝AB﹣BD＝8﹣2＝6，
故选：C．
【点评】本题主要考查的是含30度角的直角三角形性质和三角形内角和定理的应用，关键是求出BC＝2BD，AB＝2BC．
8．（3分）圆锥的轴截面是一个等边三角形，则它的侧面展开图圆心角度数是（　　）
A．60° B．90° C．120° D．180°
【分析】易得圆锥的底面直径与母线长相等，那么根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长即可得到这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为R，
∵它的轴截面是正三角形，
∴R＝2r，
∴2πr＝，
解得n＝180°，
故选：D．
【点评】用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长．
9．（3分）正方形ABCD的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正方形ABCD内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为（　　）

A． B． C． D．
【分析】求得阴影部分的面积后除以正方形的面积即可求得概率．
【解答】解：如图，连接PA、PB、OP；
则S半圆O＝＝，S△ABP＝×2×1＝1，
由题意得：图中阴影部分的面积＝4（S半圆O﹣S△ABP）
＝4（﹣1）＝2π﹣4，
∴米粒落在阴影部分的概率为＝，
故选：A．

【点评】本题考查了几何概率的知识，解题的关键是求得阴影部分的面积，难度不大．
10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③abc＞0；④b2+8a＞4ac．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【分析】根据抛物线开口向下，与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，即可判断①②；由抛物线对称轴在y轴的左侧，交y轴的正半轴，即可判断③；抛物线的顶点纵坐标大于2，即可判断④．
【解答】解：∵抛物线开口向下，与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，
∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，故①正确；
∵抛物线开口向下，与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，
∴a＜0，
∴函数的对称轴为：x＝﹣＞﹣1，
∴b＞2a，即2a﹣b＜0，故②正确；
∵抛物线对称轴在y轴的左侧，交y轴的正半轴，
∴ab同号，c＞0，
∴abc＞0，故③正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），
∴顶点纵坐标大于2，故＞2，
∴b2+8a＞4ac，故④正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，a的符号由抛物线的开口方向决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置确定；b的符号由对称轴的位置与a的符号决定；抛物线与x轴的交点个数决定根的判别式的符号，此外还要注意二次函数图象上的一些特殊点．
二、填空题（每小题4分，共28分）
11．（4分）分解因式：﹣4x2+16＝　4（2+x）（2﹣x）　．
【分析】先提取公因数4，然后利用平方差公式继续进行因式分解．
【解答】解：﹣4x2+16＝4（4﹣x2）＝4（2+x）（2﹣x）．
故答案是：4（2+x）（2﹣x）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
12．（4分）若函数y＝在实数范围内有意义，则自变量x的取值范围是　x≤5　．
【分析】利用二次根式有意义的条件得到5﹣x≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得5﹣x≥0，
所以x≤5．
故答案为x≤5．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围：自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
13．（4分）若x2﹣3x＝﹣3，则3x2﹣9x+7的值是 　﹣2　．
【分析】观察已知和要求代数式的特点利用整体代入思想代入求值．
【解答】解：∵x2﹣3x＝﹣3，
∴原式＝3（x2﹣3x）+7
＝3×（﹣3）+7
＝﹣9+7
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查代数式求值，解题关键是根据已知和要求代数式的特点选择用整体思想代入求值．
14．（4分）在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）到原点的距离是 　　．
【分析】根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵点（3，﹣2）到两坐标轴的距离分别是3、2，
∴点（3，﹣2）到原点的距离是：＝．
故答案是：．
【点评】本题主要考查了勾股定理和坐标与图形的性质，根据点的坐标得到“点（3，﹣2）到两坐标轴的距离分别是3、2”是解题的突破口．
15．（4分）如图，把△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C'，此时A′B′⊥AC于D，已知∠A＝50°，则∠B′CB的度数是　40　°．

