专题1.50 全等三角形几何模型-共顶（角）等角模型（专项练习）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版）

这是一份专题1.50 全等三角形几何模型-共顶（角）等角模型（专项练习）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版），共32页。

专题1.50 全等三角形几何模型-共顶（角）等角模型
（专项练习）
模型一：共顶点双垂线等角模型：

模型二：共顶点等角模型：


图一 图二
一、单选题
1．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，添加的一组条件不正确的是（　　）

A．BC＝DC，∠A＝∠D B．BC＝EC，AC＝DC
C．∠B＝∠E，∠BCE＝∠ACD D．BC＝EC，∠B＝∠E
2．如图，由∠1=∠2，BC=DC，AC=EC，得△ABC≌△EDC的根据是（       ）

A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
3．如图，△ABC中，已知∠B=∠C，点E，F，P分别是AB，AC，BC上的点，且BE=CP，BP=CF，若∠A=112°，则∠EPF的度数是（     ）

A．34° B．36° C．38° D．40°
4．如图，已知，则的度数为（       ）

A． B． C． D．
5．如图，已知AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC，AD=AE，则∠BFD的度数是（　　　）

A．60° B．90° C．45° D．120°
6．如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=24°，∠2=36°，则∠3=（        ）

A．50 B．60 C．55 D．65
7．如图，在△ABC中，AB=AC．点B，D，E在同一直线上，点D在△ABC内、点E在△ABC外，且AD=AE．若，则∠BEC的度数为(　　　)

A．50° B．55° C．60° D．80°
8．如图，和均为等边三角形，点，，在同一条直线上，连接，若，则的度数是（       ）

A． B． C． D．
9．如图，和都是等边三角形，，，则的周长为（       ）

A．19 B．20 C．27 D．30
10．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝2，O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，则OE的最小值是为（　　）

A． B．0.25 C．1 D．2
11．如图，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°，且∠EBD=38°，则∠AEB=（     ）

A．52° B．90° C．128° D．38°
12．如图，已知AB＝AC，AF＝AE，∠EAF＝∠BAC，点C、D、E、F共线．则下列结论，其中正确的是（　　）
①△AFB≌△AEC；②BF＝CE；③∠BFC＝∠EAF；④AB＝BC．

A．①②③ B．①②④ C．①② D．①②③④
13．如图，AD是△ABC的中线，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，则（ ）

A．BE+CF＞EF B．BE+CF=EF
C．BE+CF＜EF D．BE+CF与EF的大小关 系不能确定．
二、填空题
14．如图所示，AB = AD，∠1 = ∠2，添加一个适当的条件，使，则需要添加的条件是_________．

15．如图，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中∠ABM＝NBC＝∠90°，连接MN，已知MN＝4，则BD＝_________．

16．如图所示，若AD=AB,AC=AG,∠DAE=∠GAC=60°，则∠DOC＝___．

17．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝21°，∠2＝30°，则∠3＝___．

18．如图，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°，且∠EBD＝53°，则∠AEB＝____．

19．如图，在中，，分别以、为边在内部作等腰三角形、，点恰好在边上，使，，且，连接，，，的面积为，则的面积为__________．

20．如图所示，，，，，，则的度数是______．

21．两个大小不同的等腰直角三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接．一只蜗牛在爬行速度不变的情况下，从C爬到D所用的最短时间与它爬行线段__________所用的时间相同．（不要使用图形中未标注的字母）

22．如图，在中，为线段上一动点(不与点重合)，连接作，且连接，当时，______________________度．

23．如图，，，，且，则____

24．在和中，，，，AC分别交BD，OB于点E，F．则________．

25．如图，已知，，，、、在同一直线上，则的度数为__________.

26．如图，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°，且∠EBD=38°，则∠AEB=________.

27．已知：如图，和为两个共直角顶点的等腰直角三角形，连接、．图中一定与线段相等的线段是__________．

三、解答题
28．如图所示，，，，求证：．






29．如图，已知AB=AE，AC=AD，∠BAD=∠EAC．求证：∠B=∠E．






30．如图，，，，则，请将下列说理过程补充完整．

解：，=______+______．
即=______．
在和中，





31．如图，在等腰三角形中，，，是边的中点，点在线段上从向运动，同时点在线段上从点向运动，速度都是1个单位/秒，时间是（），连接、、.
（1）请判断形状，并证明你的结论.
（2）以、、、四点组成的四边形面积是否发生变化？若不变，求出这个值：若变化，用含的式子表示.




