专题01 全等三角形-【挑战压轴题】2021-2022学年八年级数学上册压轴题专题精选汇编（人教版）

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2022-2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编
专题01 全等三角形
一．选择题
1．（2020秋•东城区期末）如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（　　）

A．20 B．30 C．50 D．100
【思路引导】根据角平分线的性质求出OE，最后用三角形的面积公式即可解答．
【完整解答】解：过O作OE⊥AB于点E，

∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，
∴OE＝OD＝5，
∴△AOB的面积＝，
故选：C．
2．（2020秋•定西期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【思路引导】根据垂线段最短得出当DP⊥BC时，DP的长最小，求出∠ABD＝∠CBD，根据角平分线的性质得出此时DP＝AD，再得出选项即可．
【完整解答】解：当DP⊥BC时，DP的长最小，
∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
∵∠A＝90°，∠ADB＝∠C，∠A+∠ADB+∠ABD＝180°，∠BDC+∠C+∠CBD＝180°，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠A＝90°，
∴当DP⊥BC时，DP＝AD，
∵AD＝4，
∴DP的最小值是4，
故选：A．
3．（2020秋•莫旗期末）如图，AB∥CD，BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点E，且与AB互相垂直，点P为线段BC上一动点，连接PE．若AD＝8，则PE的最小值为（　　）

A．8 B．5 C．4 D．2
【思路引导】过E作EP⊥BC于P，此时PE的值最小，求出AD⊥CD，根据角平分线的性质求出AE＝DE＝PE，求出AE的长即可．
【完整解答】解：过E作EP⊥BC于P，此时PE的值最小，

∵AB∥CD，AD⊥AB，
∴AD⊥CD，
∵BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，
∴AE＝PE，ED＝PE，
∴AE＝ED＝PE，
∵AD＝8，
∴PE＝4，
即PE的最小值是4，
故选：C．
4．（2020秋•鞍山期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DF⊥AB，垂足为点F，点E在边AC上，若DE＝DB，则下列结论不正确的是（　　）

A．DC＝DF B．DE＝BF C．AC＝AF D．AB＝AC+CE
【思路引导】根据全等三角形的判定和性质解答即可．
【完整解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DF⊥AB，垂足为点F，
∴DC＝DF，故A正确，
在Rt△DCE与Rt△DFB中，
，
∴Rt△DCE≌Rt△DFB（HL），
∴CE＝BF，故B错误，
在Rt△ADC与Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△ADF（HL），
∴AC＝AF，故C正确，
∴AB＝AF+BF＝AC+CE，故D正确，
故选：B．
5．（2020秋•新宾县期末）如图，AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝50°，以下四个结论：①△ADC≌△ABE；②CD＝BE；③∠DOB＝50°；④点A在∠DOE的平分线上，其中结论正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【思路引导】证明△ADC≌△ABE（SAS），可得出CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，则得出∠DOB＝50°，连接OA，过点A作AM⊥CD于点M，AN⊥BE于点N，证明△ABN≌△ADM（AAS），则可得出点A在∠DOE的平分线上．
【完整解答】解：∵∠DAB＝∠CAE＝50°，
∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAE，
在△ADC与△ABE中，
，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴CD＝BE；
故①，②正确；
如图1，若AB与CD相交于点F，

∵△ABE≌△ADC，
∴∠ADC＝∠ABE，
∵∠AFD＝∠CFB，
∴∠DOB＝∠DAB＝50°．
故③正确．

如图2，连接OA，过点A作AM⊥CD于点M，AN⊥BE于点N，
∴∠AMD＝∠ANB＝90°，
∵△ABE≌△ADC，
∴∠ABN＝∠ADM，
在△ABN和△ADM中，
，
∴△ABN≌△ADM（AAS），
∴AN＝AM，
∴点A在∠DOE的平分线上．
故④正确．
故选：D．
6．（2020秋•金昌期末）如图，AD是△ABC的角平分线，CE⊥AD，垂足为F．若∠CAB＝30°，∠B＝55°，则∠BDE的度数为（　　）