【分析】由旋转的性质可得∠A＝∠A'＝50°，∠BCB'＝∠ACA'，由直角三角形的性质可求∠ACA'＝40°＝∠B′CB．
【解答】解：∵把△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C'，
∴∠A＝∠A'＝50°，∠BCB'＝∠ACA'
∵A'B'⊥AC
∴∠A'+∠ACA'＝90°
∴∠ACA'＝40°
∴∠BCB'＝40°
故答案为：40．
【点评】本题考查了旋转的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
16．（4分）小明推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝﹣（x﹣4）2+3，则小明推铅球的成绩是　10　m．
【分析】根据铅球落地时，高度y＝0，把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可．
【解答】解：令函数式y＝﹣+3中，y＝0，
0＝﹣+3，
解得x1＝10，x2＝﹣2（舍去）．
即铅球推出的距离是10m．
故答案为：10．
【点评】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
17．（4分）如图在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10，等腰直角三角形ADE绕点A旋转，∠DAE＝90°，AD＝AE＝4，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接MP、PN、MN，则△PMN面积的最小值是 　　．

【分析】利用SAS定理证明△ADB≌△AEC，根据全等三角形的性质得到DB＝EC，∠ABD＝∠ACE，证明△PMN是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：∵△ABC，△ADE是等腰直角三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴DB＝EC，∠ABD＝∠ACE，
∵M，N，P分别是DE，DC，BC的中点，
∴MP∥EC，MP＝EC，NP＝DB，NP∥BD，
∴MP＝NP，∠DPM＝∠DCE，∠PNC＝∠DBC，
设∠ACE＝x°，∠ACD＝y°，
∴∠ABD＝x°，∠DBC＝45°﹣x°＝∠PNC，∠DCB＝45°﹣y°，
∴∠DPM＝x°+y°，∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝90°﹣x°﹣y°，
∴∠MPN＝90°且PN＝PM，
∴△PMN是等腰直角三角形，
∴S△PMN＝PN2＝BD2，
∴当BD最小时，△PMN的面积最小，
∵点D在线段AB上时，BD最小，最小值为10﹣4＝6，
∴△PMN的面积最小值为×62＝，
故答案为：．
【点评】本题考查是旋转变换的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，解题的关键是判断出△PMN是等腰直角三角形．
三、解答题（每小题6分共18分）
18．（6分）计算：|﹣4|﹣（π﹣3.14）0+2cos30°+（）﹣1．
【分析】原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【解答】解：原式＝4﹣1+2×+3
＝4﹣1+3+3
＝9．
【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（6分）先化简，再求值：，其中m＝+3．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将m的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝3﹣m，
当m＝+3时，原式＝3﹣（+3）＝3﹣﹣3＝﹣．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
20．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，且AE＝CF．
（1）求证：平行四边形ABCD是菱形；
（2）若DB＝10，AB＝13，求平行四边形ABCD的面积．

