2022年吉林省长春四十八中中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2022年吉林省长春四十八中中考数学一模试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年吉林省长春四十八中中考数学一模试卷  第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）下列各数，最小的数是(    )A.  B.  C.  D. 某集成电路制造有限公司已于年第三季度成功量产了第一代纳米工艺，这是国内第一条工艺生产线，已知为米，数据用科学记数法表示为(    )A.  B.  C.  D. 下列四个选项中，不是正方体展开图的是(    )A.  B.
C.  D. 不等式组的解集是(    )A.  B.  C.  D. 已知一个边形的每个外角都等于，则的值是(    )A.  B.  C.  D. 如图，从外一点引圆的切线，切点为，连接并延长交圆于点，连接若，则的度数是(    )A.
B.
C.
D. 如图，在中，分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和，作直线交于点，交于点，连接，以点为圆心，以的长为半径画弧，交于点若，，则的长是(    )A.  B.  C.  D. 如图，点是反比例函数与的一个交点，图中阴影部分的面积为，则反比例函数的解析式(    )A.
B.
C.
D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，共18分）因式分解： ______ ．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则为______．如图，一根竖直的木杆在离地面处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成角，则木杆折断之前高度约为______
参考数据：，，
 如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心线段与线段是位似图形，若，，，则的坐标为______．
 如图，正方形内接于，的半径为，则的长为______．
 某菜农搭建一个横截面为抛物线的大棚，有关尺寸如图所示，若菜农身高为米，则他在不弯腰的情况下在大棚里活动的范围是______米．
   三、解答题（本大题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
先化简，再求值：，其中．本小题分第一盒中有个白球、个黄球，第二盒中有个白球、个黄球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个盒中随机取出个球，求取出的个球中有个白球、个黄球的概率．本小题分
如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小格的顶点叫格点．已知点在格点，请在给定的网格中按要求画四边形，使四边形的四个顶点都在格点．

以为顶点在图甲中画一个面积为的中心对称图形且满足；
以为顶点在图乙中画一个周长为、面积为的四边形，使其既是轴对称图形，又是中心对称图形．本小题分
某超市投入元资金购进甲、乙两种矿泉水共箱，矿泉水的成本价和销售价如表所示：类别单价成本价元箱销售价元箱甲乙该超市购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
全部售完箱矿泉水，该超市共获得利润多少元？本小题分
已知：如图，在中，，是的中线，为的外角的平分线，，交于点．
求证：四边形是矩形；
若，当的周长为时，矩形的面积是______．
本小题分
为了了解学生对“预防新型冠状病毒”知识的掌握情况，学校组织了一次线上知识培训，培训结束后进行测试，在全校名学生中，分别抽取了男生、女生各份成绩，整理分析过程如下，请补充完整．
收集数据名男生测试成绩统计如下：，，，，，，，，，，，，，，名女生测试成绩统计如下：满分分，，，，，，，，，，，，，，
整理、描述数据 男生女生分析数据两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如下表所示：性别平均数众数中位数方差男生女生在表中：______；______；
通过数据分析得到的结论，你认为男生成绩比较好还是女生成绩比较好？请说明理由；
若规定得分在分以上不含分为合格，请估计全校学生中“预防新型冠状病毒”知识测试合格的学生有多少人．本小题分
某贮水塔在工作期间，每小时的进水量和出水量都是固定不变的．从凌晨点到早点只进水不出水，点到点既进水又出水，点到次日凌晨只出水不进水．下图是某日水塔中贮水量立方米与时的函数图象．
求每小时的进水量；
当时，求与之间的函数关系式；
从该日凌晨点到次日凌晨，当水塔中的贮水量不小于立方米时，直接写出的取值范围．
本小题分
教材呈现如图是华师版八年级下册数学教材第页的部分内容．
例如图，在平行四边形中，对角线，，垂足为点，且，求和之间的距离．

请写出本题的解题过程．

方法运用如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，在重叠部分构成的四边形中，若，，则点到的距离为______；

如图，在中，，，，点为边上的任一点不与，重合，，，为垂足，则的值为______．本小题分
如图，在中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点匀速运动，作于，以为边向右作正方形，设正方形与的重叠部分的面积为，点的运动时间为秒．