A．35° B．40° C．45° D．50°
【思路引导】根据三角形的内角和求出∠ACB＝95°，利用三角形全等，求出DC＝DE，再利用外角求出答案．
【完整解答】解：∵∠CAB＝30°，∠B＝55°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣55°＝95°，
∵CE⊥AD，
∴∠AFC＝∠AFE＝90°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD＝∠EAD＝×30°＝15°，
又∵AF＝AF，
∴△ACF≌△AEF（ASA）
∴AC＝AE，
∵AD＝AD，∠CAD＝∠EAD，
∴△ACD≌△AED （SAS），
∴DC＝DE，
∴∠DCE＝∠DEC，
∵∠ACE＝90°﹣15°＝75°，
∴∠DCE＝∠DEC＝∠ACB﹣∠ACE＝95°﹣75°＝20°，
∴∠BDE＝∠DCE+∠DEC＝20°+20°＝40°，
故选：B．
7．（2020秋•宜兴市期中）如图，在△ABC中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（　　）

A． B． C． D．
【思路引导】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．
【完整解答】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△AHB中，
∵∠ABC＝60°，AB＝4，
∴BH＝2，AH＝2，
在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，
∴AH＝CH＝2，
∴AC＝＝＝2，

∵点D为BC中点，
∴BD＝CD，
在△BFD与△CKD中，
，
∴△BFD≌△CKD（AAS），
∴BF＝CK，
延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，得矩形ENCK，
∴CK＝EN，
∴AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，
在Rt△ACN中，AN＜AC，
当直线l⊥AC时，最大值为2，
综上所述，AE+BF的最大值为2．
故选：B．
8．（2020秋•江岸区校级月考）如图，方格中△ABC的三个顶点分别在正方形的顶点（格点上），这样的三角形叫格点三角形，图中可以画出与△ABC全等的格点三角形共有（　　）个．（不含△ABC）

A．28 B．29 C．30 D．31
【思路引导】当点B在下面时，根据平移，对称，可得与△ABC全等的三角形有8个，包括△ABC，当点B在其它3条边上时，有3×8＝24（个）三角形与△ABC全等，由此即可判断．
【完整解答】解：当点B在下面时，根据平移，对称，可得与△ABC全等的三角形有8个，包括△ABC，

当点B在其它3条边上时，有3×8＝24（个）三角形与△ABC全等，
∴一共有：8+24﹣1＝31（个）三角形与△ABC全等，
故选：D．
二．填空题
9．（2020秋•南岗区校级月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝5，则CH的长为　2　．

【思路引导】先由AD⊥BC，CE⊥AB，判断出∠ADB＝∠AEH＝90°，再判断出∠BAD＝∠BCE，进而判断出△HEA≌△BEC，得出AE＝EC＝5，即可得出结论．
【完整解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠AEH＝90°，
∵∠AHE＝∠CHD，
∴∠BAD＝∠BCE，
在△HEA和△BEC中，
，
∴△HEA≌△BEC（AAS），
∴AE＝EC＝5，
则CH＝EC﹣EH＝AE﹣EH＝5﹣3＝2．
故答案为：2．
10．（2020•松北区一模）在△ABC中，点D在AC上，AD＝5，AB+AC＝16，E是BD中点，∠ACB＝∠ABC+2∠BCE，则CD＝　2　．

【思路引导】延长CE于F，使CE＝EF，交AB于点G，根据SAS证明△BEF与△DEC全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【完整解答】解：延长CE于F，使CE＝EF，交AB于点G，

∵E是BD的中点，
∴BE＝DE，
在△BEF与△DEC中，
，
∴△BEF≌△DEC（SAS），
∴∠F＝∠DCE，BF＝DC，
∵∠ACB＝∠ABC+2∠BCE，
∴∠DCE＝∠ACB﹣∠BCE＝∠ABC+∠BCE，
∵∠AGC＝∠ABC+∠BCE，
∴∠AGC＝∠DCE，
∴∠F＝∠DCE＝∠AGC＝∠BGF，AG＝AC，
∴BF＝BG＝CD，
设BF＝BG＝CD＝x，
∵AD＝5，AB+AC＝16，
∴，
解得：x＝2，
∴CD＝2，
故答案为：2．
11．（2020•荷塘区模拟）在△ABC中，若其内部的点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则称P为△ABC的费马点．如图所示，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，设P为△ABC的费马点，且满足∠PBA＝45°，PA＝4，则△PAC的面积为　4　．