【分析】（1）证△ABE≌△CBF（ASA），得AB＝CB，即可得出平行四边形ABCD是菱形；
（2）由菱形的性质得AD＝AB＝13，设AE＝x，则DE＝13﹣x，在Rt△ABE和Rt△BDE中，由勾股定理得出方程：132﹣x2＝102﹣（13﹣x）2，解得x＝，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠AEB＝∠CFB＝90°，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（ASA），
∴AB＝CB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝13，
设AE＝x，则DE＝13﹣x，
在Rt△ABE和Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2＝AB2﹣AE2＝DB2﹣DE2，
即132﹣x2＝102﹣（13﹣x）2，
解得：x＝，
∴BE＝＝，
∴平行四边形ABCD的面积＝AD×BE＝13×＝120．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
四、解答题（每小题8分共24分）
21．（8分）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2k）+k（k﹣1）＝0．
（1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个根x1，x2是一个矩形的一边长和对角线的长，且矩形的另一边长为3，试求k的值．
【分析】（1）计算方程的根的判别式，若Δ＝b2﹣4ac＞0，则证明方程计算方程的根的判别式，若Δ＝b2﹣4ac≥0，则证明方程总有实数根；
（2）根据根与系数的关系以及矩形的面积，即可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k值，再结合（1）的结论即可确定k的值．
【解答】解：（1）（x﹣1）（x﹣2k）+k（k﹣1）＝0，
整理得：x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，
∵a＝1，b＝﹣（2k+1），c＝k2+k，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（2k+1）2﹣4×1×（k2+k）
＝1＞0；
∴该一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0
∴x1＝k，x2＝k+1，
①当x＝k为对角线时，k2＝（k+1）2+32，
解得：k＝﹣5（不符合题意，舍去），
②当x＝k+1为对角线时，（k+1）2＝k2+32，
解得：k＝4，
综上所述，k的值为4．
【点评】本题考查了根的判别式，矩形的性质，也考查了解一元二次方程和一元二次方程的解．
22．（8分）某手机店准备进一批华为手机，经调查，用80000元采购A型华为手机的台数和用60000元采购B型华为手机的台数一样，一台A型华为手机的进价比一台B型华为手机的进价多800元．
（1）求一台A，B型华为手机的进价分别为多少元？
（2）若手机店购进A，B型华为手机共60台进行销售，其中A型华为手机的台数不大于B型华为手机的台数，且不小于20台，已知A型华为手机的售价为4200元/台，B型华为手机的售价为2800元/台，且全部售出，手机店怎样安排进货，才能在销售这批华为手机时获最大利润，求出最大利润．
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的分式方程，注意分式方程要检验；
（2）根据题意，可以写出利润与购进A型华为手机台数的函数关系式，然后根据A型华为手机的台数不大于B型华为手机的台数，可以求得购进A型华为手机数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得如何进货，利润取得最大值，并计算出这个最大值．
【解答】解：（1）设一台A型华为手机的进价为x元，则一台B型华为手机的进价为（x﹣800）元，
由题意可得：，
解得x＝3200，
经检验，x＝3200是原分式方程的解，
∴x﹣800＝2400，
答：一台A型华为手机的进价为3200元，一台B型华为手机的进价为2400元；
（2）设购进A型华为手机a台，则购进B型华为手机（60﹣a）台，总利润为w元，
由题意可得：w＝（4200﹣3200）a+（2800﹣2400）（60﹣a）＝600a+24000，
∴w随a的增大而增大，
∵A型华为手机的台数不大于B型华为手机的台数，且不小于20台，
∴20≤a≤60﹣a，
解得20≤a≤30，
∴当a＝30时，w取得最大值，此时w＝42000，60﹣a＝30，
答：当购进A型华为手机30台，购进B型华为手机30台时，才能在销售这批华为手机时获最大利润，最大利润是42000元．
【点评】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的分式方程和函数关系式，利用一次函数的性质求最值．
23．（8分）如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点D，点E在⊙O上，且，连接BE交AC于点F，已知BA＝BF．

（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若AF＝6，，求⊙O的直径．
【分析】（1）由等腰三角形的性质和圆周角定理可证∠A+∠ACB＝90°，可得结论；
（2）通过证明△ADB∽△ABC，可求AB的长，由勾股定理可求BD，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AB＝BF，
∴∠A＝∠BFA，
∵BC是直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠DBF+∠DFB＝90°，
∵＝，
∴∠BCD＝∠DBF，
∴∠A+∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°，
又∵BC是直径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）∵BA＝BF，∠BDC＝90°，
∴AD＝DF＝AF＝3，
∵∠A＝∠A，∠ADB＝∠ABC＝90°，
∴△ADB∽△ABC，
∴，
∴，
∴AB＝5，
∴BD＝＝4，
∴，
∴BC＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
五、解答题（每小题10分共20分）
24．（10分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于第一象限C（1，4），D（4，m）两点，与坐标轴交于A、B两点，连接OC，OD（O是坐标原点）．
（1）求△DOC的面积．
（2）将直线AB向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？
（3）双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）把C（1，4）代入y＝求出k＝4，把（4，m）代入y＝求出m的值；把C（1，4），D（4，1）代入y＝ax+b得出解析式，求出k＝﹣1，b＝5，得出一次函数的解析式，把y＝0代入y＝﹣x+5求出x＝5，得出OA＝5，根据△OCD的面积S＝S△COA﹣S△DOA代入求出即可；
（2）设直线AB向下平移n个单位长度，则直线AB：y＝﹣x+5﹣n，根据题意列出方程﹣x+5﹣n＝，则根的判别式Δ＝0；
（3）双曲线上存在点P，使得S△POC＝S△POD，这个点就是∠COD的平分线与双曲线的y＝交点，易证△POC≌△POD，则S△POC＝S△POD．
【解答】解：（1）把C（1，4）代入y＝，
得k＝4，
把（4，m）代入y＝，得m＝1；
∴反比例函数的解析式为y＝，m＝1．
∴D（4，1）．
把C（1，4），D（4，1）代入y＝ax+b得：，
解得k＝﹣1，b＝5．
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5，
把y＝0代入y＝﹣x+5，得x＝5，
∴OA＝5．
∴S△DOC＝S△COA﹣S△DOA＝×5×4﹣×5×1＝7.5；