填空：______，用含的代数式表示，则______；
当点落在边上时，求的值．
当正方形与的重叠部分图形为四边形时，求与的函数关系式．
如图，点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点匀速运动，作于，以为斜边向左构造等腰直角，当的直角顶点落在正方形的边或对角线上时，直接写出的值．本小题分
在平面直角坐标系中，将函数为常数的图象记为．
当时，设图象上一点，求的值；
设图象的最低点为，求的最大值；
当图象与轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为，则的取值范围是______；
设，，当图象与线段没有公共点时，直接写出的取值范围．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
最小的数是．
故选：．
由于正数大于，大于负数，要求最小实数，只需比较与即可．
本题考查的有理数大小的比较，依据是：正数大于，大于负数，两个负数绝对值大的反而小．
 2.【答案】 【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 3.【答案】 【解析】解：、、经过折叠后，可以围成正方体；
中含有“田”字格，故不是正方体的展开图．
故选：．
利用正方体及其表面展开图的特点解题．
本题考查了几何体的展开图．明确只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图是解题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：不等式组，
，
故选：．
组成一元一次不等式组的多个不等式的解集的公共部分叫做一元一次不等式组的解集．由此可求解．
本题考查不等式的解集，熟练掌握不等式解集的求法是解题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：多边形的外角和为，每个外角都等于，
的值是．
故选：．
根据任何多边形的外角和都是度，利用除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
本题考查多外角和边形的为，正确理解多边形外角和定理是关键．
 6.【答案】 【解析】解：连接，如图，
为切线，
，
，
，
．
故选：．
连接，如图，先根据切线的性质得到，再利用互余计算出，然后根据圆周角定理得到的度数．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．
 7.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了线段垂直平分线的性质．
先利用含度的直角三角形三边的关系得，再利用基本作图得到垂直平分，，则，所以，接着证明为等边三角形，所以，然后计算即可．
【解答】
解：由题意，在中，，
，，
由题干作图得垂直平分，，
，
，
，
为等边三角形，
，
．
故选：．  8.【答案】 【解析】解：设圆的半径是，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：
解得：．
点是反比例函与的一个交点．
且
．
，
则反比例函数的解析式是：．
故选：．
根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积，即可求得圆的半径，再根据在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得的值．
本题主要考查反比例函数图象的对称性的知识点，解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系．
 9.【答案】 【解析】解：．
故答案为：．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
 10.【答案】 【解析】解：根据题意得，
解得．
故答案为．
根据判别式的意义得到，然后解关于的方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 11.【答案】 【解析】【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，利用锐角三角函数定义求出三角形边长是解题的关键．
在中，由的长及的值可得出的长，即可解答．
【解答】
解：如图：

，，
，
木杆折断之前高度约为：
故答案为：．  12.【答案】 【解析】解：以原点为位似中心线段与线段是位似图形，，，
的对应点的坐标为：．
故答案为：．
直接利用，点的变化规律得出点坐标即可．
此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键．
 13.【答案】 【解析】解：连接，，则，，
的弧长为，
故答案为．
连接，，根据弧长公式即可求解．
此题主要考查了正多边形和圆，本题需仔细分析图形，利用弧长公式即可解决问题．
 14.【答案】 【解析】解：设抛物线的解析式为，由题意，得
，
解得：，
．
当时，
．
解得：，，
他在不弯腰的情况下在大棚里活动的范围是：
．
故答案为：．
如图，设抛物线的解析式为，由待定系数法求出抛物线的解析式，将时代入解析式就可以求出结论．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用，由解析式根据函数值求自变量的值的运用，解答时正确理解方程与函数关系求函数解析式是关键．
 15.【答案】解：原式
，
当时，原式． 【解析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解后约分得到原式，然后把的值代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值：先把分式化简，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
 16.【答案】解：画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中取出的个球中有个白球、个黄球的结果数为，
所以取出的个球中有个白球、个黄球的概率． 【解析】画树状图展示所有种等可能的结果数，找出取出的个球中有个白球、个黄球的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
 17.【答案】解：如图甲中四边形是面积为的中心对称图形且；
所以四边形即为所求；

如图乙中四边形是一个周长为、面积为的四边形，其既是轴对称图形，又是中心对称图形，
所以四边形即为所求． 【解析】根据中心对称的性质即可以为顶点在图甲中画一个面积为的中心对称图形且满足；
根据轴对称图形和中心对称图形定义．即可以为顶点在图乙中画一个周长为、面积为的四边形，使其既是轴对称图形，又是中心对称图形．
本题考查了作图旋转变换，轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
 18.【答案】解：设该超市购进甲种矿泉水箱，乙种矿泉水箱，
依题意，得：，
解得：．
答：该超市购进甲种矿泉水箱，乙种矿泉水箱．
元．
答：全部售完箱矿泉水，该超市共获得利润元． 【解析】设该超市购进甲种矿泉水箱，乙种矿泉水箱，根据该超市投入元资金购进甲、乙两种矿泉水共箱，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
根据总利润每箱利润销售数量购进数量，即可求出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 19.【答案】 【解析】证明：在中，，是边的中线，
，，
，
为的外角的平分线，
，
，
，
，
，
，
四边形为矩形；
解：，
，
，
是等边三角形，
的周长为，，
，，，
，
矩形的面积是：，
故答案为：．
要证明四边形是矩形，只要证明这个四边形有三个角是直角即可，根据题目中的条件和等腰三角形的性质，可以求得，从而可以证明结论成立；
根据等边三角形的性质和勾股定理，可以得到和的长，从而可以求得矩形的面积．
本题考查矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、解直角三角形，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
 20.【答案】   【解析】解：根据表格数据可知：，；
故答案为：，；
女生的成绩比较好．
虽然男、女生成绩的平均数相同，但女生成绩的众数、中位数都高于男生，男生成绩的方差大于女生成绩的方差，
女生掌握知识的整体水平比男生好；
人；
即估计全校学生中“预防新型冠状病毒”知识合格的学生约有人．
根据表格数据可得和的值；
根据女生成绩的众数、中位数都高于男生，男生成绩的方差大于女生成绩的方差，可得女生掌握知识的整体水平比男生好；
利用样本估计总体的方法即可估计全校学生中“预防新型冠状病毒”知识测试合格的学生数．
本题考查了方差，用样本估计总体，算术平均数，中位数，众数，解决本题的关键是掌握方差的定义．
 21.【答案】解：凌晨点到早点只进水，水量从立方米上升到立方米
立方米时
每小时的进水量为立方米．