【思路引导】如图，延长BP交AC于D，先说明△ABD是等腰直角三角形，△ADP是30°的直角三角形，可得PD和AD的长，根据费马点的定义可得∠APC＝120°，从而可知△PDC也是30°的直角三角形，可得CD的长，根据三角形的面积公式可得结论．
【完整解答】解：如图，延长BP交AC于D，

∵∠BAC＝∠PBA＝45°，
∴∠ADB＝90°，AD＝BD，
∵P为△ABC的费马点，
∴∠APB＝∠CPA＝120°，
∴∠BAP＝180°﹣120°﹣45°＝15°，
∴∠PAC＝45°﹣15°＝30°，
∴∠APD＝60°，
Rt△PAD中，∵PA＝4，
∴PD＝2，AD＝2，
∵∠APC＝120°，
∴∠CPD＝120°﹣60°＝60°，
Rt△PDC中，∠PCD＝30°，
∴CD＝2，
∴AC＝AD+CD＝2+2＝4，
∴△PAC的面积为＝＝4．
故答案为：4．
12．（2020秋•海珠区校级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为点F，DE＝DG，△ADG和△ADE的面积分别为50和39，则△EDF的面积为　5.5　．

【思路引导】在线段AC上取一点M，使DM＝DE，过点D作DN⊥AC，利用角平分线的性质得到DN＝DF，将三角形EDF的面积转化为三角形DNM的面积来求．
【完整解答】解：如图，在线段AC上取一点M，使DM＝DE，过点D作DN⊥AC于点N，
∵DE＝DG，
∴DM＝DG，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF＝DN，
在Rt△DEF和Rt△DMN中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），
∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，
∴S△MDG＝S△ADG﹣S△ADM＝50﹣39＝11，
∴S△DNM＝S△EDF＝S△MDG＝×11＝5.5．
故答案是：5.5．

13．（2020秋•青羊区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AB中点，FD⊥ED于D，BE＝，AF＝，则EF＝　3　．

【思路引导】延长DE到H，使DH＝DE，连接FH，先证△BED≌△AHD（SAS），得AH＝BE，∠B＝∠DAH，再求出∠FAH＝90°，然后由勾股定理求出FH＝3，最后由线段垂直平分线上的性质即可得出答案．
【完整解答】解：如图，延长DE到H，使DH＝DE，连接FH，
∵D是AB中点，
∴AD＝BD，
在△BED和△AHD中，
，
∴△BED≌△AHD（SAS），
∴AH＝BE＝，∠B＝∠DAH，
∵∠C＝90°，
∴∠FAH＝∠BAC+∠DAH＝∠BAC+∠B＝180°﹣90°＝90°，
由勾股定理得，FH＝＝＝3，
∵FD⊥ED，DE＝DH，
∴EF＝FH＝3，
故答案为：3．

14．（2020秋•温岭市期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，给出下列结论：①DE＝DF；②△ADF≌△ADE；③△ABD和△ACD的面积相等．其中正确结论的序号是　①②　．

【思路引导】根据角平分线的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
【完整解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，
∴DE＝DF，故①正确；
在Rt△ADF与Rt△ADE中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），故②正确；
∵得不出AB＝AC，
∴△ABD和△ACD的面积无法判断相等，故③错误；
故答案为：①②．
15．（2019秋•南岗区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，AD＝AC，点E在BC边上，CE＝BD，过点E作EF⊥CD交AB于点F，若AF＝2，BC＝8，则DF的长为　4　．

【思路引导】设∠BCD＝α，延长AC到点G，使AG＝AB，连接BG，延长EF和CA交于点H，根据已知条件证明△CEH≌△CGB，即可解决问题．
【完整解答】解：设∠BCD＝α，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣α，
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，
∴∠CAB＝180°﹣2∠ACD＝2α，
∴∠ABC＝90°﹣2α，
∵EF⊥CD，
∴∠CKF＝90°，
∴∠DFK＝90°﹣（90°﹣α）＝α，
∴∠CEF＝90°﹣α，
如图，延长AC到点G，使AG＝AB，连接BG，