32．如图，AB＝AE，∠1＝∠2，AC＝AD．求证：△ABC≌△AED．




33．如图所示，AE=AC，AB=AD，∠EAB=∠CAD．求证：∠B=∠D．



34．如图（1）已知在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内任意一点将AP绕点A顺时针旋转到AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ、CP，则BQ＝CP，请证明；若将点P移到等腰ABC之外，原题中其它条件不变，上面的结论是否成立？请说明理由．






35．如图，AB=AE，∠B=∠AED，∠1=∠2．求证：△ABC≌△AED．




参考答案
1．A
【分析】
根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
解：A．AB＝DE，BC＝DC，∠A＝∠D，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEC，故本选项符合题意；
B．AC＝DC，AB＝DE，BC＝EC，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；
C．∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，
即∠ACB＝∠DCE，
∵∠B＝∠E，AB＝DE，
∴△ABC≌△DEC（AAS），故本选项不符合题意；
D．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法—— ， ， ， ．
2．A
解：∵∠1=∠2，∴∠ACD+∠2=∠ACD+∠1，即∠ACB=∠ECD．又∵BC=DC，AC=EC，∴△ABC≌△EDC（SAS）．故选A．
【点拨】全等三角形的判定．
3．A
【分析】
由三角形内角和定理可得∠B=∠C=34°，由△EBP≌△PCF可得∠EPB=∠PFC，再由三角形外角的性质便可解答；
解：△BAC中，∠B=∠C，∠A=112°，则∠B=∠C=34°，
△EBP和△PCF中：BE=CP，∠EBP=∠PCF，BP=CF，
∴△EBP≌△PCF（SAS），
∴∠EPB=∠PFC，
∵∠BPF=∠EPB+∠EPF=∠C+∠PFC，
∴∠EPF=∠C=34°，
故选：A．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质；掌握全等三角形的判定定理和性质是解题关键．
4．C
【分析】
首先根据已知条件证明，再利用等腰三角形求角度即可．
解：∵，
∴，
∴，
在与中，
∵，
∴（SAS），
∴，，
∴，
故选：C．
【点拨】本题主要考查三角形全等的证明，利用已知条件进行证明是解题的关键．
5．B
【分析】
先证△BAE≌△CAD，得出∠B=∠C，再证∠CFB=∠BAC=90°即可．
解：∵AB⊥AC，AD⊥AE，
∴∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAE=∠CAD，
在△BAE和△CAD中，
,
∴△BAE≌△CAD，
∴∠B=∠C，
∵∠BGA=∠CGF，
∴∠CFB=∠BAC=90°,
∴∠BFD=90°,
故选：B．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是确定全等三角形并通过8字型导角求出度数．
6．B
【分析】
先证△ABD≌△ACE，得∠ABD=∠2，利用外角性质，∠3=∠1+∠ABD，即可求出．
解：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠1=∠CAE，
如图所示，在△ABD和△ACE中，
∵AB=AC，∠1=∠CAE，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠2，
∵∠1=24°，∠2=36°，
，
则∠3=∠1+∠ABD=∠1+∠2=60º．
故选择B．
【点拨】本题考查求角的度数问题，关键是证△ABD≌△ACE，外角性质．
7．A
【分析】
如图，由可得，进而可根据SAS证明△ABD≌△ACE，于是得∠ABE=∠ACE，再根据三角形的内角和定理即得∠BEC=∠BAC，从而可得答案．
解：∵，
∴，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABE=∠ACE，
∵∠AOB=∠COE，
∴∠BEC=∠BAC=50°．
故选：A．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．
8．C
【分析】
和均为等边三角形，可得CA=CB，CD=CE，可证∠ACD=∠BCE，从而可证△ACD≌△BCE，得出∠DAC=∠EBC即可．
解：∵和均为等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
∴ACD≌△BCE（SAS），
∴∠EBC=∠DAC=∠CAE=25°，
故选：C．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
9．A
【分析】
由△ABC和△BED都是等边三角形，得到DE=BD=BE=9，AB=BC=AC=10，∠EBD=∠ABC=60°，从而得到∠EBA=∠DBC，根据全等三角形判定方法可证△ABE≌△CBD，从而AE=CD，根据△ADE的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+DE，可求△ADE的周长．
解：∵△ABC和△BED都是等边三角形，
∴∠EBD=∠ABC=60°，
DE=BD=BE=9，
AB=BC=AC=10，
∴∠EBA=∠EBD-∠ABD，
∠DBC=∠ABC-∠ABD，
∴∠EBA=∠DBC，
在△ABE和△CBD中，
∵BE=BD，AB=BC，∠EBA=∠DBC，
∴△ABE≌△CBD，
∴AE=CD，
∵△ADE的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+DE=10+9=19，
∴△ADE的周长=19．
故选：A．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练运用等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质解决问题是本题的关键．
10．A
【分析】
依题意设Q是AB的中点，连接DQ，先证得△AQD≌△AOE，得出QD=OE，根据点到直线的距离可知：当QD⊥BC时，QD最小，然后根据等腰直角三角形的性质求得QD⊥BC时的QD的值，即可求得线段OE的最小值.
解：设Q是AB的中点，连接DQ，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC＝2，O为AC中点，
∴
∴AQ＝AO，
在△AQD和△AOE中，
，
∴△AQD≌△AOE（SAS），
∴QD＝OE，
∵点D在直线BC上运动，
∴当QD⊥BC时，QD最小，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝45°，
∵QD⊥BC，
∴△QBD是等腰直角三角形，
∴
∵QB＝AB＝1，
∴
∴线段OE的最小值是为 ；
故选：A．