设函数经过点，
 解得：
当时，

点到点既进水又出水时，每小时水量上升立方米
每小时出水量为：立方米
当时，，解得：
当时，，解得：
当水塔中的贮水量不小于立方米时，的取值范围是 【解析】本题考查了一次函数的应用，解题关键是理解图象中横纵坐标代表的意义并结合题意分析图象的每个分段函数．
由点到点只进水时，水量从立方米上升到立方米即能求每小时进水量；
由图象可得，时，对应的函数图象是线段，两端点坐标为和，用待定系数法即可求函数关系式；
由的函数关系式即能求在到点时，哪个时间开始贮水量不小于立方米，且能求出每小时的出水量；点后贮水量为立方米开始每小时减立方米，即能求等于立方米的时刻．
 22.【答案】   【解析】解：教材呈现设和之间的距离为，
则平行四边形的面积等于，
，
，
即：，
，
答：和之间的距离为．
方法运用解：过点作于，于，设、交点为．
两条纸条宽度相同，

．
，，
四边形是平行四边形．
．
又．
，
四边形是菱形；
，，．
．
．
设点到的距离为，
，
，
答：点到的距离为；
故答案为：；
解：如图，过点作交于点，连接，

设，则，
在中，，
，
在中，，
，
，解得，
，，，
，
，
，
．
故答案为：．
教材呈现利用等积法，设与之间的距离为，由条件可知▱的面积是的面积的倍，可求得▱的面积，再由，可求得．
方法运用过点作于，于，设、交点为，首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．然后依据勾股定理求得的长，从而可得到的长．
过点作交于点，连接，设，则，用勾股定理求出、的长度，再根据等面积法，求出．
本题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理的应用，等面积法的应用，正确的作出辅助线，建立直角三角形使用勾股定理是解决问题的关键．
 23.【答案】  【解析】解：如图

，，，
；
，且，
，
故答案为：，
如图，

点在边上，
四边形是正方形，
，
，
，
，
由得，，
解得，．
由题意可知，，，
当点与点重合时，则，解得
当点与点重合时，则，解得；
当时，如图，；
当时，如图，

，，，
，
综上所述，．
如图，

点在边上，由题意得，，解得；
如图，点为正方形的对角线交点，由题意得，，解得；
如图，点在边上，由题意得，，解得．
综上所述，的值为或或．
由勾股定理可求出的长，由与的比等于的正弦，可得出用含的代数式表示的式子；
当点落在边上，则与的比为：，由此求出的值即可；
正方形与的重叠部分图形为四边形有两种情况，先确定每种情况下的取值范围，再分别求出相应的函数关系式即可；
点落在正方形的边或对角线上有三种情况，包括点在上、点为正方形的对角线交点、点在上，分别求出相应的值即可．
此题重点考查相似三角形的判定与性质，锐角三角函数、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、根据图形的面积求函数关系式等知识与方法，还应注意数形结合、分类讨论等数学思想的运用，此题难度较大，属于考试压轴题．
 24.【答案】 【解析】解：当时，，
把代入，得，
解得或；
当时，，
对称轴为直线，
，
点坐标为，
此时，，
当时，
，
，
的最大值为，
综上所述，的最大值为；
图象与轴有两个交点，
，
或不合题意舍去，
当抛物线的点的在轴上时，则，
舍去，，
抛物线对称轴为直线，且，
当图象与轴有两个交点时，的取值范围是，
故答案为；
结合，抛物线的最低点的最大值为，
，
线段在图象内部，
，
解得：或．
将点坐标代入解析式可求解；
分和两种情况讨论，由二次函数的性质可求解；
先求出顶点在轴上时，的值，由抛物线的对称轴为直线，且，可求解；
由图象的最低点可得线段在图象内部，列出不等式组可求解．
本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数与一元二次方程的关系，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．