∵AD＝AC，
∴CD∥GB，BD＝CG＝CE，
∴∠GBC＝∠BCD＝α，
∴∠G＝90°﹣α，
∴∠G＝∠CEF，
延长EF和CA交于点H，
∴∠H＝α＝∠GBC，
∵∠CAB＝2α，
∴∠AFH＝α，
∴∠H＝∠AFH，
∴AH＝AF＝2，
在△CEH和△CGB中，
，
∴△CEH≌△CGB（ASA），
∴CH＝CB＝8，
∴DF＝AD﹣AF＝AC﹣AH＝CH﹣2AH＝8﹣4＝4．
故答案为：4．
16．（2019秋•江汉区期中）如图，AB⊥CD于点E，且AB＝CD＝AC，若点I是△ACE的角平分线的交点，点F是BD的中点．下列结论：①∠AIC＝135°；②BD＝BI；③S△AIC＝S△BID；④IF⊥AC．其中正确的是　①③④　（填序号）．

【思路引导】如图，延长IF到G，使得FG＝FI，连接DG，BG，延长FI交AC于K．利用全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质一一判断即可．
【完整解答】解：如图，延长IF到G，使得FG＝FI，连接DG，BG，延长FI交AC于K．

∵AB⊥CD，
∴∠AEC＝90°，
∴∠EAC+∠ECA＝90°，
∴∠IAC+∠ICA＝∠EAC+∠ECA＝45°，
∴∠AIC＝180°﹣45°＝135°，故①正确，
∵AB＝AC，∠IAB＝∠IAC，AI＝AI，
∴△AIB≌△AIC（SAS），
∴∠AIB＝∠AIC＝135°，IA＝ID，
∴∠BIC＝360°﹣135°﹣135°＝90°，
同法可证：△ICA≌△ICD（SAS），
∴∠AIC＝∠CID＝135°，IA＝ID，
∴∠AID＝360°﹣135°﹣135°＝90°，
∴∠DIB+∠AIC＝180°，
∵DF＝FB，IF＝FG，
∴四边形IBGD是平行四边形，
∴ID＝BG＝AI，ID∥BG，
∴∠DIB+∠IBG＝180°，
∴∠AIC＝∠IBG，
∵IA＝ID，IC＝IB，
∴△AIC≌△GBI（SAS），
∴∠GIB＝∠ACI，S△AIC＝S△BGI＝S平行四边形DGBI＝S△BDI，故③正确，
∵∠GIB+∠CIK＝90°，
∴∠CIK+∠ICK＝90°，
∴∠IKC＝90°，即IF⊥AC，故④正确，
不妨设BI＝BD，则△BDI是等腰直角三角形，显然ID＝IB，即AI＝IC，显然题目不满足这个条件，故②错误．
故答案为①③④．
17．（2018秋•襄城县期末）如图，△ABC的内角∠ABC和外角∠ACD的平分线相交于点E，BE交AC于点F，过点E作EG∥BD交AB于点G，交AC于点H，连接AE，有以下结论：
①∠BEC＝∠BAC；②△HEF≌△CBF；③BG＝CH+GH；④∠AEB+∠ACE＝90°，其中正确的结论有　①③④　（将所有正确答案的序号填写在横线上）．