（2）设直线AB向下平移n个单位长度，则直线AB：y＝﹣x+5﹣n，
根据题意列出方程：﹣x+5﹣n＝，
整理，得x2﹣（5﹣n）x+4＝0．
由于直线与反比例函数图象只有一个交点，
所以△＝[﹣（5﹣n）]2﹣4×1×4＝0．
解得n1＝1，n2＝9．
所以将直线AB向下平移1或9个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点；

（3）双曲线上存在点P（2，2），使得S△POC＝S△POD，理由如下：
∵C点坐标为：（1，4），D点坐标为：（4，1），
∴OD＝OC＝，
∴当点P在∠COD的平分线上时，∠COP＝∠POD，又OP＝OP，
∴△POC≌△POD，
∴S△POC＝S△POD．
∵C点坐标为：（1，4），D点坐标为：（4，1），
可得∠COB＝∠DOA，
又∵这个点是∠COD的平分线与双曲线的y＝交点，
∴∠BOP＝∠POA，
∴P点横纵坐标坐标相等，
即xy＝4，x2＝4，
∴x＝±2，
∵x＞0，
∴x＝2，y＝2，
故P点坐标为（2，2），使得△POC和△POD的面积相等．
利用点C、D关于直线y＝x对称，P（2，2）或P（﹣2，﹣2）．
【点评】本题考查了反比例函数综合题，涉及到了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的应用，用了数形结合思想．
25．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+x+与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为D．点P为对称轴右侧抛物线上的一个动点，其横坐标为m，直线AD交y轴于点C，过点P作PF∥AD交x轴于点F，PE∥x轴，交直线AD于点E，交直线DF于点M．
（1）求直线AD的表达式及点C的坐标；
（2）当DM＝3MF时，求m的值；
（3）试探究点P在运动过程中，是否存在m，使四边形AFPE是菱形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．


【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）如图，过点D作DQ⊥x轴于点Q，交PE于点N．得到P（m，﹣m2+m+）根据PE∥x轴，得到，当DM＝3MF时，＝3，解方程即可得到结论；
（3）分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，利用AE＝PE，分别求解即可．
【解答】解：（1）y＝﹣x2+x+，
当y＝0时，﹣x2+x+＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝4．
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣2，0）．
∵y＝﹣x2+x+，即y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4），
设直线AD的函数表达式为y＝kx+b．
∵直线AD过点A（﹣2，0），D（1，4），则，
解得，
∴y＝x+，
当x＝0时，y＝，
故C（0，）；

（2）如图，过点D作DQ⊥x轴于点Q，交PE于点N．

∵点P的横坐标为m，
∴P（m，﹣m2+m+），
∵D（1，4），
∴DN＝4﹣（﹣m2+m+）＝m2﹣m+，NQ＝|﹣m2+m+|，
∵PE∥x轴，
∴，
当DM＝3MF时，＝3，
∴DN＝3NQ，即m2﹣m+＝3|﹣m2+m+|，
当m2﹣m+＝3（﹣m2+m+）时，m＝1±，
∵点P在抛物线对称轴的右侧，
∴m＝1+；
当m2﹣m+＝﹣3（﹣m2+m+）时，m＝1±，
∵点P在抛物线对称轴的右侧，
∴m＝1+，
综上所述，m＝1+或m＝1+；
（3）存在，理由：
当点P在x轴上方时，
设点P（m，﹣m2+m+），则点E的坐标为（x，﹣m2+m+），
把点E的坐标代入AD的表达式得：x+＝﹣m2+m+，
解得x＝﹣m2+m+，
故点E的坐标为（﹣m2+m+，﹣m2+m+），
则EP＝m﹣（﹣m2+m+），
由直线AD的表达式知，tan∠EAO＝，则cos∠EAO＝＝，
则AE＝（xE﹣xA）＝（﹣m2+m++2），
∵四边形AFPE是菱形，则AE＝EP，
即m﹣（﹣m2+m+）＝（﹣m2+m++2），
解得m＝﹣2（舍去）或，
故点P的坐标为（，）；
当点P在x轴下方时，
同理可得，点P的坐标为（，﹣21）．
综上，点P的坐标为（，）或（，﹣21）．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
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