【点拨】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是：作出辅助线构建全等三角形.
11．C
【分析】
先证明△BDC≌△AEC，进而得到角的关系，再由∠EBD的度数进行转化，最后利用三角形的内角和即可得到答案．
解：∵∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BDC和△AEC中，
∵AC＝BC，∠BCD＝∠ACE，DC＝EC，
∴△BDC≌△AEC（SAS），
∴∠DBC＝∠EAC，
∵∠EBD＝∠DBC＋∠EBC＝38°，
∴∠EAC＋∠EBC＝38°，
∴∠ABE＋∠EAB＝90°－38°＝52°，
∴∠AEB＝180°－（∠ABE＋∠EAB）＝180°－52°＝128°，
故答案为C．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，充分利用角的和差的转化关系进行求解是解题的关键．
12．A
【分析】
根据题意结合图形证明△AFB≌△AEC；利用四点共圆及全等三角形的性质问题即可解决．
解：如图，

∵∠EAF=∠BAC，
∴∠BAF=∠CAE；
在△AFB与△AEC中，
，
∴△AFB≌△AEC（SAS），
∴BF=CE；∠ABF=∠ACE，
∴A、F、B、C四点共圆，
∴∠BFC=∠BAC=∠EAF；
故①、②、③正确，④错误．
故选A.．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是准确找出图形中隐含的全等三角形，灵活运用四点共圆等几何知识来分析、判断、推理或证明．
13．A
解：试题分析：延长ED到G，使DG=ED，连接CG，FG，

在△BED与△CGD中，
∵，
∴△BED≌△CGD（SAS），
∴CG=BE，ED=DG，
又∵DE⊥DF
∴FD是EG的垂直平分线，
∴FG=EF
∵GC+CF＞FG
∴BE+CF＞EF
故选A．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．三角形三边关系．
14．
【分析】
由证明结合可得到添加：，即可得到答案．
解：添加： 理由如下：




故答案为：．
【点拨】本题考查的是三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定是解题的关键．
15．2
【分析】
延长BD到E，使DE=BD，连接AE，证明△ADE≌△CDB（SAS），可得AE=CB，∠EAD=∠BCD，再根据△ABM和△BCN是等腰直角三角形，证明△MBN≌△BAE，可得MN=BE，进而可得BD与MN的数量关系即可求解．
解：如图，延长BD到E，使DE=BD，连接AE，

∵点D是AC的中点，∴AD=CD，
在△ADE和△CDB中，，∴△ADE≌△CDB（SAS），
∴AE=CB，∠EAD=∠BCD，
∵△ABM和△BCN是等腰直角三角形，
∴AB=BM，CB=NB，∠ABM=∠CBN=90°，
∴BN=AE，
又∠MBN+∠ABC=360°-90°-90°=180°，
∵∠BCA+∠BAC+∠ABC=180°，
∴∠MBN=∠BCA+∠BAC=∠EAD+∠BAC=∠BAE，
在△MBN和△BAE中，
，∴△MBN≌△BAE（SAS），∴MN=BE，
∵BE=2BD，∴MN=2BD．
又MN=4，∴BD=2，
故答案为：2．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
16．120°
【分析】
先证明得到，再利用以及三角形的内角和定理、邻补角的性质可得答案．
解：