【思路引导】①根据角平分线的定义得到∠EBC＝∠ABC，∠DCE＝ACD，根据外角的性质即可得到结论；
②根据相似三角形的判定定理得到两个三角形相似，不能得出全等；
③由BG＝GE，CH＝EH，于是得到BG﹣CH＝GE﹣EH＝GH．即可得到结论；
④由于E是两条角平分线的交点，根据角平分线的性质可得出点E到BA、AC、BC和距离相等，从而得出AE为∠BAC外角平分线这个重要结论，再利用三角形内角和性质与外角性质进行角度的推导即可轻松得出结论．
【完整解答】解：①BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝∠ABC，
∵CE平分∠ACD，
∴∠DCE＝ACD，
∵∠ACD＝∠BAC+∠ABC，∠DCE＝∠CBE+∠BEC，
∴∠EBC+∠BEC＝（∠BAC+∠ABC）＝∠EBC+BAC，
∴∠BEC＝∠BAC，故①正确；
∵②△HEF与△CBF只有两个角是相等的，能得出相似，但不含相等的边，所有不能得出全等的结论，故②错误．
③BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵GE∥BC，
∴∠CBE＝∠GEB，
∴∠ABE＝∠GEB，
∴BG＝GE，
同理CH＝HE，
∴BG﹣CH＝GE﹣EH＝GH，
故③正确．
④过点E作EN⊥AC于N，ED⊥BC于D，EM⊥BA于M，如图，
∵BE平分∠ABC，
∴EM＝ED，
∵CE平分∠ACD，
∴EN＝ED，
∴EN＝EM，
∴AE平分∠CAM，
设∠ACE＝∠DCE＝x，∠ABE＝∠CBE＝y，∠MAE＝∠CAE＝z，如图，
则∠BAC＝180°﹣2z，∠ACB＝180﹣2x，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴2y+180°﹣2z+180°﹣2x＝180°，
∴x+z＝y+90°，
∵z＝y+∠AEB，
∴x+y+∠AEB＝y+90°，
∴x+∠AEB＝90°，
即∠ACE+∠AEB＝90°，故④正确；
故答案为：①③④．

18．（2019秋•潍坊月考）如图，△ABC中，AB＝4，AC＝7，M是BC的中点，AD平分∠BAC，过M作MF∥AD，交AC于F，则FC的长等于　5.5　．

【思路引导】可通过作辅助线，即延长FM到N，使MN＝MF，连接BN，延长MF交BA延长线于E，从而利用角之间的关系转化为线段之间的关系，进而最终可得出结论．
【完整解答】解：如图，延长FM到N，使MN＝MF，连接BN，延长MF交BA延长线于E，
∵M是BC中点，∴BM＝CM，∠BMN＝∠CMF，
∴△BMN≌△CMF，∴BN＝CF，∠N＝∠MFC，
又∵∠BAD＝∠CAD，MF∥AD，
∴∠E＝∠BAD＝∠CAD＝∠CFM＝∠AFE＝∠N，
∴AE＝AF，BN＝BE，
∴AB+AC＝AB+AF+FC＝AB+AE+FC＝BE+FC＝BN+FC＝2FC，
∴FC＝（AB+AC）＝5.5．
故答案为5.5．

三．解答题
19．（2022春•铁岭月考）如图，在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，CE平分∠BCD交AB于点E，连接DE．
（1）若∠A＝50°，∠B＝70°，求∠BEC的度数；
（2）若∠A＝∠1，试说明∠CDE＝∠DCE．

【思路引导】（1）求出∠A+∠BCD＝180°，求出∠BCD，求出∠BCE，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）根据三角形内角和定理和∠A+∠BCD＝180°求出∠CDE＝∠BCE，即可得出答案．
【完整解答】解：（1）∵∠A+∠B+∠BCD+∠ADC＝360°，∠B+∠ADC＝180°，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠A＝50°，
∴∠BCD＝130°，
∵CE平分∠BCD
∴∠BCE＝∠BCD＝×130°＝65°，
∵∠B＝70°，
∴∠BEC＝180°﹣65°﹣70°＝45°，
（2）证明：由（1）知∠A+∠BCD＝180°，
∴∠A+∠BCE+∠DCE＝180°，
∵∠CDE+∠DCE+∠1＝180°，∠1＝∠A，
∴∠BCE＝∠CDE，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE＝∠BCE，
∴∠CDE＝∠DCE．
20．（2022•南岗区模拟）已知：点E，F在BC上，AF＝DE，BE＝CF，∠AFE＝∠DEF．
（1）如图1，求证：AB＝CD；
（2）如图2，连接AC，BD，AE，DF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四组平行线．

【思路引导】（1）证△ABF≌△DCE（SAS），即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得∠B＝∠C，得AB∥CD，再证四边形ABDC是平行四边形，得AC∥BD，同理证出AF∥DE，AE∥DF．
【完整解答】（1）证明：∵BE＝CF，
∴BE﹣EF＝CF﹣EF，
即BF＝CE，
∵∠AFE＝∠DEF，
∴∠AFB＝∠DEC，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴AB＝CD；
（2）解：图2中的四组平行线为：AB∥CD，AC∥BD，AF∥DE，AE∥DF，理由如下：
由（1）得：△ABF≌△DCE，
∴AB＝DC，∠B＝∠C，
∴AB∥CD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴AC∥BD，
∵∠AFE＝∠DEF，
∴AF∥DE，
∵AF＝DE，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AE∥DF．
21．（2020秋•来宾期末）如图，在五边形ABCDE中，AB＝DE，AC＝AD．
（1）请你添加一个与角有关的条件，使得△ABC≌△DEA，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，若∠CAD＝65°，∠B＝110°，求∠BAE的度数．

【思路引导】（1）添加∠BAC＝∠EDA，根据SAS即可判定两个三角形全等；
（2）根据全等三角形对应角相等，运用三角形内角和定理，即可得到∠BAE的度数．
【完整解答】解：（1）添加一个角方面的条件为：∠BAC＝∠EDA，使得△ABC≌△DEA，理由如下：
在△ABC和△DEA中，
，
∴△ABC≌△DEA（SAS），
（2）在（1）的条件下，
∵△ABC≌△DEA，
∴∠ACB＝∠DAE，
∵∠CAD＝65°，∠B＝110°，
∴∠ACB+∠BAC＝180°﹣∠B＝70°，
∴∠DAE+∠BAC＝∠ACB+∠BAC＝70°，
∴∠BAE＝∠DAE+∠BAC+∠CAD＝70°+65°＝135°．
22．（2020秋•云南期末）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是152cm2，AB＝20cm，AC＝18cm，求DE的长．

【思路引导】根据S△ABC＝S△ABD+S△ACD，再利用角平分线的性质即可解决问题．
【完整解答】解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF，
∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
∴S△ABC＝，
∵△ABC面积是152cm2，AB＝20cm，AC＝18cm，
∴152＝，
∴10DE+9DF＝152，
∵DE＝DF，
∴19DE＝152，
∴DE＝8．
23．（2022春•萧山区月考）如图，在△ABC中，OE⊥AB与点E，OF⊥AC与点F，且OE＝OF．
（1）如图①，当O为BC中点时，试说明AB＝AC；
（2）如图②，当点O在△ABC内部，且OB＝OC，试判断AB与AC的关系．

【思路引导】（1）证Rt△OBE≌Rt△OCF（HL），得∠B＝∠C，即可得出AB＝AC；
（2）由等腰三角形的性质得∠OBC＝∠OCB，再证Rt△OBE≌Rt△OCF（HL），得∠ABO＝∠ACO，则∠ABC＝∠ACB，即可得出结论．
【完整解答】（1）说明如下：∵O为BC中点，∴BO＝CO，
∵OE⊥AB，OF⊥AC，
∴∠OEB＝∠OFC＝90°，
在Rt△OBE和Rt△OCF中，
，
∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL），
∴∠B＝∠C，∴AB＝AC；
（2）解：AB＝AC，理由如下：
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵OE⊥AB，OF⊥AC，
∴∠OEB＝∠OFC＝90°，
在Rt△OBE和Rt△OCF中，
，
∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL），
∴∠ABO＝∠ACO，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC．
24．（2022春•南山区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA＝110°时，∠EDC＝　30°　，∠AED＝　70°　．
（2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．

【思路引导】（1）由平角的定义和三角形外角的性质可求∠EDC，∠DEC的度数；
（2）当DC＝3时，由“AAS”可证△ABD≌△DCE；
（3）分AD＝DE，DE＝AE，AE＝AD三种情况讨论，由三角形内角和和三角形外角的性质可求∠BDA的度数．
【完整解答】解：（1）∵∠ADB+∠ADE+∠EDC＝180°，且∠ADE＝40°，∠BDA＝110°，
∴∠EDC＝180°﹣110°﹣40°＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
∴∠AED＝∠EDC+∠C＝30°+40°＝70°，
故答案为：30°，70°；
（2）当DC＝3时，△ABD≌△DCE，
理由如下：
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADC＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝40°，
∴∠BAD＝∠CDE，且AB＝CD＝3，∠B＝∠C＝40°，
∴△ABD≌△DCE（ASA）；
（3）若AD＝DE时，
∵AD＝DE，∠ADE＝40°，
∴∠DEA＝∠DAE＝70°，
∵∠DEA＝∠C+∠EDC，
∴∠EDC＝30°，
∴∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣30°＝110°，
若AE＝DE时，
∵AE＝DE，∠ADE＝40°，
∴∠ADE＝∠DAE＝40°，
∴∠AED＝100°，
∵∠DEA＝∠C+∠EDC，
∴∠EDC＝60°，
∴∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
若AE＝AD时，∠AED＝∠ADE＝40°，
∠DAE＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
此时D与B重合，不合题意，舍去．
综上所述：当∠BDA＝80°或110°时，△ADE的形状可以是等腰三角形．
25．（2022春•沂源县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB；
（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．