在与中，








故答案为：
【点拨】本题考查的是三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定与性质，邻补角的性质，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．
17．51°
【分析】
根据∠BAC=∠DAE通过角的计算即可得出∠1=∠CAE，结合AB=AC、AD=AE即可证出△BAD≌△CAE（SAS），进而即可得出∠ABD=∠2=30°．再根据外角的性质即可得出∠3的度数．
解：∵∠BAC=∠DAE，∠BAC=∠1+∠DAC，∠DAE=∠DAC+∠CAE，
∴∠1=∠CAE．
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD=∠2=30°．
∵∠3=∠1+∠ABD=21°+30°=51°．
故答案为：51°．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质以及外角的性质，通过证明三角形全等找出∠ABD=∠2是解题的关键．
18．
【分析】
先求出，再利用“”证明，进而得，从而得出，再利用三角形的内角和等于180°列式求出，然后再次利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
解：∵，
∴，
即，
在和中，

∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
在中，．
故答案为：．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
19．
【分析】
过点作于,根据已知条件证明，即可得，进而求得，根据已知的面积求得，进而求得，根据三角形全等的性质即可求得．
解：如图，过点作于，

,
,
即,
又,
,
,
，，
,
,
,
,
,
．
故答案为：10
【点拨】本题考查了三角形全等的性质与判定，添加辅助线求得是解题的关键．
20．58°
【分析】
根据角的和差可得∠1=∠EAC，然后利用SAS证明ΔBAD≌ΔCAE，得到∠ABD=∠2=30°，最后根据三角形外角的性质可得答案．
解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠1=∠EAC，
在ΔBAD与ΔCAE中，
，
∴ΔBAD≌ΔCAE (SAS)，
∴∠ABD=∠2=30°，
∵，
∴∠3=∠ABD+∠1=30°+28°=58°．
故答案为：58°．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质以及三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
21．
【分析】
根据全等三角形的判定及性质证明CD=BE即可得到结论．
解：∵和是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴≌（SAS），
∴．
故答案为：BE．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
22．24
【分析】
由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得∠B=∠ACE，可证△ABC是等边三角形，可得∠BAC=∠DAE=∠ACB=∠ACE=60°，即可求解．
解：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE，
∵CE∥AB，
∴∠BAC=∠ACE，
∴∠BAC=∠B，
∴AC=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=∠ACB=∠ACE=60°，
∴△DAE是等边三角形，
∴∠AED=60°，
∴∠DEC=180°-36°-60°-60°=24°，
故答案为：24．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，证明△ABC是等边三角形是解题的关键．
23．140°
【分析】
先求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，从而求出，再利用三角形的内角和等于列式求出，然后再次利用三角形的内角和等于列式计算即可得解．
解：，
，
即，
在和中，，
∴△ACE≌△BCD（SAS）
，
，
在中，，
在中，．
故答案为：140°
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，难点在于整体思想的利用．
24．
【分析】
利用SAS易证得，推出，根据三角形内角和定理即可求解．
解：，
，即．
在和中，
，
，
．
，
．
故答案为：．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是能得出：．
25．##50度
【分析】
由已知条件可证明△ABD≌△ACE，可知∠ABD=∠ACE，在等腰△ADE中可求得∠ADE，利用外角的性质可求得∠BAD+∠ABD，在△ACE中利用三角形内角和可求得∠BEC．
解：∵∠BAC=∠DAE=50°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中

∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠BAD=∠CAE，∠ABD=∠ACE，
∵AD=AE，∠DAE=50°，
∴∠ADE=∠AED=65°，
∵∠BAD+∠ABD=∠ADE，
∴∠CAE+∠ACE=∠ADE=65°，
在△ACE中，∠BEC=180°-∠AEC-（∠CAE+∠ACE）=180°-65°-65°=50°，
故答案为：50°．
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法和全等三角形的性质（即全等三角形的对应角相等、对应边相等）是解题的关键．
26．128°
【分析】
先证明△BDC≌△AEC，进而得到角的关系，再由∠EBD的度数进行转化，最后利用三角形的内角和即可得到答案．
解：∵∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BDC和△AEC中，
∵AC＝BC，∠BCD＝∠ACE，DC＝EC，
∴△BDC≌△AEC（SAS），
∴∠DBC＝∠EAC，
∵∠EBD＝∠DBC＋∠EBC＝38°，
∴∠EAC＋∠EBC＝38°，
∴∠ABE＋∠EAB＝90°－38°＝52°，
∴∠AEB＝180°－（∠ABE＋∠EAB）＝180°－52°＝128°，
故答案为128°．
【点拨】本题目主要考查全等三角形的判定和性质，关键是充分利用角的和差的转化关系进行求解．
27．BE
解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC－∠BAD=∠DAE－∠BAD，
∴∠DAC=∠BAE，
∵在△CAD和△BAE中，
，
∴△CAD≌△BAE，
∴CD=BE.
故答案为BE.
【点拨】本题关键在于掌握三角形全等的判定方法.
28．见分析
【分析】
根据三角形全等的判定，由已知先证∠ACB＝∠DCE，再根据SAS可证△ABC≌△DEC．
解：∵，
∴．
∴，
在与中
，
∴ (SAS)．
【点拨】本题考查了三角形全等的判定方法和性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
29．证明见分析．
【分析】
先证明 再结合已知证明即可得到答案．
解：∵∠BAD=∠EAC，
∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC，
∴∠BAC=∠EAD，
在与中，
，
∴（SAS），
∴∠B=∠E．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理，熟练掌握定理是解答此题的关键．
30．∠CAE，∠DAC，∠DAE，AD，∠DAE，已知，SAS．
【分析】
根据等式的性质求出∠BAC=∠DAE，根据AB=AD，∠BAC=∠DAE，AC=AE推出△ABC≌△ADE即可．
解：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，
即∠BAC=∠DAE．
∵在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE(SAS)．
故答案为：∠CAE，∠DAC，∠DAE，AD，∠DAE，(已知)，(SAS)．
【点拨】本题考查了等式的性质和全等三角形的判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
31．（1）为等腰直角三角形，见分析；（2）不变，9
【分析】
⑴连结AD,由SAS定理可证和全等，从而可证,DF=DE.所以为等腰直角三角形.
⑵由割补法可知四边形AEDF的面积不变，利用三角形的面积公式求出答案.
解：（1）为等腰直角三角形，理由如下：

连接，
∵，，为中点
∴
且平分
∴
∵点、速度都是1个单位秒，时间是秒，
∴
在和中，
，
∴
∴，
∵
∴
即：
∴为等腰直角三角形.
（2）四边形面积不变，
理由：∵由（1）可知，，
∴，
∴
∵
∴
【点拨】本题考查了三角形全等的判断SAS,及用割补法来证四边形的面积不变，四边形又三角形来组成。
32．见分析.
【分析】
首先根据∠1=∠2可得∠BAC=∠EAD，再加上条件AC=AD，AB=AE可证明△ABC≌△AED．
解：∵∠1=∠2，∴∠BAC=∠EAD．
在△ABC和△AED中，∵，∴△ABC≌△AED（SAS）．
【点拨】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
33．见分析；
【分析】
要证明∠B=∠D，只需要证明△ABC≌△ADE．根据已知提供的条件通过SAS定理即可证得．
解：∵∠EAB=∠CAD，
∴∠EAB+∠BAD=∠CAD+∠BAD，
即∠EAD=∠BAC．
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠B=∠D．（全等三角形的对应角相等）
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质；三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
34．（1）证明见分析（2）成立
【分析】
此题的两个小题思路是一致的；已知∠QAP=∠BAC，那么这两个等角同时减去同一个角（2题是加上同一个角），来证得∠QAB=∠PAC；而根据旋转的性质知：AP=AQ，且已知AB=AC，即可由SAS证得△ABQ≌△ACP，进而得出BQ=CP的结论．
解：（1）∵∠QAP＝∠BAC，
∴∠QAB＝∠PAC，
∵AP＝AQ，AB＝AC，
∴△QAB≌△PAC（SAS），
∴BQ＝CP．
（2）成立；
证明：∵∠QAP＝∠BAC，
∴∠QAB＝∠PAC，
∵AP＝AQ，AB＝AC，
∴△QAB≌△PAC（SAS），
∴BQ＝CP．
【点拨】此题主要考查学生以旋转的性质，全等三角形的判定及等腰三角形的性质的综合运用能力,选择并利用三角形全等是正确解答本题的关键．
35．证明见分析.
试题分析：利用“AAS”即可得证．
解：∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，即∠BAC=∠EAD，在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED
【点拨】三角形全等的判定．