【思路引导】（1）根据角平分线的性质得到DC＝DE，根据直角三角形全等的判定定理得到Rt△DCF≌Rt△DEB，根据全等三角形的性质定理得到答案；
（2）根据全等三角形的性质定理得到AC＝AE，根据（1）的结论得到答案．
【完整解答】证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴CF＝EB；
（2）AF+BE＝AE．
∵Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴AC＝AE，
∴AF+FC＝AE，
即AF+BE＝AE．
26．（2020秋•腾冲市期末）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．

【思路引导】（1）由条件可证明△ABD≌△CAE，可得DA＝CE，AE＝BD，可得DE＝BD+CE；
（2）由条件可知∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，且∠DBA+∠BAD＝180°﹣α，可得∠DBA＝∠CAE，结合条件可证明△ABD≌△CAE，同（1）可得出结论；
（3）由条件可知EM＝AH＝GN，可得EM＝GN，结合条件可证明△EMI≌△GNI，可得出结论I是EG的中点．
【完整解答】解：（1）如图1，

∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）DE＝BD+CE．
如图2，

证明如下：
∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠DBA＝∠CAE，
在△ADB和△CEA中．
．
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE
（3）如图3，

过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N．
∴∠EMI＝GNI＝90°
由（1）和（2）的结论可知EM＝AH＝GN
∴EM＝GN
在△EMI和△GNI中，
，
∴△EMI≌△GNI（AAS），
∴EI＝GI，
∴I是EG的中点．
27．（2020秋•大武口区期末）如图所示，已知△ABC中，点D为BC边上一点，∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE，
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若AE∥BC，且∠E＝∠CAD，求∠C的度数．

【思路引导】（1）由∠1＝∠2＝∠3，可得∠1+∠DAC＝∠DAC+∠2，即∠BAC＝∠DAE，又∠1+∠B＝∠ADE+∠3，则可得∠B＝∠ADE，已知AC＝AE，即可证得：△ABC≌△ADE；
（2）由题意可得，∠ADB＝∠ABD＝4x，在△ABD中，可得x+4x+4x＝180°，解答处即可；
【完整解答】解：（1）∵∠1＝∠2＝∠3，
∴∠1+∠DAC＝∠DAC+∠2，即∠BAC＝∠DAE，
又∵∠1+∠B＝∠ADE+∠3，则可得∠B＝∠ADE，
在△ABC和△ADE中
，
∴△ABC≌△ADE（AAS）；

（2）∵AE∥BC，
∴∠E＝∠3，∠DAE＝∠ADB，∠2＝∠C，
又∵∠3＝∠2＝∠1，令∠E＝x，
则有：∠DAE＝3x+x＝4x＝∠ADB，
又∵由（1）得 AD＝AB，∠E＝∠C，
∴∠ABD＝4x，
∴在△ABD中有：x+4x+4x＝180°，
∴x＝20°，
∴∠E＝∠C＝20°．

28．（2020秋•船营区期末）如图，太阳光线AC与A′C′是平行的，同一时刻两根高度相同的木杆在太阳光照射下的影子一样长吗？说说你的理由．

【思路引导】已知等边及垂直，在直角三角形中，可考虑AAS证明三角形全等，从而推出线段相等．
【完整解答】解：影子一样长．
证明：
∵AB⊥BC，A′B′⊥B′C′
∴∠ABC＝∠A′B′C′＝90°
∵AC∥A′C′
∴∠ACB＝∠A′C′B′
在△ABC和△A′B′C′中，

∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）
∴BC＝B′C′
即影子一样长．